专题：二次函数与平行四边形问题1. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6经过点A （－2，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C.点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （1<m <4）.连接AC ，BC ，DB ，D C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.2. 如图，抛物线y ＝－x 2＋3x ＋4与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点N ，过A 点的直线y ＝kx ＋n 与y 轴交于点C ，与抛物线y ＝－x 2＋3x ＋4的另一交点为D ，已知D (5，－6)．P 点为抛物线y ＝－x 2＋3x ＋4上一动点(不与A 、D 重合)．(1)求直线AD 的表达式及A 、B 、C 三点的坐标；(2)当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE ＋PF 的最大值；(3)设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C 、M 、P 为顶点的四边形为平行四边形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3. 如图，抛物线y ＝14x 2－12x －2，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴为l .（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）若点D 是第一象限内抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，当OE ＝4DF 时，求四边形DOBF 的面积；（3）在（2）的条件下，若点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C. (1)求该抛物线的表达式；(2)若D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD ＝2∠BAC 时，求D 点的坐标； (3)已知E ，F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当以B ，O ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标．5.如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线y＝x－5经过点B，C.（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M. 当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；6．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N 2D=OC=，即N 2点的纵坐标为． ∴x 2﹣2x ﹣=， 解得x=2+或x=2﹣，∴N 2（2+，），N 3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N 的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．参考答案1. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6经过点A (－2，0)，B (4，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋6＝0，16a ＋4b ＋6＝0. 解得⎩⎨⎧a ＝－34，b ＝32.∴抛物线的函数表达式为y ＝－34x 2＋32x ＋6；(2)如解图①，过点D 作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G .作CF ⊥DE ，垂足为点F . ∵点A 的坐标为(－2，0)， ∴OA ＝2. 由x ＝0，得y ＝6. ∴点C 的坐标为(0，6)． ∴OC ＝6.∴S △AOC ＝12OA ·OC ＝12×2×6＝6.∵S △BCD ＝34S △AOC ，∴S △BCD ＝34×6＝92.设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋n (k ≠0)．由B ，C 两点的坐标得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋n ＝0，n ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，n ＝6.∴直线BC 的函数表达式为y ＝－32x ＋6.∴点G 的坐标为(m ，－32m ＋6)．∴DG ＝－34m 2＋32m ＋6－(－32m ＋6)＝－34m 2＋3m .(6分)∵点B 的坐标为(4，0)， ∴OB ＝4.∴S △BCD ＝S △CDG ＋S △BDG＝12DG ·CF ＋12DG ·BE ＝12DG ·(CF ＋BE ) ＝12DG ·BO ＝12(－34m 2＋3m )×4 ＝－32m 2＋6m .∴－32m 2＋6m ＝92.解得m 1＝1(舍去)，m 2＝3. ∴m 的值为3；(3)存在以B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为(8，0)或(0，0)或(－14，0)或(14，0)．【解法提示】由(2)可知m ＝3，将m ＝3代入抛物线表达式得y ＝154，∴D (3，154)．设点N 的坐标为(n ，－34n 2＋32n ＋6)，当以B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，分四种情况：①当DN ∥BM 时，此时N (n ，154)，可得－34n 2＋32n ＋6＝154，解得n 1＝－1，n 2＝3(舍)，∴N (－1，154)．(ⅰ)如解图②，以BD 为对角线， ∴M (8，0)；(ⅱ)如解图③，以BD 为边， ∴M (0，0)；②当BD ∥MN 时，BD 为边，BM 为对角线，此时N (n ，－154)，即－34n 2＋32n ＋6＝－154，解得n 1＝1－14，n 2＝1＋14.(ⅰ)当点M 在点y 轴左侧时，n ＝1－14，如解图④， ∴N (1－14，－154)，∴M (－14，0)；(ⅱ)当点M 在y 轴右侧时，n ＝1＋14，如解图⑤， ∴N (1＋14，－154)，∴M (14，0)．综上所述，存在以B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标是(8，0)或(0，0)或(－14，0)或(14，0)．2. 解：(1)令－x 2＋3x ＋4＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝4， ∵点A 在点B 的左侧， ∴A (－1，0)、B (4，0)，将A (－1，0)、D (5，－6)代入y ＝kx ＋n 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋n ＝0，5k ＋n ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，n ＝－1， ∴直线AD 的表达式为y ＝－x －1， 令x ＝0，得y ＝－1， ∴C (0，－1)；(2)设P (m ，－m 2＋3m ＋4)，则F (m ，－m －1)， ∴PF ＝y P －y F ＝－m 2＋4m ＋5， 由题意得OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°，∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴， ∴∠PEF ＝∠PFE ＝45°， ∴PE ＝PF .∴PE ＋PF ＝2PF ＝2(－m 2＋4m ＋5)＝－2m 2＋8m ＋10＝－2(m －2)2＋18， ∵－2<0，－1<m <5，∴当m ＝2时，PE ＋PF 取得最大值，其最大值为18；(3)存在点M ，使得以点N 、C 、M 、P 为顶点的四边形为平行四边形，易得NC ＝5，下面分两种情况进行讨论：①当线段NC 为平行四边形的一条边时，有NC ∥PM ，NC ＝PM 或NC ∥MP ，NC ＝MP ，设M (m ，－m －1)，则P (m ，－m 2＋3m ＋4)∴|y M －y P |＝5即|－m －1＋m 2－3m －4|＝5，m 2－4m －5＝5或m 2－4m －5＝－5， 解得m 1＝2＋14，m 2＝2－14或m 1＝0(不合题意，舍去)m 2＝4， ∴点M 坐标为(2＋14，－3－14)，(2－14，－3＋14)，(4，－5)；②当线段NC 为平行四边形的一条对角线时，有NC 和PM 互相平分，如解图，分别过点P 、M 作y 轴的垂线，垂足分别为H 、R ，连接MP 交点y 轴于点I ，易得I (0，32)，△PHI ≌△MRI ，∴PH ＝MR ，RI ＝HI . ∵PH ＝MR ，∴x M ＝－x P ，设M (m ，－m －1)，则P (－m ，－m 2－3m ＋4)， ∵RI ＝HI ， ∴y M －32＝32－y P ，即－m －1－32＝32－(－m 2－3m ＋4)，解得m 1＝0(不合题意，舍去)，m 2＝－4，当m ＝－4时，－m －1＝3，∴点M 坐标为(－4，3)；综上所述，共存在四个点M ，都能使得以点N 、C 、M 、P 为顶点时四边形为平行四边形它们的坐标分别为(2＋14，－3－14)，(2－14，－3＋14)，(4，－5)，(－4，3)．3. 解：(1)令y ＝0，得14x 2－12x －2＝0.解得x 1＝－2，x 2＝4. ∵点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标为(－2，0)，点B 的坐标为(4，0)． 令x ＝0，得y ＝－2， ∴点C 的坐标为(0，－2)；(2)设直线BC 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将B (4，0)，C (0，－2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－2.∴直线BC 的函数解析式为 y ＝12x －2. 设点D 的坐标为(m ，14m 2－12m －2)，则点F 的坐标为(m ，12m －2)，点E 的坐标为(m ，0)．∵点D 在第一象限，∴m ＞0. 又∵OE ＝4DF ，∴m ＝4[14m 2－12m －2－(12m －2)]．解得m 1＝5，m 2＝0(舍去)．∴点E 的坐标为(5，0)，点D 的坐标为(5，74)，点F 的坐标为(5，12)．∴S 四边形DOBF ＝S △OED －S △BEF ＝12×5×74－12×1×12＝338；(3)存在符合题意的点M . 理由如下：∵－b2a ＝1，∴设点N 的坐标为(1，n )．①当NB 为对角线时，如解图①所示，点M 的坐标为(0，n －74)，代入y ＝14x 2－12x －2，得n －74＝－2.此时点M 的坐标为(0，－2)；图①图②图③②当ND 为对角线时，如解图②所示，点M 的坐标为(2，n ＋74)，代人y ＝14x 2－12x －2，得n ＋74＝1－1－2＝－2.此时点M 的坐标为(2，－2)；③当BD 为对角线时，如解图③所示，点M 的坐标为(8，74－n )，代人y ＝14x 2－12x －2，得74－n ＝16－4－2＝10.此时点M 的坐标为(8，10)．综上所述，存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标分别为(0，－2)或(2，－2)或(8，10)．4. 解：(1)在y ＝－12x ＋2中，令y ＝0，得x ＝4，令x ＝0，得y ＝2，∴A (4，0)，B (0，2)．把A (4，0)，B (0，2)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－12×16＋4b ＋c ＝0，c ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；(2)如解图①，过点B 作x 轴的平行线交抛物线于点E ，过点D 作BE 的垂线，垂足为点F .∵BE ∥x 轴， ∴∠BAC ＝∠ABE . ∵∠ABD ＝2∠BAC ， ∴∠ABD ＝2∠ABE . 即∠DBE ＋∠ABE ＝2∠ABE . ∴∠DBE ＝∠ABE . ∴∠DBE ＝∠BAC .设D 点的坐标为(x ，－12x 2＋32x ＋2)，则BF ＝x ，DF ＝－12x 2＋32x .∵tan ∠DBE ＝DF BF ，tan ∠BAC ＝BOAO ，∴DF BF ＝BOAO ，即－12x 2＋32x x ＝24. 解得x ＝2.当x ＝2时，－12x 2＋32x ＋2＝3，∴点D 的坐标为(2，3)；(3)E 点的坐标为(2，1)或(2－22，1＋2)或(2＋22，1－2)或(－2－22，3＋2)或(－2＋22，3－2)．【解法提示】如解图②，当BO 为边时，OB ∥EF ，且OB ＝EF ，设E (m ，－12m ＋2)，F (m ，－12m 2＋32m ＋2)，∴EF ＝|(－12m ＋2)－(－12m 2＋32m ＋2)|＝2，解得m 1＝2，m 2＝2－22，m 3＝2＋22，∴E 点的坐标为(2，1)或(2－22，1＋2)或(2＋22，1－2)； 如解图③，当BO 为对角线时，OB 与EF 互相平分，过点O 作OF ∥AB ，直线OF ：y ＝－12x 交抛物线于点F (2＋22，－1－2)或(2－22，－1＋2)．设OB 的中点为P ，则P (0，1)．则EF 所在直线过点P .求得直线EF 的表达式为y ＝－22x ＋1或y ＝22x ＋1， 直线EF 与AB 的交点为E ，联立得⎩⎨⎧y ＝－22x ＋1，y ＝－12x ＋2，或⎩⎨⎧y ＝22x ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎨⎧x 1＝－22－2，y 1＝3＋2，或⎩⎨⎧x 2＝22－2，y 2＝3－2，∴E 点的坐标为(－22－2，3＋2)或(22－2，3－2)．综上所述，E 点的坐标为(2，1)或(2－22，1＋2)或(2＋22，1－2)或(－2－22，3＋2)或(22－2，3－2)．5. 解：(1)∵直线y ＝x －5交x 轴于点B ，交y 轴于点C ， ∴B (5，0)，C (0，－5)．∵抛物线y ＝ax 2＋6x ＋c 过点B 、C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝25a ＋30＋c －5＝c ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝－5， ∴抛物线的解析式为 y ＝－x 2＋6x －5.(2)∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°.∵抛物线y ＝－x 2＋6x －5交x 轴于A ，B 两点， ∴A (1，0)，∴AB ＝4， ∵AM ⊥BC ，∴AM ＝AB ·sin ∠ABC ＝2 2. ∵PQ ∥AM ， ∴PQ ⊥BC .若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形， 则PQ ＝AM ＝2 2.如解图，过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ， 则∠PDQ ＝45°， ∴PD ＝2PQ ＝4设P (m ，－m 2＋6m －5)，则D (m ，m －5)． 分两种情况讨论如下： (ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，PD ＝－m 2＋6m －5－(m －5)＝－m 2＋5m ＝4， ∴m 1＝1(舍去)，m 2＝4. (ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，PD ＝m －5－(－m 2＋6m －5)＝m 2－5m ＝4， ∴m 3＝5＋412，m 4＝5－412；综上所述，点P 的横坐标为4或5＋412或5－412；6. 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a ≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．。