现代控制理论大作业一、位置控制系统----双电位器位置控制系统由系统分析可知，系统的开环传递函数：2233.3s =s s 2*0.07s*s 205353G（）（+1）*（++1）另：该系统改进后的传递函数：223.331s =s s 2*0.07s*s 3455353G （）（+1）*（++1）1、时域数学模型<1>稳定性>> s=tf('s');>> G=33.3/(s*(s/20+1)*(s^2/53^2+2*0.07*s/53+1)); >>sys=feedback(G,1); >> sysTransfer function:9.915e007 -----------------------------------------------------------53 s^4 + 1453 s^3 + 1.567e005 s^2 + 2.978e006 s + 9.915e007>> pzmap(sys)由零极点图可知，该系统有四个极点，没有零点，其中两个在左半s 开平面上，两个在s 平面的虚轴处，则，四个极点的坐标分别是：>> p=pole(sys)p =0.0453 +45.2232i0.0453 -45.2232i-13.7553 +26.9359i-13.7553 -26.9359i系统的特征方程有的根中有两个处于s的右半平面，系统处于不稳定状态<2>稳态误差分析稳态误差分析只对稳定的系统有意义，系统（G）处于不稳定状态，所以不做分析。

改进后系统（G1）如下，求其特征方程的极点：>> s=tf('s');>> G1=3.33/(s*(s/345+1)*(s^2/53^2+2*0.07*s/53+1));>> sys2=feedback(G1,1);>>p=pole(sys2);p =1.0e+002 *-3.4492-0.0206 + 0.5258i-0.0206 - 0.5258i-0.0338可以看出，改进后的传递函数G1的四个极点都在s平面的右半开平面上，则系统G1是稳定的，故对此系统做稳态误差分析：由系统G1的开环传递函数在原点处有一个极点，故属于1型系统。

系统是电位器位置控制，信号的输入应该是一种瞬时变化，类似于系统的阶跃响应，所以查稳态误差与系统结构参数、输入信号特性之间关系一览表，可得系统G1的稳态误差为零。

<3>动态响应分析（主要是单位阶跃响应，其他响应一般是用于静态性能的测试）①系统的单位阶跃响应：>> s=tf('s');>> G=33.3/(s*(s/20+1)*(s^2/53^2+2*0.07*s/53+1))>>sys=feedback(G,1);>> step(sys）由上图可知，该系统是不稳定的。

系统G1的单位阶跃响应：>> s=tf('s');>> G1=3.33/(s*(s/20+1)*(s^2/345^2+2*0.07*s/53+1)); >> sys2=feedback(G1,1);>> step(sys2)由上图可以看出。

此时的系统G1是稳定的。

②系统的脉冲响应：>> s=tf('s');>> G=33.3/(s*(s/20+1)*(s^2/20^2+2*0.07*s/53+1)); >>sys=feedback(G,1);>> impulse(sys)系统G1的脉冲响应：>> s=tf('s');>> G1=3.33/(s*(s/20+1)*(s^2/345^2+2*0.07*s/53+1)); >> sys2=feedback(G1,1);>> impulse(sys2)③系统的斜坡响应：>> s=tf('s');>> G=33.3/(s*(s/20+1)*(s^2/20^2+2*0.07*s/53+1)); >>sys=feedback(G,1);>> t=[0:0.1:10];>> u=t;>> lsim(sys,u,t)系统G1的斜坡响应：>> s=tf('s');>> G1=3.33/(s*(s/20+1)*(s^2/345^2+2*0.07*s/53+1));>> sys2=feedback(G1,1);>> t=[0:0.1:10];>> u=t;>> lsim(sys2,u,t)2、复域数学模型通常借助根轨迹图来分析系统的动态性能，也可根据根轨迹的性质来设计系统，使其满足期望的动态性能。

根轨迹的形态是由系统开环零、极点在s平面上的分布及其系统的开环增益（即系统的结构、参数）决定的。

根轨迹图清晰地给出了闭环系统极点随系统参数变化而变化的轨迹。

3、频域数学模型利用博德图来分析系统的稳定性和频域指标matlab程序如下：>> p=bodeoptions;>> p.grid='on';>> p.Xlim={[1,300]};>> G=33.3/(s*(s/20+1)*(s^2/53^2+2*0.07*s/53+1));>> [mag,phase,w]=bode(G,p);>> bode(G,p);>> hold on;>> grid off>> [gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w);>> margin(G);>> display(pm)pm =0.3592>> display(gm)gm =0.9945由上图可知，系统的增益裕量和相位裕量都不理想，特适当调整系统增益和系统某环节频宽。

系统G1的博德图程序及绘制：>> p=bodeoptions;>> p.grid='on';>> p.Xlim={[1,300]};>> G=3.33/(s*(s/20+1)*(s^2/345^2+2*0.07*s/53+1)); >> [mag,phase,w]=bode(G,p);>> bode(G,p);>> hold on;>> grid off>> [gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w);>> margin(G);>> display(pm)pm =88.9>> display(gm)gm =6.97改进后，系统的增益裕量和相位裕量相对较合适。

4、现代控制理论模型<1>系统的稳定性由G（s）的表达式，可知其状态方程的表达式：>> G=33.3/(s*(s/20+1)*(s^2/53^2+2*0.07*s/53+1)); >>sys=feedback(G,1);Transfer function:9.915e007-----------------------------------------------------------53 s^4 + 1453 s^3 + 1.567e005 s^2 + 2.978e006 s +9.915e007 >> num=[0 0 0 9.915e007];>> den=[53 1453 1.567e005 2.978e006 9.915e007];>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)A =1.0e+006 *-0.0000 -0.0030 -0.0562 -1.87080.0000 0 0 00 0.0000 0 00 0 0.0000 0B =1C =1.0e+006 *0 0 0 1.8708D =则由李雅普诺夫的稳定性,求系统矩阵A的特征根如下：>> E=eig(A)E =0.0567 +45.2203i0.0567 -45.2203i-13.7643 +26.9331i-13.7643 -26.9331i特征值并不是都有负实部，所以系统是不稳定的。

所以系统G不存在系统的能观性和能控性。

系统G1的稳定性如下：>> s=tf('s');>> G1=3.33/(s*(s/20+1)*(s^2/345^2+2*0.07*s/53+1));>> sys2=feedback(G1,1);Transfer function:1.71e008---------------------------------------------------------------53 s^4 + 1.868e004 s^3 + 2.846e005 s^2 + 5.136e007 s + 1.71e008>> num=[1.71e008];>> den=[53 1.868e004 2.846e005 5.136e007 1.71e008];>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)A =1.0e+006 *-0.0004 -0.0054 -0.9691 -3.22640.0000 0 0 00 0.0000 0 00 0 0.0000 0B =1C =1.0e+006 *0 0 0 3.2264D =>> E=eig(A)E =1.0e+002 *-3.4495-0.0206 + 0.5257i-0.0206 - 0.5257i-0.0338又以上程序可知，A矩阵的特征值都有负实部，所以系统G1是稳定的。

下面讨论系统G1的能控性和能观性。

<2>系统G1的能控性：>> M=CTRB(A,B)M =1.0e+007 *0.0000 -0.0000 0.0119 -4.09670 0.0000 -0.0000 0.01190 0 0.0000 -0.00000 0 0 0.0000>> R=rank(M)R =4由M满秩，所以系统能控。