第四章 能量和动量1、功 W=FScos θ=2、功率 P=dW/dt=FVcos θ3、动能4、重力势能5、引力势能6、弹性势能7、机械能8、动能定理 K E W ∆=9、势能定理10、机械能定理 它11、机械能守恒 0=∆E （只有重力做功）12、总能量守恒 0=∆总E13、冲量 I=Ft=14、动量 P=mV15、动量定理16、动量守恒 △P=0第一讲 功和动能定理一、功力的瞬时作用效果用加速度a 表示。

力对空间的积累效果用功W 表示。

力对时间的积累效果用冲量I 表示。

W= cos Fs θ变力做功的几种计算方法1、微元法。

将整个过程分为无穷小段，每一小段可以认为是恒力做功，然后再累积起来。

∑⎰=∆=ds F s F W θθcos cos利用F —s 图解释上面的积分公式。

例：F 和v 总是垂直的力，做的功为0。

如：向心力不做功，洛仑兹力不做功。

例：大小不变，且F 和v 总是同线的力，做的功绝对值等于力和路程之积。

如：摩擦力做的功。

2、图像法。

F S -图中，图线和s 轴围成的面积在数值上等于功。

3、效果法。

利用功能原理，从做功产生的效果上考虑。

例题：将立方体在地面上推翻需要做的功例题：半径为r 的半球形水池装满密度为ρ的水，问要将池内的水抽干至少要做多少功。

答案:441gr πρ 解：先求匀质半球的质心位置，在距圆心x 处，取微元dx ，设密度为ρ，球半径为r ，质心坐标为L例题：一帆船在静水中顺风飘行，风速为υ0，船速多大时，风供给船的功率最大。

（设帆面是完全弹性面，且与风向垂直） 答案:0/3υυ=解：设每个空气分子的质量为m ，单位体积内的分子数为n ，帆船的面积为S ， 对船参考系，风以（0()υυ-的速度撞击帆，并原速反弹00[()]2()Ft nm St υυυυ=--202()P F nSm υυυυ==-由上可知，υ取不同值，有不同的功率。

当0/3υυ=时，风供给船的功率最大。

在船参考系中风对船是不做功的。

二、功率 （Ｐ） θcos Fv tW P == （θ为F 和v 之间的夹角）1、平均功率 θcos ____V F t W P == 2、瞬时功率 θcos lim 0__Fv dtdW t W P t ===→ 3、额定功率 机器正常工作的功率4、实际功率 机器实际工作的功率例题：一支水枪均匀喷洒半径为12m 的农田，已知从4m 深井里每分钟抽水三、动能定理1、动能221mv E K =。

物体由于运动而具有的能量。

平动物体上各点的速度相同，式中的1v 即为物体的速度。

转动物体的动能叫转动能，由于转动物体上各点的速度不相等，要求转动能应取微元利用微积分的知识求得。

特别注意不能将式子中的速度取质心的速度运用公式221mv E K =求转动能。

例如，长为2L 的轻杆，一端为轴，在中点和另一端各固定一个质量为m 的质点，当杆的角速度为ω时，系统的动能222222222289)23(212542121L m L m L m L m L m E K ωωωωω=≠=+= 2、动能定理K 外E W ∆=∑动能定理表示的是功和能的变化的一种关系功和能的变化还有几种常见的关系功和对应能的变化是一一对应的3、质点系动能定理∑∑∑∑-=+12K K 内外E E W W质点系动能定理中考虑到内力做功，是因为一对内力做功之和可能不是0，会引起能量的变化。

在非惯性系中要考虑惯性力做功。

“摩擦力做的相对功”对滑块 202112121mv mv mgs -=-μ 对木板 22221Mv mgs =μ 对系统 22212120111()222mgs mgs mv Mv mv E Q μμ-+=+-=-∆=-系 例题：使半径为R 的薄壁圆筒迅速旋转到角速度0ω，然后把它放在倾角均为45°的两斜面间，如图所示，两斜面的动摩擦因数μ与滑动速度无关。

已知圆筒减速过程中其轴保持静止不动，求到转动停止时，圆筒转过的圈数。

答案：220242sn R g ππμ==解：薄壁圆筒受力如图所示，由于圆筒在水平方向和竖直方向都无平动加速度，故21cos450N f mg --=º21sin 450f N mg +-=º11f N μ=22f N μ=由此解得2122()2(1)mg f μμμ-=+，2222()2(1)mg f μμμ+=+例题：将放在桌面上的长而均匀的木条绕其一端转过角α，求水平力需要做的最小功。

（木条长为L ，质量为M ，木条与桌面间的动摩擦因数为μ） 答案：122F L W Mg MgL μαμα== 122L Mgαμ=例题：如图所示，质量为2m 、长为L 的木块置于光滑水平台面上，质量为m的子弹以初速0υ水平向右射向木块，穿出木块时的速度为02υ，设木块对子弹的阻力恒。

（1）求在子弹穿越木块的过程中，木块滑行的距离1L 。

（2）若木块固定在传送带上，使木块随传送带始终以恒定速度1υ水平向右运动，子弹仍以初速0υ向右射向木块（10υυ<），求子弹最终的速度υ。

（3）求在第（2）种情况下，子弹在木块内行进的过程中，木块移动的距离L 2。

答案：15L L =1υυ=分二种情况讨论（1）当10(1υυ≤-时，1υυ= 11012016[5L S υυυυ=- （2）当010(1υυυ>>-时，1υυ=,此时木块的位移11012016()5L S υυυυ=-第二讲 功能关系与守恒定律一、保守力与非保守力保守力：做功只与始末位置有关，而与路径无关的力。

例：重力、弹力、万有引力、分子力、电场力非保守力：做功与路径有关的力。

非保守力也叫耗散力。

例：摩擦力、磁场力2、势能（1）、只有保守力才可引入对应的势能（2）、“势能定理”P F E W ∆-=（AB p pA pB W E E E =-∆=-）（3）、势能的确定：首先规定0势能点，再利用“势能定理”通过势能的变化求物体在某一点的势能。

（4）、重力势能 m g h E p =（只在地面附近重力不变的情形下）（5）、弹性势能 221kx E p =（6）、万有引力势能规定无限远处为0势能点若r>R ，则有 rMm G E p -=若r<R ，有 3()2p rR R Mm R r Mm E W W G R r G R R∞+=+=⋅-- 例题：A 、B 的质量分别为m 和M ，弹簧的劲度为k ，初态：B 距地面高度为h ，弹簧原长，由静止释放。

B 和地面接触的瞬间不离开地面（完全非弹性碰撞）。

为使A 反弹能将B 提离地面，h 至少应为多少。

答案：(2)2M m M g h Km +=例题：一质量为m 的质点受到引力作用在一直线上运动。

当x a ≥时，引力值为22m a x μ，当x a ≤时，引力值为m x a μ，式中x 是相对于线上某一固定点（取为原点）的距离。

将质点在离原点2a 处从静止出发，求此质点到达原点时的速率。

答案：υ=解：由题意可知，当x a ≥时受到的力是一个与距离平方成反比的引力，相例题：有一台与水平方向成30º角的传送带运输机，如图所示，它将砂子从一处运送到另一处，砂子在0.5h m =高的地方自由落下，传送带始终以1/m s υ=的速度运转。

若砂子落到传送带上的流量为40/Q kg s =，传送带的有效长度10l m =，电动机的效率80%η=，问至少选多大功率的电动机。

（取210/g m s =）答案：2629W解：设砂子从落到传送带上到获得与传送带相同的速度所需的时间为t ∆，则错解：t 时间内，从带右端掉下的和落到带上的相等有错在没有考虑到掉到带上的沙子和带之间的摩擦生热二、“机械能定理” E W 它∆=W 它除重力以外的外力和非保守内力所做的功三、机械能守恒定律当W 它=0时 0=∆E当所有外力和非保守内力所作的总功为0 时，系统的机械能保持不变，即机械能是守恒的。

对一个系统，重力和弹力做功不会引起机械能的变化，而除重力以外的其它力做功会引起其它能量的变化，一对内力做功可能是0也可能不是0 ，如果不是0，会引起其它能量的参与与变化（例如滑动摩擦力做功会引起内能的变化），所以机械能守恒的条件是：除重力以外的其它外力和所有的内力均不做功或之和为0。

判断一个系统的机械能是否守恒，不但要考虑外力做功还要考虑内力是否做功。

四、能量守恒在自然界中除机械运动以外，还有热运动、电磁运动、原子内部及原子核内部的运动等许多不同的运动形式，它们伴随着不同形式的能量，例如：内能、电磁能、化学能、核能等，所有的经验和实验都证明，能量不能被创造也不能被消灭，只能从一种形式等量地转化为另一种形式，从一个物体等量地转移到另一个物体上，总能量是守恒不变的。

寻求”守恒量”已经成为物理研究的一种重要方向。

机械能守恒定律是普遍的能量转化和守恒定律在力学中的特殊形式。

除能量守恒外，自然界在其千变万化的运动和变化中还有一些物理量在一定条件下守恒，如动量守恒，能量守恒等，用这些守恒量来表示自然界的变化规律就是守恒定律，它表述的自然规律简捷好用，已经成为理论物理学家和实验物理学家共同追寻的目标，成为物理学研究中的重要方面。

例题：长为L 的细杆顶端固定一小球，竖直倒置在粗糙的水平地面上。

小球处于不稳定的平衡状态，稍有扰动，小球将从静止开始向下跌落。

假设细杆很轻，其质量可忽略，求小球碰地时的速度的水平分量和竖直分量。

例题：如图所示，固定不动的圆柱体半径为R ，中心高出地面H ，软绳长度L R H π=+，每单位长度的质量为λ，其中R π段套在圆柱体上。

绳与圆柱体间无摩擦，绳左侧下端在地面上方，绳右端连接质量/3m H λ=的小球。

开始时给小球一个向下的初速度0υ，为使小球能到达地面，确定0v 必须满足的条件。

答案：0υ>第三讲 动量定理一、动量与冲量 1、冲量ttI F t Fdt =∆=∑⎰2、动量 mv P =冲量是一个过程量，而动量是一个状态量。

二、动量定理1、定理 I P =∆2、分量形式xx IP =∆∑yy IP =∆∑动量定理为矢量式，可以在不同的方向上使用。

而动能定理是标量式，不能用建立坐标系的办法，在不同的方向上使用。

3、参照物 一般取地面为研究对象。

在非惯性系中要考虑惯性力的冲量。

例题：将不可伸长的细绳的一端固定于天花板上的C 点，另一端系一质量为m 的小球，小球以角速度ω绕竖直轴作匀速圆周运动，细绳与竖直轴之间的夹角为θ，如图所示，已知A 、B 为某一直径上的两点，问小球从A 点运动到B 点的过程中，细绳对小球的拉力T 的冲量为多少。

答案： T I =与竖直方向所成的夹角β满足2tan tan I I θβπ==合G解：设小球作圆周运动的半径为R ，则有2tan F mg m R θω==合例题：长为l 、质量为m 的一根柔软绳子盘放在水平桌面上，用手将绳子一端以恒定的速率v 向上提起，求当提起高度为x 时，手的提力。