《交通工程学第四章交通流理论》习题解答4-1在交通流模型中，假定流速 V 与密度k 之间的关系式为 V=a(1-bk)2，试依据两个边界条 件，确定系数a 、b 的值，并导出速度与流量以及流量与密度的关系式。
1解答：当 V=0 时，K =Kj ,••• b =—；k j当 K = 0 时，V =V f ,• a =V f ；2把a 和b 代入到 V=a(1-bk)K•- V =V f 1-—— l 心丿又 Q =KV流量与密度的关系 Q=V f K 1 4-2已知某公路上中畅行速度 V f =82km/h ，阻塞密度 K j =105辆/km,速度与密度用线性关系模型，求：(1) 在该路段上期望得到的最大流量； (2) 此时所对应的车速是多少？解答：(1) V — K 线性关系，V f =82km/h , K j =105 辆/km•- V m =V f /2=41km/h , K m =K j /2=52.5 辆/km, •- Q m =V m K m =2152.5 辆/h (2) V m = 41km/h4-3对通过一条公路隧道的车速与车流量进行了观测，发现车流密度和速度之间的关系具有 如下形式：乂 =35.9 ln 180k式中车速V s 以km/h 计；密度k 以/km 计，试问在该路上的拥塞密度是多少？_ 180解答：V =35.9In ——k拥塞密度K j 为V=0时的密度,,180 门…ln 0K j•- K j =180 辆/km4-5某交通流属泊松分布，已知交通量为 1200辆/h,求： (1 )车头时距t> 5s 的概率；(2) 车头时距t> 5s 所出现的次数； (3) 车头时距t> 5s 车头间隔的平均值。
解答：车辆到达符合泊松分布，则车头时距符合负指数分布，Q=1200辆/h流量与速度的关系Q=K j 1V f r-t—x 」翅(1) P(h t—5)=e i 二e 3600二e3=0.189(2) n=P(h K5)XQ=226 辆/h5»訂水4-6已知某公路q=720辆/h ，试求某断面2s 时间段内完全没有车辆通过的概率及其 出现次数。
解答：q 1(1) q=720 辆/h ,辆/s , t=2s360052P(h t _2)二e"5=0.674-7有优先通行权的主干道车流量 N = 360辆/h,车辆到达服从泊松分布，主要道路允许次 要道路穿越的最小车头时距 =10s ，求 (1) 每小时有多少个可穿空档 ？ (2) 若次要道路饱和车流的平均车头时距为 t o =5s ，则该路口次要道路车流穿越主要道路车流的最大车流为多少？ 解答：有多少个个空挡？其中又有多少个空挡可以穿越?(1) 如果到达车辆数服从泊松分布，那么，车头时距服从负指数分布。
t根据车头时距不低于t 的概率公式，p(h Zt) =ef ，可以计算车头时距不低于 10s 的概率是360 10-3600p(h _10s) =e = 0.3679主要道路在1小时内有360辆车通过，则每小时内有360个车头时距，而在360个车头时距 中，不低于可穿越最小车头时距的个数是(总量X 发生概率) 360 X 0.3679=132 (个)因此，在主要道路的车流中，每小时有132个可穿越空挡。
(2) 次要道路通行能力不会超过主要道路的通行能力，是主要道路通行能力乘以一个小于 1 的系数。
同样，次要道路的最大车流取决于主要道路的车流的大小、 主要道路车流的可穿越空挡、次要道路车流的车头时距，可记为 S 次 (S 主,t,t 0) 因此，该路口次要道路车流穿越主要道路车流的最大车辆为 4-8在非信号交叉口，次要道路上的车辆为了能横穿主要道路上的车流，车辆通过主要车流 的极限车头时距是 6s,次要道路饱和车流的平均车头时距是 3s,若主要车流的流量为 1200 量/h 。
试求(1) 主要道路上车头时距不低于6s 的概率是多少？次要道路可能通过的车辆是多少？(2) 就主要道路而言，若最小车头时距是 1s,则已知车头时距大于6s 的概率是多少？而在该情况下次要道路可能通过多少车辆？解答：(1)计算在一般情况下主要道路上某种车头时距的发生概率、可穿越车辆数。
把交通流量换算成以秒为单位的流入率， 入=Q/3600=1/3(pcu/s) 根据车头时距不低于t 的概率公式，p(h _t) r e —'t ，计算车头时距不低于极限车头时距 6s的概率，丄＞6360 e3600 1 -e 」01 -e_360 53600337337 辆/h 。
P(h—6)=e30.135次要道路通行能力不会超过主要道路的通行能力，是主要道路通行能力乘以一个小于 1的系数。
同样，次要道路的最大车流取决于主要道路的车流的大小、 空挡、次要道路车流的车头时距，Q 次=Q 主tr-120013 3= 257pcu/h 1_e"1—ef 31)3有多少个个空挡？其中又有多少个空挡可以穿越?次要道路的最大车流取决于主要道路的车流的大小、 道路车流的车头时距，p(h 兰6|h 畠 1)p(h H6 h 3 0) 0.189257 二 360pcu/h0.135⑵关于第2问还存在另外一种解答。
负指数分布的特点是"小车头时距大概率” ，即车头时 距愈短出现的概率越大。
“车头时距等于零的概率的最大”这个特征违反了客观现实，因为 相邻两个车头之间的距离至少不低于车身长度，也就是说车头时距必须不低于某个阈值 T , 此时，应考虑采用移位负指数分布 p(h> t) = eGp(—入(t — T ))。
主要道路的最小车头时距是 1s,可以理解为T =1s 。
主要道路车流的可穿越 ⑵计算在附加条件下主要道路上某种车头时距的发生概率、可穿越车辆数。
根据概率论中的条件概率定律的 不低于1s 的情况下，车头时距不低于二 6 P(h_6) e 31 =e P(h_1) ^1-eP(h K6 h 釦)=P(A)二P(A| B) P(B)，在主要道路上最小车头时距 6s 的概率是 5J 0.189主上討p(hH1)1-e® 丿-exp -1 6 -113、丿主要道路车流的可穿越空挡、次要p(h _6) 乂一2解：(1)按单路排队多通道系统(M/M/1系统)计算：-1500辆/h ，•二=600辆 /h&P二2.5, 0.83 ::: 1，系统稳定4N 1 ___ PN P(0"町厂 心 k! N !(1 - T /N) -P N 十P (0) 2.54q 二 2N!N i/N3! 3 (2)按多路排队多通道系统('=1500/3=500 辆/h , 1 二 2.5\ 2.53k -0 k ! 3! (1-2.5/3)遊3.516辆 1/36 d J =14.44 s/辆,3个平行的M/M/1系统) — 600辆/h ,―匚= 0.045'■ = — = 8.44 s/辆计算：5 1，系统稳定6Pn 5辆，q =n『-n 一「- 4.17辆1 -d =- — =36 s/辆K卩一九_ - 1-■= d 30s/辆[1对于由三个收费站组成的系统n =15辆，q =12.5辆，d =36s/辆，二=30s/辆4-10流在一条6车道的公路上行驶，流量q1=4200辆/h,速度w=50km/h，遇到一座只有 4 车道的桥，桥上限速 13km/h，对应通行能力 3880辆/h。
在通行持续了 1.69h后，进入大桥的流量降至 q3=1950辆/h，速度变成 V3=59km/h，试估计囤积大桥入口处的车辆拥挤长度和拥挤持续时间？(李江例题107页、东南练习题123页习题)解答：在车辆还没有进入限速大桥之前，没有堵塞现象，在车辆进入限速大桥之后，因为通行能力下降，交通密度增大，出现交通拥堵。
因此，车流经历了消散-集结-消散的过程，三种状态下的交通流的三个基本参数是q1 = 4200veh/h, v1 = 50km/h ,q2= 3880veh/h, v2 = 13km/h ,1.计算排队长度交通流密度波等于q2 ~^1 3880 —4200v12 2 1 1.50km/hk2 - k1298 - 84表明此处出现迫使排队的反向波，波速为 1.50km/h，考虑到波速从 0经过了 1.69h增加到1.50km/h，其平均波速为 v a=(0+1.50) /2=0.75km/h，所以此处排队长度为L 二v a t =0.75 1.69 =1.27kmv1=50km/h 、q1=4200 辆/h ，1.69hv2=13km/h q2=3880辆/h2.高峰过去后，排队即开始消散，但阻塞仍要持续一段时间。
因此阻塞时间应为排队形成时间与消k1 = q1/v1 = 84veh/kmk2 = q2/v2 = 298veh/kmk3 = q3/v3 = 33veh/kmv2=13km/hq2=3880辆/hv3=59km/hq3=1950 辆q3= 1950veh/h, v3 = 59km/h ,散时间之和。
① 排队形成时间是1.69h ，所有车辆都经历了这么长的排队时间。
② 排队消散时间的计算，主要根据在形成时间里的囤积量与消散时间里的消散量平衡的原则 来进行。
高峰过后的车流量：q 3=1950辆/h<3880辆/h,表明通行能力已经富余，排队开始消散。
排队车辆是(q _q 2) 1.69 =(4200 _3880) 1.69 =541 辆 车队消散能力 q 3 -q 2 =1950 -3880 二-1930辆/h因此，交通阻塞时间=排队形成时间+排队消散时间= 1.69h+ 0.28h=1.97h则排队消散时间「二排队车辆数 消散能力(q1…q 2)1・69|q 3 -q 2〔541 1930= 0.28h。