2.1.2 直线的方程
——点斜式、斜截式
南京航空航天大学附属高级中学 洪俊
学习目标：
1．探索并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，能熟练求出直线方程；
2．体会化归的思想，逐步培养自己分析问题，解决问题的能力；
3．进一步理解直线和直线方程之间的关系，体现数形结合的数学思想．
学习重点：
掌握直线的点斜式、斜截式方程及运用．
学习过程：
一、问题情境
1．问题情境．
（1）已知直线l 经过点A （2,3），B （1,4），计算直线l 的斜率；
（2）已知直线l 经过点A （m ,3），B （1,4）且斜率为-3，计算m 的值；
（3）直线l 经过点A （1，3）斜率为2，点P （－1，－1）在直线l 上吗？
2．探究活动．
（1）已知直线l 经过点(1,3)A -且斜率为－2，你能求出l 经过的另一点B （2， y ）的纵坐标吗？你能画出直线l 吗？
（2）已知直线l 经过点(1,3)A -，斜率为－2，点(,)P x y 在直线l 上运动，那 么点P 的坐标(,)x y 会满足什么样的关系？你能画出直线吗？
（3）直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ，设点),(y x P 是直线l 上的任意
一点，写出y x ,与00,,y x k 之间有一个关系式．
二、建构数学
1．点斜式：
如图，直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ，设点),(y x P 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，由斜率公式得： 即 （*）
注： 1° 直线l 上每一个点的坐标都是（*）式的解；
2° 以（*）式的解为坐标的点都在直线l 上；
（*）由直线上一定点及其斜率确定，我们把（*）叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．求直线上任意一点P （x ，y ）的坐标x 和y 之间的关系，其实质就是求直线的方程；
3° 问题：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
2．特殊的直线方程．
（1）直线l 经过点111(,)P x y ，
且直线的倾斜角为0，直线l 的方程是 ． （2）直线l 经过点111(,)P x y ，
且直线的倾斜角为90，直线l 的方程是 ． （3）直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，则直线l 的方程为 ． 说明：
（1） 若直线l 与x 轴交点是(,0)a ，与y 轴交点是(0,)b ，则称a 为直线l 在x 轴上的截距，称b 为直线l 在y 轴上的截距．
（截距的本质是点的某一个坐标，所以截距可以大于0，也可以等于或小于 0，截距与距离是二个不同的概念）．
（2）方程y ＝kx ＋b 由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定，叫做直线 方程的斜截式方程．
（3）初中学习的一次函数y kx b =+中，常数k 是直线的斜率，常数b 为直 线在y 轴上的截距．
三、数学运用
例1 一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线方程．
00()y y k x x -=-00
y y k x x -=
-
例2
求直线2)y x =-的倾斜角．
例3
求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程． 练习：
1．写出下列直线的点斜式方程：
（1） （2）
（3）
2．说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角：
（1）y －2 ＝x －1 22y +=（）
3．当k 不断变化时，直线y ＝ k （x ＋2）恒过点 ．
4．已知点P 的坐标为（1，—1），直线l 的方程为013=+-y x
（1）求经过点P 且与直线l 斜率相等的直线方程；
（2）求经过点P 且倾斜角为直线l 的倾斜角2倍的直线方程．
5．求在x 轴上的截距为1，且倾斜角的正弦值为53的直线方程．
四、回顾小结
（1）数学知识：直线的点斜式方程、斜截式方程；截距的概念．
（2）数学思想方法：数形结合的数学思想方法．
五、课外作业
1．课本第77页第1（1）（2）（3），2题．
2．补充．
（1）经过点（1，2），且斜率为2的直线方程是 ；
过点（1，2），且倾斜角为00的直线方程为 ．
（2）倾斜角为0150，在y 轴上的截距为－2的直线方程为 ．
（3）已知一条直线经过点A （1，2） 且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求该直线的方程． 0(30B 经过倾斜角是．0(0,5),0C 经过倾斜角是．
(3,1),A -经过。