Harbin Institute of Technology现代控制理论基础上机实验报告之一亚微米超精密车床振动控制系统的状态空间法设计课程名称：现代控制理论院系：航天学院自动化班号：1104103作者：皮永江学号：1110410228指导教师：刘杨、井后华哈尔滨工业大学2014年6月5日1.工程背景介绍超精密机床是实现超精密加工的关键设备，而环境振动又是影响超精密加工精度的重要因素。
为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空气弹簧作为隔振元件，并取得了一定的效果，但是这属于被动隔振，这类隔振系统的固有频率一般在2Hz左右。
2.实验目的通过本次上机实验，使同学们熟练掌握：a)控制系统机理建模b)时域性能指标与极点配置的关系c)状态反馈控制律设计d)MATLAB语言的应用3.给定的实际参数与数学建模3.0参数与物理模型机床的已知参数⁄m=120kgk0=1200N mk e=980N A⁄c=0.2R=300ΩL=0.95H上图表示了亚微米超精密车床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元件为空气弹簧，主动隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器。
床身质量的运动方程为：ms̈+F p+F a=0(1)F p−空气弹簧所产生的被动控制力F p−作动器所产生的主动控制力假设空气弹簧内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：F p=cẏ+k0y+p r{1−[V r(Vr +A e y)n⁄]}A e(2) V r−标准压力下的空气弹簧体积y=s−s0−相对位移（被控制量）p r−空气弹簧的参考压力A r−参考压力下单一弹簧的面积A e=4A r−参考压力下空气弹簧的总面积n−绝热系数电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通量密度及永久磁铁和电磁铁之间的间隙面积有关，这一关系具有强非线性。
由于系统工作在微振动状况，且在低于作动器截止频率的低频范围内，因此主动控制力可近似线性化地表示为：F a=k e I a(3)k e−力-电流转换系数I a−电枢电流其中，电枢电流I a满足微分方程：LI a+RI a+E(I a,ẏ)=u(t)(4) L−控制回路电枢电感系数R−控制回路电枢电阻E−控制回路反电动势u−控制电压综上得到如下方程组：{ms̈+F p+F a=0 (1) F p=cẏ+k0y+p r{1−[V r(Vr+A e y)n⁄]}A e (2) F a=k e I a (3) LI a+RI a+E(I a,ẏ)=u(t) (4)3.1如果忽略非线性部分数学建模{ms̈+Fp +F a =0 (1)F p =cẏ+k 0y (2)F a =k e I a (3)LI a+RI a =u (t ) (4)y =s̈⇒ {mÿ=−(cẏ+k 0y +k e I a )my ⃛=−(cÿ+k 0ẏ+k e I a ) 整理 ⇒ { I a =−1k e(mÿ+cẏ+k 0y)I a =−1k e (my ⃛+cÿ+k 0ẏ)带入(4)式⇒ −L k e (my ⃛+cÿ+k 0ẏ)−Rk e(mÿ+cẏ+k 0y )= u (t )整理得⇒ −Lm k e y ⃛−Rm +Lc k e ÿ−Rc +Lk 0k e ẏ−Rk 0k ey = u (t ) 设状态变量为：x 1=y,x 2=ẏ,x 3=ÿ得到状态方程：{x 1=x 2x 2=x 3x 3=−Rk 0Lm x 1−Rc +Lk 0Lm x 2−Rm +Lc Lm x 3−k eLmu状态空间表达式：[x 1x 2x 3]=[01001−Rk 0Lm−Rc +Lk 0Lm −Rm +Lc Lm ]+[0−k e Lm ]uy =[100][x 1x 2x 3]代入数据：{ −Rk 0Lm =−300∗12000.95∗120=−3157−Rc +Lk 0Lm =−300∗0.2+0.95∗12000.95∗120=−10.52−Rm +Lc Lm =−300∗120+0.95∗0.20.95∗120=−316−k e Lm =−9800.95∗120=−8.6那么状态空间表达式为：[x 1x 2x 3]=[010001−3157−10.52−316]+[00−8.2]u y =[100][x 1x 2x 3] 显然系统能控，可以采用状态反馈进行任意配置极点。
3.2考虑非线性部分数学建模因为系统工作在低速，微位移情况下，那么对于(2)式中p r {1−[Vr (V r +A e y)n ⁄]}A e 0点泰勒一阶展开⇒ np r A e 2V rn y n =1.41P r =0.4∗105Pa d =0.3m ⇒A r =πd 34= 0.0707⇒A e =4A r =0.2827m 2h =0.28m ⇒V r =A r ×ℎ=0.0198m 3q =np r A e 2V rn =1.41∗4∗10000∗0.282720.01981.41=1.14×107 (4)式中E (I a ,ẏ)=5.4ẏ ，{ ms̈+F p +F a =0 (1)F p =cẏ+(k 0+q)y (2)Fa =k e I a (3)LI a+RI a +5.4ẏ=u (t ) (4)y=s ⇒ {mÿ=−(cẏ+k 0y +k e I a )my ⃛=−(cÿ+k 0ẏ+k e I a ) 整理 ⇒ { I a =−1k e [mÿ+cẏ+(k 0+q )y]I a =−1k e[my ⃛+cÿ+(k 0+q)ẏ]带入(4)式⇒ −L k e (my ⃛+cÿ+k 0ẏ+qẏ)−Rk e(mÿ+cẏ+k 0y +qy )+5.4ẏ= u (t ) 整理得⇒ −Lm k e y ⃛−Rm +Lc k e ÿ−Rc +Lk 0+Lq −5.4k e k e ẏ−Rk 0+Lq k ey = u (t )设状态变量为：x 1=y,x 2=ẏ,x 3=ÿ得到状态方程：{x1=x2 x2=x3x3=−R(k0+q)Lmx1−Rc+L(k0+q)−5.4k eLmx2−Rm+LcLmx3−k eLmu状态空间表达式：[x1x2 x3]=[010001−R(k0+q)Lm−Rc+Lk0+Lq−5.4k eLm−Rm+LcLm]+[−k eLm]uy=[100][x1x2x3]代入数据：{−Rk0+RqLm=−300∗1200+300∗1.14×1070.95∗120=−3×107−Rc+Lk0+Lq−5.4k eLm=−300∗0.2+0.95∗(1200+1.14×107)−5.4∗9800.95∗120=−1.2×108−Rm+LcLm=−300∗120+0.95∗0.20.95∗120=−316−k eLm=−9800.95∗120=−8.6[x1x2x3]=[010001−3×107−1.2×108−316]+[−8.6]uy=[100][x1x2x3]显然系统能控，可以采用状态反馈进行任意配置极点。
4.性能指标与理论设计4.0性能指标：闭环系统单位阶跃响应的a)超调量不大于5%b)过渡过程时间不大于0.5秒（∆=2%）。
由经验公式得到：σp≈√1−ξ2π×100%<5%⇒ ξ>0.7t s≈4ξωn≤0.5(∆=2%)⇒ξωn>8为留有一定余量，设ξωn=10，ξ=√22(θ=45。
)得到闭环主导极点为：−10±j10,取第三个极点为−100；得到闭环特征多项式为：f∗(λ)=(λ+100)(λ+10+j10)(λ+10−j10)=λ3+120λ2+2200λ+200004.1忽略非线性状态控制采用状态反馈控制，设状态反馈矩阵为：K=[k1k2k3]u=v+KX=v+[k1k2k3] [x1 x2 x3 ]f(λ)=det[λI−(A+bK)]=|[λ000λ000λ]−[010001−(3157+8.2k1)−(10.52+8.2k2)−(316+8.2k3)]| =|λ−100λ−1(3157+8.2k1)(10.52+8.2k2)λ+(316+8.2k3)| =λ3+(316+8.2k3)λ2+(10.52+8.2k2)λ+3157+8.2k1{f(λ)=λ3+(316+8.2k3)λ2+(10.52+8.2k2)λ+3157+8.2k1f∗(λ)=λ3+120λ2+2200λ+20000{316+8.2k3=12010.52+8.2k2=22003157+8.2k1=20000⇒{k1=2054k2=267k3=−24得出状态控制规律为：v=u+KX=u+[2054267−24] [x1x2x3]系统校正框图如下图：4.2考虑非线性状态控制K=[k1k2k3]u=v+KX=v+[k1k2k3] [x1 x2 x3 ]f(λ)=det[λI−(A+bK)]=|[λ000λ000λ]−[010001−(3157+8.2k1)−(10.52+8.2k2)−(316+8.2k3)]| [x1x2x3]=[010001−3×107−1.2×108−316]+[−8.6]uFigure 1系统模拟结构图=|λ−100λ−1(3×107+8.2k 1)(1.2×108+8.2k 2)λ+(316+8.2k 3)|=λ3+(316+8.2k 3)λ2+(1.2×108+8.2k 2)λ+3×107+8.2k 1{f (λ)=λ3+(316+8.2k 3)λ2+(1.2×108+8.2k 2)λ+3×107+8.2k 1f ∗(λ)=λ3+120λ2+2200λ+20000{316+8.2k 3=1201.2×108+8.2k 2=22003×107+8.2k 1=20000 ⇒ {k 1=−3.65×106k 2=−1.46×107k 3=−24得出状态控制律为：u =v +KX =v +[−3.65×106−1.46×107−24] [x 1x 2x 3]控制流程简图在此处键入公式。
Figure 2系统模拟结构图5.数字仿真5.1闭环传递函数校正后系统状态空间表达式：[x1x2x3]=[010001−20000−2200−120][x1x2x3]+[−8.6]uy=[100][x1x2x3]Simulink仿真框图：Figure 3 Simulink仿真框图系统0初始状态响应曲线：Figure 4闭环系统0初始状态响应曲线系统非0初始状态响应曲线：Figure 5系统非0初始状态响应曲线：5.2闭环传递函数与数字仿真Φ(s)=C(sI−A)−1BΦ(s)=[100][s−100s−1 200002200s+120]−1[−8.6]=−8.6s3+120s2+2200s+20000为了更好的观测系统的超调量σp，以及调整时间t s，可以将系统闭环传递函数增益调整为1，或者将阶跃响应的幅值调到20000−8.6，那么系统的稳态输出为1。