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复变函数论第三版课后习题答案解析

第一章习题解答(一)1.设z ,求z 及Arcz 。

解:由于3i z e π-== 所以1z =,2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。

2.设121z z =,试用指数形式表示12z z 及12z z 。

解:由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。

3.解二项方程440,(0)z a a +=>。

:解:12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。

4.证明2221212122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。

证明:由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是:平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件:0321=++z z z ,1321===z z z 。

证明z 1,z 2,z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于1321===z z z,知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。

因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=]21212z z z z ++=所以, 12121-=+z z z z ,又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ,同理33231=-=-z z z z ,知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

6.下列关系表示点z 的轨迹的图形是什么它是不是区域。

(1) 1212,()z z z z z z -=-≠; 解:点z 的轨迹是1z与2z 两点连线的中垂线,不是区域。

(2)4z z ≤-;:解:令z x yi =+由(4)x yi x yi +≤-+,即2222(4)x y x y +≤-+,得2x ≤ 故点z 的轨迹是以直线2x =为边界的左半平面(包括直线2x =);不是区域。

(3)111z z -<+ 解:令z x yi =+,由11z z -<+,得22(1)(1)x x -<+,即0x >; 故点z 的轨迹是以虚轴为边界的右半平面(不包括虚轴);是区域。

(4)0arg(1),2Re 34z z π<-<≤≤且;解:令z x yi =+由0arg(1)42Re 3z z π⎧<-<⎪⎨⎪≤≤⎩,得0arg1423y x x π⎧<<⎪-⎨⎪≤≤⎩,即0123y x x <<-⎧⎨≤≤⎩ &故点z 的轨迹是以直线2,3,0,1x x y y x ====-为边界的梯形(包括直线2,3x x ==;不包括直线0,1y y x ==-);不是区域。

(5)2,1z z >>且-3; 解:点z 的轨迹是以原点为心,2为半径,及以3z =为心,以1为半径的两闭圆外部,是区域。

(6)Im 1,2z z ><且; 解:点z 的轨迹是位于直线Im 1z =的上方(不包括直线Im 1z =),且在以原点为心,2为半径的圆内部分(不包括直线圆弧);是区域。

(7)2,0arg 4z z π<<<且;解:点z 的轨迹是以正实轴、射线arg 4z π=及圆弧1z =为边界的扇形(不包括边界),是区域。

(8)131,2222i z z i ->->且 解:令z x yi =+由1223122i z z i ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩,得2211()2431()24x y x y ⎧+->⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ ,故点z 的轨迹是两个闭圆221131(),()2424xy x y +-=+-=的外部,是区域。

7.证明:z 平面上的直线方程可以写成C z a z a =+(a 是非零复常数,C 是实常数) 证 设直角坐标系的平面方程为Ax By C +=将11Re (),Im ()22x z z z y z z z i==+==-代入,得C z B A z B A =-+-)i (21)i (21令)i (21B A a +=,则)i (21B A a -=,上式即为C z a z a =+。

反之:将,z x yi z x yi =+=-,代入C z a z a =+ 得()()a a x ia ia y c ++-= 则有Ax By C +=;即为一般直线方程。

8.证明:z 平面上的圆周可以写成?0.Azz z z c ββ+++=其中A 、C 为实数,0,A β≠为复数,且2AC β>。

证明:设圆方程为22()0A x y Bx Dy C ++++=其中0,A ≠当224B D AC +>时表实圆;将2211,(),()22x y zz x z z y z z i+==+=-代入,得 11()()022Azz B Di z B Di z c +-+++= 即0.Azz z z c ββ+++=其中11(),()22B Di B Di ββ=+=- 且22211()444B D AC AC β=+>•=;$反之:令,z x yi a bi β=+=+代入20()Azz z z c AC βββ+++=>得22()0,A x y Bx Dy C ++++=其中2,2B a B b == 即为圆方程。

10.求下列方程(t 是实参数)给出的曲线。

(1)t z i)1(+=; (2)t b t a z sin i cos +=;(3)t t z i+=; (4)22i t t z +=,解(1)⎩⎨⎧∞<<-∞==⇔+=+=t t y t x t y x z ,)i 1(i 。

即直线x y =。

(2)π20,sin cos sin i cos i ≤<⎩⎨⎧==⇔+=+=t t b y ta x tb t a y x z ,即为椭圆12222=+b y a x ;(3)⎪⎩⎪⎨⎧==⇔+=+=t y t x t t y x z 1i i ,即为双曲线1=xy ;(4)⎪⎩⎪⎨⎧==⇔+=+=22221i i t y t x t t y x z ,即为双曲线1=xy 中位于第一象限中的一支。

%11.函数z w 1=将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线()iv u w iy x z +=+=,(1)x y =; (2)()1122=+-y x解222211y x yiy x x iy x z w +-+=+==,2222,y x y v y x x u +-=+=,可得 (1)()vy x y y x y y x x u -=+--=+=+=222222是w 平面上一直线;(2)()21211222222=+⇔=+⇔=+-y x x x y x y x ,于是21=u ,是w 平面上一平行与v 轴的直线。

13.试证)arg (arg ππ≤<-z z 在负实轴上(包括原点)不连续,除此而外在z 平面上处处连续。

证 设z z f arg )(=,因为f (0)无定义,所以f (z )在原点z =0处不连续。

当z 0为负实轴上的点时,即)0(000<=x x z ,有$⎩⎨⎧-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+→→→→→ππππx y x y z y x x y x x z z arctan lim arctan lim arg lim 00000所以zz z arg lim 0→不存在,即z arg 在负实轴上不连续。

而argz 在z 平面上的其它点处的连续性显然。

14. 设00=≠z z 求证()z f 在原点处不连接。

【 , 0 , 《 y x xy z f证 由于()01lim lim lim 42062400=+=+=→→=→x x x x x z f x x xy z()21lim lim 666003=+=→=→y y y z f y yx z可知极限()z f z 0lim →不存在,故()z f 在原点处不连接。

&16. 试问函数f (z ) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1内是否连续是否一致连续 【解】(1) f (z )在单位圆| z | < 1内连续.因为z 在内连续,故f (z ) = 1/(1 – z )在\{1}内连续(连续函数的四则运算),因此f (z )在单位圆| z | < 1内连续.(2) f (z )在单位圆| z | < 1内不一致连续.令z n = 1 – 1/n ,w n = 1 – 1/(n + 1),n+. 则z n , w n 都在单位圆| z | < 1内,| z n w n | 0,但| f (z n ) f (w n ) | = | n (n + 1) | = 1 > 0,故 f (z )在单位圆| z | < 1内不一致连续. [也可以直接用实函数f (x ) = 1/(1 – x )在(0, 1)不一致连续来说明,只要把这个实函数看成是f (z )在E = { z | Im(z ) = 0, 0 < Re(z ) < 1 }上的限制即可.]17. 试证:复数列z n = x n + i y n 以z 0 = x 0 + i y 0为极限的充要条件是实数列{x n }及{y n }分别以x 0及y 0为极限. 《【解】() 若复数列z n = x n + i y n 以z 0 = x 0 + i y 0为极限,则 > 0,N +,使得n > N ,有| z n z 0 | < .此时有| x n x 0 | | z n z 0 | < ;| y n y 0 | | z n z 0 | < . 故实数列{x n }及{y n }分别以x 0及y 0为极限.() 若实数列{x n }及{y n }分别以x 0及y 0为极限,则 > 0,N 1+,使得n > N 1,有| x n x 0 | < /2; N 2+,使得n > N 2,有| y n y 0 | < /2.令N = max{N 1, N 2},则n > N ,有n > N 1且n > N 2,故有| z n z 0 | = | (x n x 0) + i (y n y 0) | | x n x 0 | + | y n y 0 | < /2 + /2 = . 所以,复数列z n = x n + i y n 以z 0 = x 0 + i y 0为极限.,20. 如果复数列{z n }合于lim n z n = z 0 ,证明lim n (z 1 + z 2 + ... + z n )/n = z 0. 当z 0 时,结论是否正确【解】(1) > 0,K +,使得n > K ,有| z n z 0 | < /2.记M = | z 1 z 0 | + ... + | z K z 0 |,则当n > K 时,有| (z 1 + z 2 + ... + z n )/n z 0 | = | (z 1 z 0) + (z 2 z 0) + ... + (z n z 0) |/n ( | z 1 z 0 | + | z 2 z 0 | + ... + | z n z 0 |)/n= ( | z 1 z 0 | + ... + | z K z 0 |)/n + ( | z K +1 z 0 | + ... + | z n z 0 |)/n M /n + (n K )/n · ( /2) M /n + /2.因lim n (M /n ) = 0,故L+,使得n > L ,有M /n < /2.|令N = max{K , L },则当n > K 时,有| (z 1 + z 2 + ... + z n )/n z 0 | M /n + / 2 < / 2 + / 2 = . 所以,lim n (z 1 + z 2 + ... + z n )/n = z 0.(2) 当z 0 时,结论不成立.这可由下面的反例看出.例:z n = (1)n · n ,n +.显然lim nz n = . 但k +,有(z 1 + z 2 + ... + z 2k)/(2k ) = 1/2, 因此数列{(z 1 + z 2 + ... + z n )/n }不趋向于.[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同,甚至反例都是一样的.] 2.如果ite z =,试证明(1)nt z z n n cos 21=+; (2)nt z z nnsin i 21=-\解 (1)nt e e e e z z n n sin 21int int int int =+=+=+-(2)nt e e e e z z n n sin i 21intint int int =-=-=--4.设iy x z +=,试证yx z y x +≤≤+2。

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