五、 数据处理
由题目可知，共有 53 个乡镇，即在网络图赋权网络图 G（V，E，W） 中共
E {eij } 表示 有 53 个点. 其中 V {v1 , v 2 , v n } (n 53) 表示图 G 的 53 个节点，
相关联的两点 i, j 的边集， W {wij } 表示相关联两点 i, j 间的权值。 定义决策变量 rij ：
考虑原则①。按照此原则，逐个巡视，直至巡视完所有点。 对于问题四，若巡视组数已定，则每个小组的最短路径就已确定，T 、t 、V 改变只影响的是整个的巡视时间。要求尽快完成巡视，即巡视时间要尽可能小。 巡视时间包括到巡视点的行驶时间和在巡视点的停留时间。 行驶时间主要取决于 速度 V ，而停留时间由 T 、t 决定。所以此问题讨论的是当 T 、t 、V 改变时对巡 视时间的影响，即对 T 、 t 、 V 的灵敏度分析。
《数学建模》 课 程 论 文
组 别 学生一 学生二 学生二 时 间 成 绩
第4组 电气 146 张帅 土木 142 石宁 水工 142 刘瑾 2016 年春季学期
灾情巡视路线模型
摘要
本文研究的是考察灾情最佳巡视线路设计的问题，属于多旅行商问题，为此 我们建立了网络图模型。 利用最小生成树图形和最短路树图形相结合， 通过分析、 计算比较得出最优解。 对于问题一，我们建立赋权网络图。利用 matlab 编程得到此网络图的最小 生成树图和最短路径树图， 以两图相重合的部分作为分区的界限，将整个网络图 分为三个分区。以总路程最短和均衡度最小作为目标函数建立多目标规划模型， 利用哈密顿算法编写 matlab 程序求得各组最优巡回路线(见附表 1)。 对于问题二，基于对问题一结果的分析，发现分三组的情况下，不能满足题 目要求。 因此我们首先考虑分四组的情况。在分三组的基础上根据分组பைடு நூலகம்则将图 大致划分为 4 各子图。同样以巡视路程最短和时间均衡度最小为目标函数，各巡 视时间小于 24 小时作为约束条件建立多目标规划模型。利用哈密顿算法编程求 得各组最佳巡视路线及巡视时间（见附表 2） 。 对于问题三， 在巡视人员足够多的情况下，巡视距离 O 点最远的点所用的时 间为最短时间，根据最短路径树，从远到近，依次巡视各村镇，在所用时间不大 于最短时间的前提下，各组尽可能多的巡视几个村镇，进行分组确立巡视点，并 对已巡视过的点进行逐个剔除。通过人工记录，得出分组情况及巡视路线（见附 表 3） ，最短时间为 6.4286 小时。 对于问题四，在组数固定时，则各组的最短路径就已确定， T 、 t 、 V 改变 影响的只是整个巡视时间。我们利用 matlab 编程画图得到 T 、t 、V 与巡视时间 的关系曲线。观察曲线发现：①当速度 V 较小时，V 的变化对巡视时间的影响较 大；②停留时间 t 与巡视时间呈线性关系，无论 t 取何值，对巡视时间影响都较 大。此两种情况下都需适当调整分组。
巡视路线如下表 1： 行走路 小组 路线 程 ci
第一组 第二组 第三组
O, P ,26 ,N ,23, 24 ,27 ,28 ,Q, 29, Q ,30, 32 ,31, R ,A, 206.8km 33, 35 ,34 ,B, 1 ,O O,M,25,21,K,22,17 ,16 ,I ,18 ,I ,15 ,H ,14 ,13 ,J ,19 216.6km ,L ,20, 25, M, O O ,2 ,5 ,6, 7 ,E, 9 ,F ,10, F ,12 ,G ,11, E ,8, 4, D ,3 ,C, 186.4km O
3 min ci i 1 min
约束条件：每个小组所走的路线必须是条回路。 6.1.2 模型求解 根据问题一的分析，根据两图的公共部分作为分组的界限，分组图如下（图 2） ：
将分好的三个子区域分别利用哈密顿原理进行编程求解， 得到三个小组的巡 视路线为： 第一组：O, P ,26 ,N ,23, 24 ,27 ,28 ,Q, 29, Q ,30, 32 ,31, R ,A, 33, 35 ,34 ,B, 1 ,O 行走的总路程为 c1 206.8km 第二组：O ,M ,21, K ,22 ,17, 16 ,I ,18 ,I ,15 ,14, 13, 14,H ,12 ,G ,11, J ,19, L ,20, 25 M ,O 行走的总路程为 c 2 245.5km 第三组：O, 2 ,5 ,6 ,7, E, 9 ,F, 10 ,F, 9 ,E, 8 ,4 ,D, 3, C, O 行走的总路程为 c3 158.8km 三组所行走的总路程：
则三组所行走的总路程：
C ci 609.8km
i 1 3
此分区下的均衡度：

max(ci ) min(ci ) c 2 c3 0.13 max(ci ) c2
由 0.15 可知，此种情况下的分区较为合理。各小组的巡视路线如下图 3
6.2 问题二 6.2.1 模型准备： 根据第一问的结果得出在分三组的情况下，各小组所用时间： 206.8 30.9h 第一组： t1 6T 13t V 216.6 29.2h 第二组： t 2 6T 11t V 186.4 26.3h 第三组： t 3 5T 11t V 通过以上数据观察可知，分三组时不能满足题目要求，所以我们先考虑分四组。 6.2.2 模型建立 根据问题二分析，建立多目标规划模型。 要求设计最佳巡视路线，即使总路程最短，并且所用时间相对均衡，得出目 标函数：
1 rij 0
表示i, j两点相关联 表示i. j两点不相关
其中相关联表示 i, j 两点之间有权值，不相关表示 i, j 之间没有权值。 将这些点和权值生成图 G 的矩阵，对于不相关的两点权值作为无穷大处理 （数据.txt） 。用 MATLAB 编写程序，得出该网络图 G 的最小生成树。再运用迪克 斯特拉算法求出出发点 O 到各点的最短距离，即网络图的最短路径树。画出的两 种图形如图 1 所示。
六、 模型建立与求解
6.1 问题一 6.1.1 模型建立 通过问题一的分析，建立多目标规划模型。 （1）三组巡视的总路线最短：
min
（2）巡视路线尽量均衡：
c
i 1
3
i
min
max(ci ) min(ci ) max(ci )
我们设当 0.15 时，认为均衡度比较好。 综上得出目标函数：
二、 模型假设
2.1 假设地面情况一切正常，不会影响汽车行驶速度； 2.2 假设第二次经过的乡镇，不计算停留时间； 2.3 对于同一乡镇，如果某一小组停留过，其他小组经过时不计算停留时间； 2.4 假设经过邻县村不做任何停留； 2.5 假设县镇府所在地灾情不派小组人员巡视。
三、 符号说明
ci
第 i 个小组所走路程 衡量均衡度（ 越小，均衡度越好；反之，均衡度越差） 巡视一个乡（镇）所花时间 T 2h 巡视一个村所花时间 t 1h 汽车的行驶速度 V 35km / h 第 i 个小组巡视所用时间 最短路径树中从 O 点出发到所有点距离中的最大距离
C ci 611 .1km
i 1 3
6.1.3 均衡度分析 根据三组所行走的路程 ci 求得均衡度：

max(ci ) min(ci ) c 2 c3 0.35 max(ci ) c2
因为 0.35 0.15 ，我们认为均衡度不好，需要对分组进行修正。 通过结果发现第二小组所行走的路程比较多，而第三小组行走路程较短，我 们考虑将分区 2 中离分区 1 较近但距 1 较远的 11，G，12 三个点划到第三分区 中，而分区的区域不变。在此情况下，重新利用哈密顿算法编程得到三个小组的

T
t
V
ti S max
Sj
最短路径树中点 j 距出发点的距离 ( j O, A, B N , P, R,1,2 35) 完成所有巡视所用的最短时间 巡视完所规定的点外的剩余时间 小组巡视乡镇的个数 小组巡视村得个数
Tmin
Ts
n m
四、 问题分析
本文研究的是考察灾情最佳巡视线路设计的问题， 准确合理的路线设计对灾 情巡视救治起着重要作用。为很好的解决此问题，为此我们建立了网络图模型。 对于问题一， 题目要求在分三组巡视的情况下，使总路程最短且各小组所走 路程均衡。先考虑分区，我们将得出的最小生成树图形和最短路树图形，进行比 较并找出其公共部分。分组要求尽量不破坏最短生成树和最小生成树，所以我们 以公共部分为界限，将此网络图分为三组。为使每小组所走路程均衡，我们引入 了均衡度 。它表示最大路程和最小路程的差值与最大路程的比值。 越小，表 示均衡度越好。以总路程最短和均衡度最小作为目标函数建立多目标规划模型， 利用哈密顿原理得出各组的巡回路线，并对其分析修正求得各组最优巡回路线。 对于问题二，要求在 24 小时内完成所有巡视。 通过第一问的结果，求得在 1 609.8 ) 28.8h 大于 24 小时， 分三组的情况下所用的平均时间 T1 (17T 35t 3 35 所以我们先考虑分四组。我们的分组原则为：1、每子区域所分得的点近似相等； 2、尽量使每一个子区域连通；3、使每一个子区域中与点 O 的最短路上的点在该 区域内。 根据以上分组原则将整个图大致划分为四个子图，同样利用哈密顿算法 求得在相对均衡的情况每个小组的最短路径和所需时间。如果部分时间大于 24 小时，则调整分组方式；若所有时间均大于 24 小时再考虑多加一组。直到找到 相对均衡条件下的最佳路线。 对于问题三，考虑在人员足够多的情况下，求出最短的巡视时间。假设一个 小组只巡视一个点的情况下， 则去巡视离 O 点最远的点所花时间最长。我们以巡 视小组中所耗时间最长的小组所用时间作为这次整个巡视的最短时间。 要使这次 巡视时间最短，则要求去巡视离 O 点最远的点所花时间最小，由图一可知，离 O 点最远的点为 H， 所以就以巡视 H 所花时间作为 Tmin 。 当此小组只巡视 H 时，Tmin 最小。在不超过 Tmin 的情况下，根据其他小组的剩余时间确定沿途是否巡视其他 点。其中巡视原则为：①当一组人员巡视完规定点后时，在剩余时间允许的情况 下，优先考虑原巡视点附近而距离 O 较远的点，②最大限度使用剩余时间，主要