2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{}1,3,4A =，{}0,1,2B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}0B ．{}2C ．{}0,2D ．{}0,2,42．已知31log 2a =，1413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．b a c >>3．函数()232lg 1x x f x x ++=+的定义域为（ ）A ．()2,1--B ．(]2,3-C ．()()13,31,⋃---D ．()(]12,31,⋃---4．已知函数()221f x x ax a +++=为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．20x y -=B ．210x y -+=C ．220x y -+=D ．210x y --=5．根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL 血液中酒精含量在[)20,80（单位：mg ）即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL ，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过n 小时才能开车，则n 的最小整数值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86．若函数()()32213af x x a x x +-++=在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a <或4a >B ．4a ≥C ．14a <<D ．14a ≤≤7．函数()1ln1xf x x-+=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知函数()21x xe f e x -=，若()()313log log 21f x f x f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为（ ） A ．113x ≤≤ B ．133x ≤≤ C ．13x ≥D ．03x <≤ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列四个命题中，为假命题的是（ ） A ．()0,1x ∃∈，12x x=B ．“x ∀∈R ，210x x +->”的否定是“x ∃∈R ，210x x +-<”C ．“函数()f x 在(),a b 内()0f x >”是“()f x 在(),a b 内单调递增”的充要条件D ．已知()f x 在0x 处存在导数，则“()00f x '=”是“0x 是函数()f x 的极值点”的必要不充分条件10．已知函数()121xf x a =+-，则（ ） A ．对于任意实数a ，()f x 在(),0-∞上均单调递减 B ．存在实数a ，使函数()f x 为奇函数C ．对任意实数a ，函数()f x 在()0,∞上函数值均大于0D ．存在实数a ，使得关于x 的不等式()1f x >的解集为()0,211．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y （单位：mg ）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y 与x 成正比；药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为18x ay -⎛⎫⎪⎝⎭=（a 为常数），则（ ）A ．当00.2x ≤≤时，5y x =B ．当0.2x >时，0.118x y -⎛⎫⎪⎝⎭=C ．2330小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg 以下D ．1315小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg 以下12．已知函数()()1ln f x x x x --=，下述结论正确的是（ ） A ．()f x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．存在实数a ，使得()2f a >C ．方程()1f x =-有且仅有两个实数根，且两根互为倒数D ．当1k <时，函数()f x 与()g x kx =的图象有两个交点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设集合{}02A x x =<<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为________．14．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数[]y x =称为高斯函数，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，当(]1.5,3x ∈-时，函数22x y ⎡-=⎤⎢⎥⎣⎦的值域为________．15．设1x 满足223x x +=，2x 满足2221x x -=-，则12x x +=________．16．已知λ∈R ，函数()32,2,x x x f x x x λλ⎧->=⎨--≤⎩，当0λ=时，不等式()0f x <的解集是________；若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是________．（本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合{A x y ==，{}2,03xB y y x ==<<．（1）若1m =，求A B ⋃；（2）设p ：x A ∈，q ：x B ∈，若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知函数()()322f x x x x a a +++=∈R ．（1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有3个零点，求a 的取值范围． 19．（12分）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()1xf x e x =+-．（1）求()f x 的解析式；（2）若存在[]1,1k ∈-，使不等式()()222230f t t k f t kt +++++<-成立，求实数t 的取值范围． 20．（12分）已知函数()1ln x f x ea x --=．（1）若函数()f x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，证明：()ln f x a a a -≥． 21．（12分）某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入．假设2020年利润增加值y （千万元）与科研经费投入x （千万元）之间的关系满足：①y 与t x x ⎛⎫⎪⎝⎭+成正比，其中t 为常数，且[]1,16t ∈；②当2x =时，4y t =+；③2020年科研经费投入x 不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求2020年利润增加值y 的最大值以及相应的x 的值．22．（12分）已知函数()()2ln f x x a x x +-=，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()1234ln 2f x f x +<--．2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案一、单项选择题1．C 2．B 3．D 4．A 5．C 6．A 7．B 8．D 二、多选题9．BC 10．ABD 11．AD 12．ACD 三、填空题 13．2a ≥ 14．{}2,1,0-- 15．216．()2,1，2λ<-或01λ≤<注：16题第一空写作：(]()2,00,1-⋃，也给分． 四、解答题17．解：（1）若1m =，由()20x x -≤，解得02x ≤≤，所以[]0,2A =．当03x <<时，18y <<，所以()1,8B =． 所以[)0,8A B ⋃=．（2）由()()110x m m x -++≥-，可得11m x m -≤≤+，所以集合[]1,1A m m =-+， 由（1）知()1,8B =，因为q 是p 的必要不充分条件，则AB ．所以1118m m ->⎧⎨+<⎩，解得27m <<．18．解：（1）()2341f x x x '++=，令()23410f x x x '++==，解得13x =-或1x =-，则有：所以，当1x =-时，()f x 取得极大值a ， 当13x =-时，()f x 取得极小值427a -． （2）要使函数()f x 有3个零点，只需04027a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得4027a <<． 19．解：（1）当0x <，0x ->，又因为()f x 是奇函数，所以()()()11x x f x f x e x e x ----=-=-=-++-，所以()1,01,0xxe x xf x x e x -⎧+-≥⎪=⎨+-<⎪⎩．（2）当0x ≥时，()10xf x e =+'>，所以()f x 在[)0,+∞上是增函数．又()f x 是为R 的奇函数，所以()f x 在(),-∞+∞上是增函数． 于是()()222230f t t k f t kt +++++<-等价于()()22223f t t k f t kt +-<+-， 即22223t t k t kt ++<--． 于是原问题可化为，存在[]1,1k ∈-，使得()()21230g k t k t t +-++<=有解．只需()10g <或()10g -<，由()21340g t t ++-<=得4t >或1t <-，由()2120g t t --+<=得1t >或2t <-，故1t <-或1t >．20．（1）由题意，()10x af x e x-'-≥=在()0,+∞上恒成立． 即1x a xe -≤在()0,+∞上恒成立． 令()1x g x xe-=，则()()110x g x x e-'+>=，所以()1x g x xe-=在()0,+∞上单调递增．于是()()00g x g >=，所以0a ≤． （2）当0a >时，()11x x a xe a f x ex x---'-== 由（1）知，函数()1x g x xe-=在()0,+∞单增，且()()0,g x ∈+∞．因此，存在唯一的00x >满足010x x e a -=，且当00x x <<时，10x xe a --<，即()0f x '<； 当0x x >时，10x xe a -->，即()0f x '>．因此()0f x 为()f x 在()0,+∞上的极小值，也是最小值． 下证：()0ln f x a a a -≥． 因为010x x ea -=，所以010x ae x -=，001ln ln x a x -=-， 于是()0100ln x f x ea x --≥()0000ln 1ln a aa a x ax a a a x x =--+=+--ln ln a a a a a a ≥-=-，不等式得证．21．（1）设t x x y k ⎛⎫= ⎪⎝⎭+， 当2x =时，4y t =+，可得2k =， 所以22t y x x=+， 因为x 不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%； 所以定义域为[]2,6x ∈，所以y 关于x 的函数表达式为22ty x x=+，[]2,6x ∈． （2）令()22ty f x x x==+，[]2,6x ∈，[]1,16t ∈． 则()222222x t t y x x-'=-=． 当14t ≤≤时，0y '≥恒成立，22ty x x=+在[]2,6上单调递增， 此时，()max 6123t y f ==+． 当416t <≤时，(22x x y x -'=，()f x在⎡⎣单调递减，在⎤⎦单调递增，此时，()(){}max max 2,6y f f =． 又()24f t =+，()6123t f =+， 所以()()()262124833t t f f t +=+--=-， 当412t <≤时，2803t-≥，()()26f f >，()max 6y f =． 当1216t <≤时，2803t-<，()()26f f <，()max 2y f =．综上：当112t ≤≤时，科研经费投入6千万元，利润增加值y 的最大值为123t ⎛⎫+⎪⎝⎭千万元； 当1216t <≤时，科研经费投入2千万元，利润增加值1216t <≤的最大值为()4t +千万元．22．解：（1）()()212121ax ax f x a x x x-+'=+-=，0x >．当0a =时，()10f x x'=>， ()f x 在()0,+∞单调递增，没有极值点；当0a ≠时，令()221g x ax ax =-+，设当280a a ∆=->时，方程()221g x ax ax =-+的两根为1x ，2x ，且12x x <．若0a <，则280a a ∆=->，注意到()01g =，1212x x +=， 知()0g x =的两根1x ，2x 满足12104x x <<<． 当()20,x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增； 当()2,x x ∈+∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单减， 所以()f x 只有一个极值点；若08a <≤，则0∆≤，()2210g x ax ax =-+≥，即()0f x '≥恒成立，()f x 在()0,+∞单调递增，所以()f x 没有极值点；若8a >，则0∆>，注意到()01g =，1212x x +=， 知()0g x =的两根1x ，2x 满足12104x x <<<． 当()10,x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增； 当()12,x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单减； 当()2,x x ∈+∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增； 所以()f x 有两个极值点．综上：当0a <时，()f x 有一个极值点； 当08a <≤时，()f x 没有极值点； 当8a >时，()f x 有两个极值点．（2）由（1）知，当8a >时，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且1212x x +=，1212x x a=． 所以()()()()2212111222ln ln f x f x x a x x x a x x =+-++-+()()()212121212ln 2x x a x x ax x a x x =++--+ ()1ln1ln 21244a aa a =--=---，8a >， 令()()ln 214ah a a =---，8a >．则()ln 2ln 141104a a h a a '⎛⎫==--< ⎪⎭-⎝'---，所以()h a 在()8,+∞单调递减，所以()()834ln 2h a h <=--，所以()()1234ln 2f x f x +<--．。