实际问题与反比例函数关键问答①这个实际问题中的相等关系是什么？②这个实际问题中的反比例函数的图象和数学问题中的反比例函数的图象有什么不同？③在实际问题中,成反比例关系的两个量中一个量取最小值(最大值)时,另一个量怎么取值？1.①已知水池的容量为50立方米,每小时灌水量为n 立方米,灌满水所需时间为t 小时,那么t 与n 之间的函数解析式是( )A ．t ＝50nB ．t ＝50－nC ．t ＝50nD ．t ＝50＋n2．②一台印刷机每年可印刷的书本数量y (万册)与它的使用时间x (年)成反比例关系,当x ＝2时,y ＝20,则y 与x 的函数图象大致是( )图26－2－13．③小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1200 N 和0.5 m,当撬动石头的动力F 至少需要400 N 时,动力臂l 的最大值为________m.命题点 1 反比例函数在几何图形中的应用 [热度：90%]4．2017·宜昌某学校要种植一块面积为100 m 2的长方形草坪,要求两边长均不小于5 m,则草坪的一边长y (单位：m)随另一边长x (单位：m)的变化而变化的图象可能是( )图26－2－25．一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案,如图26－2－3所示,设小矩形的长和宽分别为x ,y ,剪去部分的面积为20,若2≤x ≤10,则y 关于x 的函数图象是( )图26－2－3图26－2－46.如图26－2－5,学校打算用材料围建一个面积为18 m2的矩形生物园用来饲养小兔,其中矩形ABCD的一边AB靠墙,墙长为8 m,设AD的长为y m,CD的长为x m.(1)求y与x之间的函数解析式；(2)④若围成矩形生物园的三边材料总长不超过18 m,材料AD和CD的长都是整数米,求出满足条件的所有围建方案．图26－2－5解题突破④先结合函数解析式和AD,CD的长的特点,找到特殊对应值,再结合CD的长不大于8 m 和材料总长不超过18 m进行取舍.命题点 2 反比例函数在生活中的实际应用[热度：92%]7．⑤李老师参加了某电脑公司推出的分期付款购买电脑活动,他购买的电脑价格为9800元,交了首付之后每月付款y元,x个月结清余款,y与x满足如图26－2－6所示的函数关系,通过以上信息可知李老师的首付款为________元．图26－2－6解题突破⑤首付款是电脑的价格减去余款．8．甲、乙两家商场都进行促销活动,甲商场采用“每满200元减100元”的促销方式,即购买商品的总金额满200元但不足400元,少付100元；满400元但不足600元,少付200元；…,乙商场按顾客购买商品的总金额打六折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品,则付款时应付多少钱？(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元,优惠后得到商家的优惠率为p(p＝优惠金额购买商品总金额),写出p与x之间的函数解析式,并说明p随x的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲、乙两家商场的标价都为x(200≤x＜400)元,你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由．命题点 3 反比例函数在其他学科中的应用 [热度：93%] 9．⑥某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强p (kPa)是气体体积V (m 3)的反比例函数,其图象如图26－2－7所示．当气球内气体的压强大于150 kPa 时,气球将爆炸．为了安全,气体体积V 应该( )图26－2－7A ．小于0.64 m 3B ．大于0.64 m 3C ．不小于0.64 m 3D ．不大于0.64 m 3方法点拨⑥实际问题中对于成反比例关系的两个量,当一个量大于某个数值时,对应的另一个量必定小于对应数值．10．⑦物理学中有这样一个事实：当压力F 不变时,压强p 和受力面积S 之间是反比例函数关系,可以表示成p ＝F S .一个圆台形物体的上底面面积是下底面面积的23,如图26－2－8,如果正放在桌面上,对桌面的压强是200 Pa,那么翻过来放对桌面的压强是________．图26－2－8模型建立⑦物体对桌面的压强和物体与桌面的接触面积成反比例关系． 11.⑧如图26－2－9,李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的试验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A 中放置一个重物,在右边活动托盘B (可左右移动)中放置一定质量的砝码,使得仪器左右平衡．改变活动托盘B 与点O 的距离x (cm),观察活动托盘B 中砝码的质量y (g)的变化情况．试验数据记录如下表：(1)猜测y (2)当砝码的质量为24 g 时,活动托盘B 与点O 的距离是多少？(3)将活动托盘B往左移动时,应往活动托盘B中添加还是减少砝码？图26－2－9模型建立⑧用表格呈现数据时,若自变量与函数值的积一定,则可猜想两者之间是反比例函数关系.命题点 4 反比例函数和一次函数在实际问题中的综合应用[热度：90%]12．⑨教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时,水的温度每分钟上升10 ℃,加热到100 ℃,停止加热,水温开始下降,此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系,直至水温降至30 ℃,饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序．若在水温为30 ℃时接通电源,水温y(℃)和时间x(min)的关系如图26－2－10,为了在上午第一节下课时(8：45)能喝到不超过50 ℃的水,则接通电源的时间可以是当天上午的( )图26－2－10A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．7：50解题突破⑨第1步：求出两个函数的解析式；第2步：求出饮水机完成一个循环周期所需要的时间；第3步：求出每一个循环周期内,水温不超过50 ℃的时间段；第4步：结合4个选项,逐一进行分析计算,得出结论．13．环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图26－2－11所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y 与时间x成反比例关系．(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x之间的函数解析式；(2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？图26－2－1114.⑩某种商品上市之初用了大量的广告宣传,其销售量与上市的天数之间成正比,当广告宣传停止后,销售量与上市的天数之间成反比(如图26－2－12)．现已知上市30天时,日销售量为120万件．(1)写出该商品上市以后销售量y(万件)与时间x(天)之间的函数解析式；(2)求上市至第100天(含第100天),日销售量在36万件以下(不含36万件)的天数；(3)广告合同约定,当日销售量不低于100万件,并且持续天数不少于12天时,广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”,那么本次广告策划,设计师能否拿到“特殊贡献奖”？图26－2－12方法点拨⑩对于此类问题,先通过图象获得“形”的直观感受,再利用函数解析式来实现“量”的解决.15.⑪某食品加工厂以2万元引进一条新的生产加工线．已知加工这种食品的成本价为每袋20元,物价部门规定该食品的市场销售价不得高于每袋35元．若该食品的月销售量y (千袋)与销售单价x (元/袋)之间具有以下函数关系：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧600x （20<x ≤30），0.5x ＋10（30<x ≤35）.(注：月获利＝月销售收入－生产成本－投资成本)(1)当销售单价定为25元/袋时,该食品加工厂的月销售量为多少千袋？ (2)求该加工厂的月获利M (千元)与销售单价x (元/袋)之间的函数解析式．(3)判断当销售单价x (元/袋)的范围为30＜x ≤35时,该加工厂是赢利还是亏损．若赢利,求出最大利润；若亏损,求出最小亏损．模型建立 ⑪本题是一个分段函数问题,需要在自变量的不同取值范围内进行分类研究.16．某厂按用户的月需求量x (件)完成一种产品的生产,其中x ＞0.每件的售价为18万元,每件的成本y (万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x (件)成反比例．经市场调研发现,月需求量x 与月份n (n 为整数,1≤n ≤12)符合关系式x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数),且得到了下表中的数据：月份n (月) 1 2 成本y (万元/件) 11 12 需求量x (件/月)120100(1)直接写出k 的值；(2)求y 与x 满足的函数解析式,请说明一件产品的利润能否是12万元； (3)推断是否存在某个月既不赢利也不亏损．详解详析1．C 2.C 3.1.5 4．C [解析] 由题意得y ＝100x,由两边长均不小于5 m,可得5≤x ≤20,符合题意的选项只有C.5．A [解析] 通过观察可以发现剪去的两个矩形的面积都是10,即xy ＝10,所以y 是x 的反比例函数,根据自变量x 的取值范围可以确定答案为A.6．解：(1)根据题意得xy ＝18,即y ＝18x(0<x ≤8)．(2)由y ＝18x,且x ,y 都是正整数,可知x 可取1,2,3,6,9,18,但x ≤8,x ＋2y ≤18,所以符合条件的有x ＝3,y ＝6；x ＝6,y ＝3. 答：满足条件的围建方案有AD ＝6 m,CD ＝3 m 和AD ＝3 m,CD ＝6 m.7．3800 [解析] 由图形可知y 与x 成反比例,设反比例函数的解析式为y ＝kx,把(2,3000)代入y ＝k x,得k ＝2×3000＝6000,则反比例函数的解析式为y ＝6000x.∵当x ＝1时,y ＝6000,∴李老师的首付款＝9800－6000＝3800(元)． 8．解：(1)510－200＝310(元)．答：顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付310元．(2)p 与x 之间的函数解析式为p ＝200x(400≤x ＜600),p 随x 的增大而减小．(3)在甲商场需花(x －100)元,在乙商场需花0.6x 元．由x －100＞0.6x ,得x ＞250,∴当250＜x ＜400时,在乙商场购买花钱较少； 由x －100＜0.6x ,得x ＜250,∴当200≤x ＜250时,在甲商场购买花钱较少； 由x －100＝0.6x ,得x ＝250,∴当x ＝250时,在两家商场购买花钱一样多． 9．C10．300 Pa [解析] 设下底面的面积为S ,则有200＝F S ,当翻过来放时,p ＝F 23S ＝200S23S ＝300(Pa)．11．解：(1)由表格猜测y 与x 之间的函数关系为反比例函数关系,设y ＝k x(k ≠0),把x ＝10,y ＝30代入求得k ＝300, ∴y ＝300x,将其余各组对应值代入验证均适合,∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝300x.(2)把y ＝24代入y ＝300x,得x ＝12.5,∴当砝码的质量为24 g 时,活动托盘B 与点O 的距离是12.5 cm. (3)应添加砝码．12．A [解析] ∵开机加热时,水的温度每分钟上升10 ℃,∴从30 ℃到100 ℃需要7分钟．设一次函数解析式为y ＝k 1x ＋b ,将(0,30),(7,100)代入y ＝k 1x ＋b , 得k 1＝10,b ＝30,∴y ＝10x ＋30(0≤x ≤7)．令y ＝50,解得x ＝2.设反比例函数的解析式为y ＝k x,将(7,100)代入y ＝k x,得k ＝700,∴y ＝700x.将y ＝30代入y ＝700x ,解得x ＝703,∴y ＝700x (7≤x ≤703)．∴饮水机的一个循环周期为703分钟． 令y ＝50,解得x ＝14.每一个循环周期内,在0≤x ≤2及14≤x ≤703时间段内,水温不超过50 ℃.逐一分析如下：选项A ：7：20至8：45之间有85分钟,85－703×3＝15,位于14≤x ≤703时间段内,故可行；选项B ：7：30至8：45之间有75分钟,75－703×3＝5,不在0≤x ≤2及14≤x ≤703时间段内,故不可行；选项C ：7：45至8：45之间有60分钟,60－703×2＝403≈13.3,不在0≤x ≤2及14≤x≤703时间段内,故不可行； 选项D ：7：50至8：45之间有55分钟,55－703×2＝253≈8.3,不在0≤x ≤2及14≤x ≤703时间段内,故不可行． 13．解：(1)分段讨论： ①当0≤x ≤3时,设线段AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b .把A (0,10),B (3,4)的坐标代入y ＝kx ＋b ,得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10，3k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝10，∴y ＝－2x ＋10.②当x ＞3时,设y ＝m x.把B (3,4)的坐标代入y ＝m x,得m ＝3×4＝12, ∴y ＝12x.综上所述,当0≤x ≤3时,y ＝－2x ＋10；当x ＞3时,y ＝12x.(2)能．理由如下： 令y ＝12x＝1,得x ＝12＜15,故该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L. 14．解：(1)当0＜x ≤30时,设y ＝k 1x ,把(30,120)代入y ＝k 1x ,得k 1＝4,∴y ＝4x .当x >30时,设y ＝k 2x,把(30,120)代入y ＝k 2x,得k 2＝3600,∴y ＝3600x.综上所述,y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （0<x ≤30），3600x（x >30）.(2)当0＜x ≤30时,由4x ＜36,解得x ＜9,即当0＜x ＜9时,日销售量在36万件以下(不含36万件)；当30＜x ≤100时,由3600x<36,解得x ＞100,不合题意．∴上市至第100天(含第100天),日销售量在36万件以下(不含36万件)的天数为8天． (3)当0＜x ≤30时,由4x ≥100,得x ≥25,即25≤x ≤30,有6天； 当x ＞30时,由3600x≥100,得x ≤36,即30＜x ≤36,有6天, 共有6＋6＝12(天),因此设计师能拿到“特殊贡献奖”． 15．解：(1)当x ＝25时,y ＝60025＝24, 所以当销售单价定为25元/袋时,该食品加工厂的月销售量为24千袋． (2)当20＜x ≤30时,M ＝600x (x －20)－20＝580－12000x；当30＜x ≤35时,M ＝(0.5x ＋10)(x －20)－20＝0.5x 2－220.(3)当30＜x ≤35时,M ＝0.5x 2－220,当x ＝35时,M 最大,M 最大＝0.5×352－220＝392.5,392.5千元＝39.25万元．答：当销售单价x (元/袋)的范围为30＜x ≤35时,该加工厂赢利,最大利润为39.25万元．16．解：(1)将n ＝1,x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3),解得k ＝13,∴x ＝2n 2－26n ＋144.将n ＝2,x ＝100代入x ＝2n 2－26n ＋144也符合, ∴k ＝13.(2)设y ＝a ＋b x.由表中数据可得：⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b120，12＝a ＋b 100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝600，∴y ＝6＋600x.由题意,若12＝18－(6＋600x ),则600x＝0,∵x ＞0,∴600x＞0,∴一件产品的利润不能是12万元． (3)由题意,得18＝6＋600x,解得x ＝50,∴50＝2n 2－26n ＋144,即n 2－13n ＋47＝0,∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0, ∴方程无实数根,∴不存在某个月既不赢利也不亏损． 【关键问答】①每小时灌水量×灌满水所需时间＝水池的容量．②因为这个实际问题中的自变量和函数值均大于0,所以这个实际问题中的反比例函数的图象是第一象限内的一条曲线．③另一个量取最大值(最小值)．。