【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3
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y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、，
将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C （1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T Q ，
为线段BT 上一点，直接写出QA QO -的取值范围.
【例2】 如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <.以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90︒得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． ⑴ 求k 的值；
⑵ 点A 位置改变时，AMH ∆的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．
【例3】 如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3
tan 4
B =
，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图
象是过点()1236，的抛物线的一部分（如图2所示）．
（1）求AB 的长；
（2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值．
R Q B
C
A
二次函数与平行四边形综合
B '
D A y=x 2-4
【例4】 如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．
（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确 定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；
（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE ∆的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE ∆的周长；
（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN =∠°？若存在，请直接写出点P 的坐标．
【例5】 如图，已知抛物线1l ：24y x =-的图象与x 轴相交于A C 、1A C 、重合)，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D ． （1）求2l 的解析式；
（2）求证：点D 一定在2l 上；
（3）平行四边形ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．（注：计算结果不取近似值．）
【例6】 如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是()40A -，
，()20B -，，()08E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；
（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)，顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，说明理由．
【例7】 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数2
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y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为()01，，直线l 过()01B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴、直线l 于C Q 、，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．
⑴ 求证：H 点为线段AQ 的中点； ⑵ 求证：四边形APQR 为菱形； ⑶ 除P 点外，直线PH 与抛物线2
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y x =有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没有，请说明理由．
x
【例8】 如图，在平面直角坐标系内，以y
轴为对称轴的抛物线经过直线y 点0M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2）将（1）中所求抛物线沿x 轴平移．
①在题目所给的图中画出沿x 轴平移后经过原点的抛物线大致图象；
②设沿x 轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB 相交于C 点．判断以O 为圆心，OC 为半径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由；
（3）P 点是沿x 轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。

求P 点的坐标，使得以O A C P 、、、 四点为顶点的四边形是平行四边形．
【例9】 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半
轴上，且1AB =，OB ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P
Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P
在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。