矢量及张量1. 协变基矢量：321g g g a 321a a a ++=，i a 称为逆变基分量，i g 是协变基矢量。

2. 逆变基矢量：321g g g a 321a a a ++=，i a 称为协变基分量，ig 是逆变基矢量。

3. 爱因斯坦求和约定：省略求和符号，ii g g a i i a a == 4. 逆变基于协变基的关系：ji δ=•j i g g5. 标积：i i j i j i b a b a =•=•g g b a6. 坐标转换系数i i 'β：i i i i i ii i i i i xx x x x x g g r r g '''''β=∂∂=∂∂∂∂=∂∂=7. 转换系数的性质：i j k j i k δββ=''，因为''''m l m j i l j i i j g g g g •=•=ββδ8. 张量：分量满足坐标转换关系的量，比如矢量''''''i i i i i i k k i i v v v ββ=•=•=g g g v9. 置换张量：ijk k j i ijk e g ==][g g g ε，其中][321g g g =g ，同理有ijkk j i ijk e g1][==g g g ε 由行列式的性质及线性][][]['''''''''n m l nk m j l i n n k m m j l l i k j i g g g g g g g g g ββββββ==，因此ijk ε是张量分量。

定义置换张量：k j i ijk k j i ijk g g g g g g εεε==10. 基的叉积：k l ijl ijk k j i g g g g g •==•⨯εε，所以l ijl j i g g g ε=⨯，l ijlj i g g g ε=⨯11. 叉积：k ijk j i j i j i b a b a g g g b a ε=⨯=⨯，或写成实体形式ε:ab ab :εb a ==⨯，双标量积用前前后后规则完成。

12. 混和积：abc εg g g g g g c b a ====ijk k j i k j i k j i k k j j i i c b a c b a c b a ε],,[],,[],,[13. rst ijk rst ijk kt k s k r j t j s jr it i s ir e e εεδδδδδδδδδ==，有以上关系可得 14. 重要关系：k s j t k t j s ist ijk δδδδεε-=k t k t k t k j j t k t j j ijt ijk δδδδδδδεε23=-=-= 62==k k ijk ijk δεε15. 反偶：反对称二阶张量Ω满足Ω:εω21-=，其中ω是一矢量，则称ω与Ω互为反偶16. 反偶的性质：εωωεΩuωu Ω•-=•-=⨯=•17. 证明：mim m mi k lm il k m i m k l k lm jlm ijk k j ijk j ij u Ωu Ωu Ωu Ωεεu ωεu Ω2121)(2121+-=--=-==δδδδ由于Ω是反对称张量，上式得证 同理ji ij lm j l i m j m i l lm klm ijk k ijkijΩΩΩΩεεωεΩ2121)(2121-=-==-=δδδδ 18. 另外同样可以证明两对反偶有：⑵⑴⑵⑴Ω:Ωωω21=•几个矢量公式及其证明：1. a c b b c a c b a )()()(•-•=⨯⨯证明：分量m 有m l l m i i j l im j m i l l j i klm ijk l j i klm l ijk j i a c b b c a c b a c b a c b a -=-==)(δδδδεεεε2. )]([)]([)]([)]([()()(d c b a d c a b c b a d d b a c d c b a ⨯•-⨯•=⨯•-⨯•=⨯⨯⨯证明：n ijk k j i n ijk k j i s n r k s k r n ijk s r j i ktn rst s r ijk j i d c b a c d b a d c b a d c b a εεδδδδεεεε-=-=)(另一半同理可得。

3. db c b d a c a d c b a ••••=⨯•⨯)()(证明：k k j j k k j j n m k j k m j n k n j m n m k j imn ijk c b d a d b c a d c b a d c b a εε-=-=)(δδδδ度量张量：1. 定义j i ij g g g •=为度量张量的分量，显然ji ij g g =2. j ij i g g g =：设j ij i a g g =，所以ij j k ik j i ij a a g =•=•=g g g g ，则j ij i g g g =3. 逆变张量的逆j i kj ik g g δ=：kjik j k ik j i j i g g g =•=•=g g g g δ 4. 度量张量与张量分量：i k ik T T g =，原因iik k k k i i g T T T g g g T ===克里斯托夫符号：1. 第二类克里斯托夫符号：k k ij i j x g g Γ=∂∂，k ij Γ称为第二类克里斯托夫符号2. 第一类克里斯托夫符号：k k ij ij x g g ,Γ=∂∂，k ij ,Γ称为第一类克里斯托夫符号3. 两类克里斯托夫符号的关系，由ij g 和定义可知r ij rk k ij g Γ=Γ,4. 克里斯托夫符号不是张量，仿射坐标中为0，曲坐标中不为0，其分量不可能满足坐标变换关系。

5. 逆变基导数：pi jp j i xg g Γ-=∂∂，因为：pi jp j ii jp p j i j p ip j i j p i ji pxx x x x x g g g g g g g g g g Γ-=∂∂∴=Γ+•∂∂=∂∂•+•∂∂=∂•∂=∂∂=0)(0δ6. 第一类克里斯托夫符号对称性k ji k ij ,,Γ=Γ：因k ji k i j k i jkij xx x x ,2,Γ=∂∂•∂∂∂=•∂∂=Γrr g g 7. 第二类的对称性r ji r ij Γ=Γ：由于r ij rk k ij g Γ=Γ,，可知k ij rk r ij rk rk rij g g g ,Γ=Γ=Γ8. 第二类克里斯托夫的坐标转换公式：''2''''''l k j i l k j i k k j ji ik ijxx x x x ∂∂∂∂∂+Γ=Γβββ 证明：k ijj j k k i i k k i j k kj i j j k k i i k k i j k kj i k k i i k i k k i j i k kk i i i j k j i k j i xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Γ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=•∂∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=•∂∂∂∂∂∂+•∂∂∂∂∂=∂∂•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=•∂∂=Γ''''''2''''''2''''''2'''''''''g g g g g g g g g g9.g 与克里斯托夫符号的一个关系：g xgj ji iΓ=∂∂证明：gx x x x x g j ji i i i k k i k k i k k i ii i i i Γ=•⨯Γ+•⨯Γ+•⨯Γ=Γ•⨯+•Γ⨯+•⨯Γ=∂∂•⨯+•∂∂⨯+•⨯∂∂=∂•⨯∂=∂∂321333212232111321321321321321321321)()()()()()()()()()(g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g 张量对坐标的导数：k j i m lk ij m j ml im k i ml mj k l ij k m ji k lm ij k k m i m jl ij k k j m m il ij k k j i l ij k j i l kij k k i l j ij k k j l i ij k k j i l ij kl k j i ij k l T T T xT T T T x T xT x T x T x T x T x g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g T )()(Γ-Γ+Γ+∂∂=Γ-Γ+Γ+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=∂∂ 分量表现形式的导数，协变导数：1. 由张量的导数，定义张量的协变导数：m lk ij m j ml im k i ml mj k lij k ij lk ij kl T T T xT TTΓ-Γ+Γ+∂∂==∇ ; 2. 由张量的协变导数和克里斯托夫的坐标转换公式可以证明协变导数是张量的分量。

3. 为了证明这点，先注意i j i i l i j l i k k l i j l k i l k ij l xx x x x x x x x x x x x x x x ∂∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂'2'''2'''2'''2δββ 证明：iij i j j j i i i j j i i j i j j i i j i j j i i i j j j j i F x x x x F F x x x x x x x x F x x x x F x x x x F ∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∂∂'2''''2'''''''βββ…⑴ ''2''''''l kj i l k j i k k j ji ik ijxx x x x ∂∂∂∂∂+Γ=Γβββ两边同乘'i k β并遍历k 求和，得：j i i i j l j j l i j i i k j l i k k k j jl ikiji k xx x x x x ∂∂∂+Γ=∂∂∂+Γ=Γ'2''''''2''''''''βββββββ，代入⑴式得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ+∂∂=Γ+∂∂i mj m j ii i j j i j m m j i F x F F x F ''''''''ββ即：ij i i j j i j F F ;; '''' ββ= 4. 由于协变导数是张量分量，所以i j k i i j kj i j kj F F F g F g ∇===∇;; 5. 同样j∇可由jx ∂∂T导出，称为逆变导数 6. 逆变导数及协变导数构成的张量实体：j j j j xx g T g T ∂∂=∂∂梯度散度和旋度：1. 梯度：ll l lxx g T T T g T ∂∂=∇∂∂=∇, 2. 散度：l l l l x x g TT T g T •∂∂=∇•∂∂•=•∇,3. 旋度：l l l l xx g TT T g T ⨯∂∂=∇⨯∂∂⨯=⨯∇,几个协变导数：由于张量实体不因坐标变化而变化，如果某张量的各分量在直角坐标系下为0，则该张量为0。