热能与动力机械测试技术
五、回归步骤 1. 根据试验数据分布特点，选择适当类型的
函数关系式作经验公式，其中包含有限个 待定的未知参数。 2. 根据试验数据来确定实验公式中的待定参 数。 3. 检验拟合程度是否在要求范围内。
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本章结束
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三、误差的表示方法
绝对误差
• 测量值与真 值之差
∆= l−A
相对误差
引用误差
• 绝对值与真 值之比
δ= ∆ ≈ ∆
Al
• 测量值的最
大绝对误差
与仪表的量
程之比
= δ j
∆max ×100% Aa − Ab
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四、误差的分类
（1）系统误差 在相同条件下，对同一物理量多次测量，其系 统误差的大小和符号保持恒定；或在条件改变 时，其遵循一定规律变化。系统误差是可以消 除的，在正确的测量结果中不应含系统误差。
（3）可能存在多个异常值时，应采用两种 以上的准侧交叉判别，否则效果不佳。
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第三章 测量误差分析与处理
5、随机误差的计算
一、直接测量误差的计算 1）计算平均值
2）计算偏差
3）计算均方根误差和极限误差
4）计算算术平均值的相对极限误差
5）检查偏差中是否有大于极限误差，有则剔出，重 新计算
• 时间秒是钯原子基态的两个超精细 能见之间辐射周期的9192631770倍 持续时间。
• 高一级标准仪表的误差是第一级标 准仪器误差的1/20~1/3，则可认为 前者是后者的相对真值。
误差公理：任何测量结果都存在误差！
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第三章 测量误差分析与处理
二、误差的来源
（1）仪器误差 （2）环境误差 （3）理论误差和方法误差 （4）人身误差 （5）测量对象变化误差
值的标准误差：
SL
=
1
n
1 σi 2
i =1
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三、间接测量误差的计算 1.只进行一次测量时的误差计算
2.多参数间接测量时的误差计算
Y = f (X1, X2Xn)
δ max=
S × A0 A
σy =

∂Y ∂X1

2
σ
2 1

+

∂Y ∂X 2
2σ

2 2
的特征数。标准误差越小，
则曲线形状越尖锐，说明
数据越集中；标准误差越
大，则曲线形状越平坦，
说明数据越分散。
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[ ] ∫ ∫ p -∆i ≤ ∆ ≤ = ∆i
∆i
∆i
y(∆)= d ∆

∆2
-
e
2σ
2
d
∆
−∆i
σ −∆i 2π
∆ =kσ
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第三章 测量误差分析与处理
（3）过失误差 由于测量者在测量过程中的过失而产生的明显
偏离真值的误差称为过失误差。过失误差虽然 无规律可循，但只要测量者思想集中、细心操 作，是完全可以避免的。
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第三章 测量误差分析与处理
五、三类误差的联系
三类误差的划分不是绝对的，而是具有一定的相 对性。在实际测量中，它们并非一成不变，在一 定条件下可以相互转化。较大的系统误差或随机 误差可当作过失误差来处理。
六、衡量测量值与真值的接近程度的标准
（１）精密度：表明测量结果的分散程度 （２）准确度：表明测量结果偏离真值的程度 （３）精确度：反应测量中系统误差与随机误差综合
影响程度。
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第三章 测量误差分析与处理
随机误差较小，系统误差大，精密度比较高。
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第二章 误差理论与应用
6）得出最终被测量的结果
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二、“权”的概念
“权”表示在非等精度测量中评价测量结果质量的标
志，当若干次测量结果进行比较时，“权”的数值越
大，则该测量结果的可信赖度越高。 n
权：
Pi
=
η σi2
非等精度测量 中被测量的最 佳值：
∑ Pi Li
L
=
i =1 n
∑ Pi
i =1
∑( ) 加权算术平均
3、随机误差
定义:在同一条件下，同一观测者对同一量进行多 次测量（等精度测量）时，如果没有系统误差，测 量结果仍会出现一些无规律的起伏，这种偶然的， 不确定的偏离称作随机误差。
特点：随机性（忽大忽小，忽正忽负，没有规律）， 但当测量次数比较多时服从统计规律。最常见的就 是正态分布（高斯分布）。
消除方法：多次测量取平均值
过失误差
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测量误差的数据处理
测量数据处理即对测量所获得的数据进行深入的分析， 找出变量之间相互制约、相互联系的依存关系，有时 需要利用数学解析的方法，推导出各种变量之间的函 数关系。只有经过科学的处理，才能去粗取精、去伪 存真，从而获得反映被测对象的物理状态和特性的有 用信息，这就是测量数据处理的最终目的。
• 在一定的 测量条件 下，随机 误差的绝 对值不会 超过一定 的界限。
• 随测量次 数的增加， 随机误差 的算术平 均值趋向 于零。
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第三章 测量误差分析与处理
二、标准误差和概率积分
y=
1
e−
∆2
2σ 2
σ 2π
标准误差σ 是代表测量值在
∑ 其中 σ =
∆2i n
平均值周围分布离散程度
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第二章 误差理论与应用
一、随机误差的正态分布
随机误差分布公理： 单峰性 对称性 有限性 抵偿性
随机误差正态分布曲线 （然率曲线）
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单峰性
对称性 有限性 抵偿性
• 绝对值小的 误差比绝对 值大的误差 出现的次数 多，峰值只 出现在零误 差附近
• 绝对值相 等的正负 误差出现 的次数相 等
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（2）随机误差 在相同条件下，对同一物理量对次测量，其随 机误差的大小和符号均已不可预测的方式变化。 随机误差是由许多偶然的因素引起的综合结果。 因而无法在测量过程中加以控制和排除。随机 误差就个体而言，无规律可循。但在等精度条 件下的多次测量，其大多数服从正态分布。
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4、可疑数据的剔除 一、莱依特准则（3σ 准则）
二、格拉布斯准则 三、t检验准则 四、狄克逊准则
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格拉布斯准则判别步骤
1）计算测量值的算术平均值L和标准误差 σˆ
2）计算格拉布斯准则数
Tli =
vi
σˆ
=
li − L
σˆ
3）选择合适的显著度（危险率）
li
三、测量结果的最佳值
推导依据：最小二乘法即 测量结果的最可信赖值应使
最佳值：
n
∑ li
L = i=1 n
算术平均值的特点：
残余误差平方和（或加权残 余误差平方和）最小
n
∑ 偏差的代数和 等于0， vi = 0
即
i =1
n
∑ 偏差的平方和最小，
即
vi2 = min
i =1
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四、有限次测量误差的计算及表示方法
n
∑ 1.标准误差：
vi2
σˆ = i=1
n −1
（贝塞尔公式）
2.算术平均值的标准误差 S= σˆ = λ= L − A
n
3.算术平均值的极限误差 λlim = ±3S
4.算术平均值的相对极限误差 δ= lim
λlim ×100%
L
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第三章 测量误7 差分析与处理
各误差间的关系
二．运算规则
1）数值的舍入修约规则——四舍六入五成双 2）计算规则
(1)进行加减时，和与差的有效数字位数的保留以小数点后位数最少的那个数 相同； (2)进行乘除时，乘与除的有效数字位数的保留以各数据中相对误差最大或有效 数字位数最少的那个数相同； (3)在对数运算中，所取对数的尾数应与其真数的有效数字位数相同。 (4)进行乘方与开方运算时，有效数字与其底数的有效数字位数相同。 (5)在多步计算，中间各步可暂时多保留一位数字，以免多次四舍五入造成误差 的积累，最终结果只能保留应有的位数
第三章 测量误差分析与处理
9、回归分析与经验公式
一、目的 寻求有关联（相关）的变量之间的 关系，以便更适合于计算机数据处理．
二、主要内容 从一组样本数据出发，确定这些变量间的 定量关系式 对这些关系式的可信度进行各种统计检验 从影响某一变量的诸多变量中，判断哪些 变量的影响显著，哪些不显著 利用求得的关系式进行预测和控制
系统误差较小，偶然误差较大，准确度较高。
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第三章 测量误差分析与处理
系统误差与随机误差都比较小，精确度比较高！
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第三章 测量误差分析与处理
在2004年雅典奥运会射击比赛中，由于美国选手埃蒙 斯射中了其他选手的靶子，中国选手贾占波夺得男子50米 步枪比赛冠军。2008年北京奥运会同样的悲剧再次上演 ```````
三、方法 最小二乘法
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最小二乘法 的基本原理 是基于在具 有等精度的 多次测定数 据中求最优 概值，即当 各测定值的 残差平方和 为最小时所 求得的值。
测量数据点
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第三章 测量误差分析与处理
四、回归模型的分类
按是否线性分：线性回归模型 非线性回归模型