M
虚位移与真正运动时发 生的实位移不同。 生的实位移不同。
a.实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际 发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。 b.实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值； 虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。
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c.实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的 概念，完全与时间无关。即时间被“凝固”。
解： 由虚位移原理
FB δrB + Fk δrC − FQ δrA sin θ = 0
注意：由于虚位移是无限小量，故 注意：由于虚位移是无限小量， 弹性力的虚功按常力的功计算。 弹性力的虚功按常力的功计算。
AB杆作平面一般运动，由速度投影定理 1 δrB cos ϕ = δrA sin ϕ δrB = δrAtgϕ δrC = δrA 2
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分析力学取标量形式的能量和功为基本量 能量和功为基本量。采用广义 分析力学 能量和功为基本量 广义 坐标、广义速度、虚位移等描述系统的运动状态，从能量 坐标、广义速度、虚位移 和功等基本量出发，取整个系统为研究对象，建立系统主 动力之间的联系，从而避免了复杂系统中各质点或刚体之 间的众多约束力问题，使求解更便捷、更规范。 分析力学在处理复杂系统的力学问题，以及过渡到 分析力学在处理复杂系统的力学问题， 非力学现象方面比牛顿力学更优越。 非力学现象方面比牛顿力学更优越。 分析力学的奠基人是拉格朗日 拉格朗日。他在1788年发表了名 拉格朗日 称为《分析力学》的著作。在该著作中，拉格朗日以能量 以能量 和功为基本量， 和功为基本量，使用数学分析方法导出了具有普遍意义的 拉格朗日动力学方程， 拉格朗日动力学方程，开创了力学的新的重要分支。
∴ RB = 1 P + 11 P2 + 11 m 2 1 8 96
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例6 图示结构，已知F＝200N，M＝100Nm。求A、C的约 束力。
解：a.求C的约束力。
− Mδϕ + FC δy C = 0 Mδϕ Mδϕ M FC = = = = 50 N δy C 2δϕ 2
b.求A端铅直方向约束力 FAy
δ rC = a δϕ , δ r A = l δϕ δ x C = − a sin ϕ ⋅δϕ , δ y C = a cos ϕ ⋅δϕ δ x A = − l sin ϕ ⋅δϕ , δ y A = l cos ϕ ⋅δϕ δ x B = − 2 a sin ϕ ⋅δϕ , δ y B = 0
c.求A端水平方向约束力 FAx
δx A = δx D = δx B = δxC
由虚位移原理
FAx δx A − F cos aδx D = 0 FAx F cos 60°δx D = = 100 N δx A
d.求A端的约束力偶
MA
δy B = ABδϕ A = BCδϕ C δϕ C =
AB δϕ A = 2δϕ A BC δy D = ADδϕ A = 2δϕ A
d.在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。而 在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。
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3.质点系中各质点虚位移的关系 质点系中各质点虚位移的关系 a. 几何法 几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，即
dr = v ⋅ dt
因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。
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b.解析法：质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函 解析法： 解析法 数（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分 δ q 1 ,δ q 2 ,⋯ ,δ q k ， 各质点的虚位移δ r i 在直角坐标上的投影可以表示为
由虚位移原理
M Aδϕ A + F sin 60°δy D − Mδϕ C = 0 3 AB δϕ A − × 200 × 2δϕ A + 100 2 BC MA =
δϕ A
M A = −146.4 N ⋅ m
课堂练习 一、 滑套D套在光滑直杆AB上，并带 动杆CD在铅直滑道上滑动。已知θ=0o 时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为 5(kN/m)，求在任意位置（ θ 角）平衡 时，加在AB杆上的力偶矩M ？ 解：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关 系的问题。将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统， 故可以用虚位移原理求解。
理论力学
§11-1
一、约束和约束方程 二、约束的分类
分析力学基本概念
1、几何约束和运动约束 、 2、定常约束和非定常约束 、 3、 3、完整约束和非完整约束 4、单面约束和双面约束 、 三、自由度 四、广义坐标
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例1 曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角ϕ为广义坐标，则：
x A = r cos ϕ , y A = r sin ϕ xB = r cos ϕ + l 2 − r 2 sin 2 ϕ , y B = 0
∴ R B = P1
δr δ r1 δθ + P2 C + m δ rB δ rB δ rB
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∴
δ rC δ r1 δθ R B = P1 + P2 +m δ rB δ rB δ rB
而
δ rC 11 δ r1 1 = , = , δ rB δ rB 2 8 δ rG 1 δ rC 1 δ rE 1 1 11 11 δθ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = × = δ rB 4 δ rB 6 δ rB 12 δ r B 12 8 96
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选择AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。0 = 300( mm) θ角时 , l = 600 − 300 cosθ |l − l0 |= 0.3|1− secθ | ( m)
F = F ′= k |l − l0 |=1.5|1− secθ | ( kN ) s D = 0.3secθ
x B = l cos ϕ , y A = l sin ϕ
δ x B = − l sin ϕδϕ , δ y A = l cos ϕδϕ
− Pδy A −Q δx B = 0 ,
( − P cosϕ + Q sinϕ ) lδϕ = 0
由于 任意，故 P=Q tgϕ δϕ
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F 例3 图示机构，已知OC＝CA， B ＝200N，弹簧的弹性系 数 k = 10 N / cm ，图示平衡位置 ϕ = 30°, θ = 60° ，弹簧已有伸 长 δ = 2cm ，OA水平。试用虚位移原理求机构平衡时FQ力 的大小。
δs = 0.3secθ tgθδθ
由虚位移原理，得：
M δθ − F δ s = 0
[ M −1 .5|1− secθ |⋅0 .3secθ tg θ ]δθ = 0
sinθ (1− cosθ ) M = 0 .45 cos 3θ
( kN ⋅ m )
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δy A = δy D = δy B , δy B δy B δy A δϕ = = =
BC 2 2
由虚位移原理
FAy δy A − F sin 60°δy D + Mδϕ = 0
FAy
δy A 3 200 × δy A − 100 F sin 60°δy D − Mδϕ 2 2 = 123.2 N = = δy A δy A
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例1 分析图示机构在图示位置时， 点C、A与B的虚位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l ) 解：此为一个自由度系统，取 OA杆与x 轴夹角ϕ为广义坐标。 （1）几何法 ） δ rC a δ rC PC a 1 = , = = = δ rA l δ rB PB 2 a sin ϕ 2 sin ϕ
解析式： 解析式：
∑ ( X iδ x i + Y iδ y i + Z iδ z i ) = 0
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这是约伯努利在1717年提出的。
二、虚位移原理的应用 1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 、 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 、 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力； 、 4、求平衡构架内二力杆的内力。 、
广义坐标选定后， 质点系中每一质点的直 角坐标都可表示为广义 坐标的函数。
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§11-2
一、虚位移 1.概念
虚位移 虚功 理想约束
在质点系运动过程的某瞬时，质点或质点系为约束所允许 的、假想的、任意微小的位移。 虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符 号δ 表示虚位移。 例如
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2.虚位移与实位移 虚位移与实位移
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二、虚功 力 F 在质点发生的虚位移 δ r 上所作的功称为虚功 虚功，记为 δ W 。 虚功 虚位移是假设的，虚功也是假设的。
δ W = F ⋅δ r δW = Xδx +Yδy + Zδz
虚功的计算与力在实位移上所作的功的计算方法相同 三、理想约束
。
∑ δ W N = ∑ N i ⋅δ ri = 0
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§11-3 虚位移原理
一、虚位移原理 具有双面、定常、几何、理想约束的质点系在给定位置 上处于静止平衡的充分必要条件，是作用于该质点系的所有 主动力在系统的任何一组虚位移中所作的虚功之和为零。即
∑ Fi ⋅ δ ri = 0
由于
Fi = X i i + Yi j + Z i k
δri = δxi i + δyi j + δzi k
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（2）解析法 ） 将C、A、B点的坐标表示成 广义坐标ϕ 的函数，得
xC = acosϕ , yC = asinϕ x A = l cosϕ , y A = lsinϕ x B = 2acosϕ , y B = 0
对广义坐标 ϕ 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：
δxC =−asinϕ⋅δϕ, δyC =acosϕ⋅δϕ δxA =−lsinϕ⋅δϕ, δyA =lcosϕ⋅δϕ δxB =−2asinϕ⋅δϕ, δyB =0