2019年广东省佛山市南海区狮山镇中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.-3的绝对值是（）A. −3B. 3C. 13D. −132.港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通运营，据报道，该工程项目总投资额约127 000 000 000元，将127 000 000 000用科学记数法表示为（）A. 0.127×1011B. 0.127×1012C. 1.27×1011D. 1.27×10123.下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4.如图，由5个相同正方体组成的几何体，它的俯视图是（）A. B. C. D.5.在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（）A. 90，96B. 91，92C. 92，98D. 92，966.在平面直角坐标系中，点A（-1，2）关于y轴的对称点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A. x2−4x−4=0B. x2−36x+36=0C. 4x2+4x+1=0D. x2−2x−1=08.下列运算中，计算结果正确的是（）A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a5C. a3+a3=2a3D. (a2b)2=a2b29.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接BD，OC，若∠AOC=120°，∠D的度数是（）A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 20∘10.点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a=−43．其中正确的是（）A. ②④B. ②③C. ①③④D. ①②④二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.分解因式：2x2-4xy+2y2=______．12.一个n边形的内角和是它外角和的3倍，则边数n=______．13.不等式组{x−4≤01＜12(x+4)的解集是______．14.如图所示，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到F，使EF=DE，若AB=10，BC=8，则四边形BCFD的周长=______．15.观察下列一组数：32，−1，710，−917，1126，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是______．16.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为______．三、计算题（本大题共3小题，共21.0分）17.计算：(π−3)0+6cos30°−√12−(−12)−118.先化简，再求值：（x-2+8xx−2）÷x+22x−4，其中x=-12．19.如图，点A（m，4），B（-4，n）在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D．（1）若m=2，求n的值；（2）求m+n的值；（3）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直线AB的函数关系式．四、解答题（本大题共6小题，共45.0分）20.如图，△ABC中，点D在BC边上，且BD=AD=AC，（1）请用尺规作图法，作出线段DC的垂直平分线AE，交DC于E点（保留作图痕迹，不要求写出作法）（2）若∠CAE=16°，求∠B的度数．21.为了完成“舌尖上的中国”的录制，节目组随机抽查了某省“A．奶制品类，B．肉制品类，C．面制品类，D．豆制品类”四类特色美食若干种，将收集的数据整理并绘制成下面两幅尚不完整的统计图，请根据图中信息完成下列问题：（1）这次抽查了四类特色美食共______种，扇形统计图中a=______，扇形统计图中A部分圆心角的度数为______；（2）补全条形统计图；（3）如果节目组想从A类的甲、乙、丙、丁四种特色美食中随机选择两种进行节目录制，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两种美食的概率．22.如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE∥AC，且DE=CF，连接AE、DE、EF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若∠BAF+∠AED=180°，求证：四边形ABFE为菱形．23.某市政府为美化城市环境，计划对面积为1500平方米的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队每天能完成绿化的面积是甲队每天能完成绿化面积的1.5倍，并且在独立完成面积为450平方米区域的绿化时，甲队比乙队多用5天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米？（2）若市政府每天需付给甲队的绿化费用为0.3万元，乙队为0.9万元，要使这次的绿化总费用不超过24万元，至少应安排甲队工作多少天？24.如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=163，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是AB⏜的中点，连接CE，求CE的长．25.如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：-3的绝对值是：3．故选：B．直接利用绝对值的定义分析得出答案．此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：将127 000 000 000用科学记数法表示为1.27×1011．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．4.【答案】B【解析】解：这个几何体的俯视图为：故选：B．俯视图是从上面看到的图形，共分三行，从上到下小正方形的个数是：1（在上面），2，1（在下面）．此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．5.【答案】D【解析】解：将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98，最中间的数是92，则中位数是92；∵96出现了2次，出现的次数最多，∴众数是96；故选：D．中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．6.【答案】A【解析】解：点A（-1，2）关于y轴的对称点是（1，2），在第一象限，故选：A．根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．7.【答案】C【解析】解：A、∵△=（-4）2-4×1×（-4）=32＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，A不符合题意；B、∵△=（-36）2-4×1×36=1152＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，B不符合题意；C、∵△=42-4×4×1=0，∴该方程有两个相等的实数根，C符合题意；D、∵△=（-2）2-4×1×（-1）=8＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，D不符合题意．故选：C．根据方程的系数结合根的判别式，分别求出四个选项中方程的根的判别式，利用“当△=0时，方程有两个相等的实数根”即可找出结论．本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：A、a2•a3=a5，故此选项错误；B、（a2）3=a6，故此选项错误；C、a3+a3=2a3，正确；D、（a2b）2=a4b2，故此选项错误；故选：C．直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】C【解析】解：∵∠AOC=120°∴∠BOC=180°-∠AOC=60°∴∠BDC=∠BOC=30°．故选：C．根据邻补角的性质求得∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得∠BDC的度数，此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10.【答案】A【解析】解：∵点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），∴c≤3，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，∴当x＜-2时，y随x的增大而增大，因此，当x＜-3时，y随x的增大而增大，故②正确；若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x=1，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为-2-4=-6，故③错误；根据顶点坐标公式，=3，令y=0，则ax2+bx+c=0，CD2=（-）2-4×=，根据顶点坐标公式，=3，∴=-12，∴CD2=×（-12）=，∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-2）=3，∴=32=9，解得a=-，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．故选：A．根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．11.【答案】2（x-y）2【解析】解：2x2-4xy+2y2，=2（x2-2xy+y2），=2（x-y）2．故答案为：2（x-y）2．先提取公因式（常数2），再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用完全平方公式进行二次因式分解，分解因式要彻底．12.【答案】8【解析】解：根据题意列方程，得：（n-2）180°=3×360°，解得：n=8，即边数n等于8．故答案为8．利用多边形的外角和是360度，一个n边形的内角和等于它外角和的5倍，则内角和是5×360°，而n边形的内角和是（n-2）180°，则可得到方程，解之即可．本题主要考查了多边形的内角和的计算公式以及多边形的外角和定理，比较简单．13.【答案】-2＜x≤4【解析】解：解不等式x-4≤0，得：x≤4，解不等式1＜（x+4），得：x＞-2，则不等式组的解集为-2＜x≤4，故答案为：-2＜x≤4．分别求出每个不等式的解集，再根据口诀即可确定不等式组的解集．本题主要考查解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．14.【答案】26【解析】解：∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE=BC，∵BC=8，∴DE=4，∵在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴CF=BD=AB=5，∵DE=FE=4，∴DF=8，∴四边形BCFD的周长为：BD+BC+CF+DF=5+8+8+5=26，故答案为：26．根据D、E分别为AB、AC中点，可证明DE为三角形ABC的中位线，通过证明△ADE和△CFE 全等则可得到AD=CF，由已知数据即可求出四边形BCFD的周长．本题考查了三角形的中位线性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，解题的关键是熟记各种性质定理和判定定理．15.【答案】-21101【解析】解：由分析知：第10个数为-，故答案为：-．分子为3，5，7，9，11，…即可得出第10个数的分子为：1+2×10=21，分母为2，5，10，17，26，…第10个数的分子为102+1=101奇数位置为正，偶数位置为负，由此规律，得出结论．此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解答此题的关键．16.【答案】π4-2+√2【解析】解：连结DC1，∵∠CAC1=∠DCA=∠COB1=∠DOC1=45°，∴∠AC1B1=45°，∵∠ADC=90°，∴A，D，C1在一条直线上，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=，∠OCB1=45°，∴CB1=OB1∵AB1=1，∴CB1=OB1=AC-AB1=-1，∴S△OB1C=•OB1•CB1=（-1）2，∵S△AB1C1=AB1•B1C1=×1×1=，∴图中阴影部分的面积=-（-1）2-=-2+．故答案为-2+．先根据正方形的边长，求得CB1=OB1=AC-AB1=-1，进而得到S△OB1C=（-1）2，再根据S△AB1C1=，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．17.【答案】解：原式=1+6×√32-2√3+2=√3+3．【解析】本题涉及负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数等考点的运算．18.【答案】解：原式=（x2−4x+4x−2+8xx−2）•2(x−2)x+2=(x+2)2x−2•2(x−2)x+2=2（x+2）=2x+4，当x=-12时，原式=2×（-12）+4=-1+4=3．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．19.【答案】解：（1）当m=2，则A（2，4），把A（2，4）代入y=kx得k=2×4=8，所以反比例函数解析式为y=8x，把B （-4，n ）代入y =8x 得-4n =8，解得n =-2；（2）因为点A （m ，4），B （-4，n ）在反比例函数y =kx （k ＞0）的图象上， 所以4m =k ，-4n =k ，所以4m +4n =0，即m +n =0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图， 在Rt △AOE 中，tan ∠AOE =AE OE =m4， 在Rt △BOF 中，tan ∠BOF =BF OF =−n 4， 而tan ∠AOD +tan ∠BOC =1， 所以m 4+−n4=1，而m +n =0，解得m =2，n =-2， 则A （2，4），B （-4，-2）， 设直线AB 的解析式为y =px +q ，把A （2，4），B （-4，-2）代入得{−4p +q =−22p+q=4，解得{q =2p=1， 所以直线AB 的解析式为y =x +2． 【解析】（1）先把A 点坐标代入y=求出k 的值得到反比例函数解析式为y=，然后把B （-4，n ）代入y=可求出n 的值；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m=k ，-4n=k ，然后把两式相减消去k 即可得到m+n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE==，tan ∠BOF==，则+=1，加上m+n=0，于是可解得m=2，n=-2，从而得到A （2，4），B （-4，-2），然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．20.【答案】解：（1）如图，AE 为所作；（2）∵AE ⊥CD ，∴∠C =90°-∠CAE =90°-16°=74°，∵AD =AC ，∴∠ADC =∠C =74°， ∵BD =AD ， ∴∠B =∠DAB ，而∠ADC =∠B +∠DAB ， ∴∠B =12∠ADC =12×74°=37°． 【解析】（1）作等腰三角形ADC 的底边上的高AE 即可；（2）先利用互余计算出∠C=74°，再根据等腰三角形的性质得到∠ADC=∠C=74°，∠B=∠DAB ，然后利用三角形外角性质计算∠B 的度数．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．21.【答案】20 40 72° 【解析】解：（1）4÷20%=20，所以这次抽查了四类特色美食共20种， 扇形统计图中C 类所占的百分比=×100%=40%，即a=40；扇形统计图中A 部分圆心角的度数为360°×20%=72°； 故答案为20，40，72°； （2）B 类的种数为20-4-8-6=2， 条形统计图为：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙两种美食的结果数为2，所以恰好选中甲和乙两种美食的概率==．（1）用A类的数目除以它所占的百分比得到这次抽查了四类特色美食总数；通过计算C类的百分比得到a的值；用360度乘以A类所占的百分比得到扇形统计图中A部分圆心角的度数；（2）先计算出B类的种数，然后补全条形统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出所抽取的两名同学恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．22.【答案】证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCF，∵DE∥AC，∴∠DAC=∠EDA，∴∠FCB=∠EDA，在△ADE与△BCF中{AD=BC∠FCB=∠EDA DE=CF，∴△ADE≌△BCF（SAS）；（2）∵DE∥AC，且DE=AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DC=EF，且DC∥EF，又∵AB=CD，AB∥CD，∴AB=EF，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵△ADE≌△BCF，∴∠AED=∠BFC，∵∠BAF+∠AED=180°，∴∠BAF+∠BFC=180°，又∠BFA+∠BFC=180°，∴∠BAF=∠BFA，∴BA=BF，∴四边形ABFE为菱形．【解析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的判定、菱形的判定和全等三角形的判定解答．23.【答案】解：（1）设甲工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则乙工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，依题意，得：450x-4501.5x=5，解得：x=30，经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，∴1.5x=45．答：甲工程队每天能完成绿化的面积是30平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是45平方米．（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作100−2m3天，依题意，得：0.3m+0.9×100−2m3≤24，解得：m≥10．答：至少应安排甲队工作10天．【解析】（1）设甲工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则乙工程队每天能完成绿化的面积是1.5x 平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为450平方米区域的绿化时甲队比乙队多用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，根据总费用=0.3×甲队工作时间+0.9×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过24万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24.【答案】（1）证明：如图1，连接OC ，∵PA 切⊙O 于点A ，∴∠PAO =90°， ∵BC ∥OP ，∴∠AOP =∠OBC ，∠COP =∠OCB ， ∵OC =OB ，∴∠OBC =∠OCB ， ∴∠AOP =∠COP ，在△PAO 和△PCO 中， {OA =OC∠AOP =∠COP OP =OP， ∴△PAO ≌△PCO ， ∴∠PCO =∠PAO =90°， ∴PC 是⊙O 的切线；（2）解：由（1）得PA ，PC 都为圆的切线， ∴PA =PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO =∠PAO =90°， ∴∠PAD +∠DAO =∠DAO +∠AOD ， ∴∠PAD =∠AOD ， ∴△ADP ∽△ODA ， ∴ADPD =DOAD ， ∴AD 2=PD •DO ， ∵AC =8，PD =163，∴AD =12AC =4，OD =3，AO =5， 由题意知OD 为△的中位线， ∴BC =6，OD =3，AB =10． ∴S 阴=12S ⊙O -S △ABC =25π2-24；（3）解：如图2，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于M ， ∴∠CMB =∠EMB =∠AEB =90°，∵点E 是AB⏜的中点， ∴∠ECB =∠CBM =∠ABE =45°， CM =MB =3√2， BE =AB •cos45°=5√2， ∴EM =√BE 2−BM 2=4√2， 则CE =CM +EM =7√2． 【解析】（1）连接OC ，证明△PAO ≌△PCO ，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论；（2）证明△ADP ∽△ODA ，得到成比例线段求出BC 的长，根据S 阴=S ⊙O -S △ABC 求出答案； （3）连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于M ，分别求出CM 和EM 的长，求和得到答案．本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算和相似三角形的判定和性质，灵活运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键． 25.【答案】解：（1）12−4x 3；（2）延长NP 交AD 于点Q ，则PQ ⊥AD ，由（1）得：PN =12−4x 3，则PQ =QN -PN =4-12−4x 3=43x 依题意，可得：AM =3-x ，S =12AM •PQ =12（3-x ）•4x3=2x -23x 2=-23（x -32）2+32 ∵0≤x ≤1即函数图象在对称轴的左侧，函数值S 随着x 的增大而增大．∴当x =1时，S 有最大值，S 最大值=43（3）△MPA 能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明： ①若PM =PA ， ∵PQ ⊥MA ，∴四边形ABNQ 是矩形， ∴QA =NB =x ， ∴MQ =QA =x ，又∵DM +MQ +QA =AD ∴3x =3，即x =1②若MP =MA ，则MQ =3-2x ，PQ =43x ，MP =MA =3-x 在Rt △PMQ 中，由勾股定理得：MP 2=MQ 2+PQ 2 ∴（3-x ）2=（3-2x ）2+（43x ）2，第11页，共11页 解得：x =5443（x =0不合题意，舍去）③若AP =AM ，由题意可得：AP =53x ，AM =3-x∴53x =3-x ，解得：x =98综上所述，当x =1，或x =5443，或x =98时，△MPA 是等腰三角形．【解析】（1）可在直角三角形CPN 中，根据CN 的长和∠CPN 的正切值求出．（2）三角形MPA 中，底边AM 的长为3-x ，关键是求出MA 边上的高，可延长NP 交AD 于Q ，那么PQ 就是三角形AMP 的高，可现在直角三角形CNP 中求出PN 的长，进而根据AB 的长，表示出PQ 的长，根据三角形的面积公式即可得出S 与x 的函数关系式．根据函数的性质可得出S 的最大值．（3）本题要分三种情况：①MP=PA ，那么AQ=BN=AM ，可用x 分别表示出BN 和AM 的长，然后根据上述等量关系可求得x 的值．②MA=MP ，在直角三角形MQP 中，MQ=MA-BN ，PQ=AB-PN 根据勾股定理即可求出x 的值． ③MA=PA ，不难得出AP=BN ，然后用x 表示出AM 的长，即可求出x 的值．本题是点的运动性问题，考查了图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．（3）题要按等腰三角形腰和底的不同分类讨论．。