第三章 导数及其应用第二讲 导数的简单应用练好题·考点自测1.[2021陕西模拟]若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则k 的取值范围是( ) A .(-∞,-2] B .(-∞,-1] C .[2,+∞) D .[1,+∞)2.下列说法错误的是( )A.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的B.若x 0是可导函数y =f (x )的极值点,则一定有f'(x 0)=0C.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值D.函数f (x )=x sin x 有无数个极值点3.[2020安徽安庆一中5月模拟]函数y =f (x )的导函数的图象如图3-2-1所示,给出下列命题: ①(0,3)为函数y =f (x )的单调递减区间; ②(5,+∞)为函数y =f (x )的单调递增区间; ③函数y =f (x )在x =0处取得极大值; ④函数y =f (x )在x =5处取得极小值. 其中正确的命题序号是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③④4.[2017全国卷Ⅱ,11,5分][理]若x =-2是函数f (x )=(x 2+ax -1)e x -1的极值点,则 f (x )的极小值为( ) A.-1B.-2e -3C.5e -3D.15.[2021河南省名校第一次联考]已知函数f (x )=x (x -c )2在x =2处取极大值,则c = . 6.[2021武汉市部分学校质检]设函数f (x )=ln 1+sinx2cosx 在区间[-π4,π4]上的最小值和最大值分别为m 和M ,则m +M = .拓展变式1.[2020全国卷Ⅰ,21,12分][理]已知函数f (x )=e x +ax 2-x. (1)当a =1时,讨论f (x )的单调性;(2)当x ≥0时,f (x )≥12x 3+1,求a 的取值范围. 2.已知函数g (x )=13x 3-a2x 2+2x +5.(1)若函数g (x )在(-2,-1)内单调递减,则a 的取值范围为 ;(2)若函数g (x )在(-2,-1)内存在单调递减区间,则a 的取值范围为 ; (3)若函数g (x )在(-2,-1)上不单调,则a 的取值范围为 . 3.[2017北京,19,13分][理]已知函数f (x )=e xcos x -x. (1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程; (2)求函数f (x )在区间[0,π2]上的最大值和最小值.4.[2020广西桂林三校联考]已知函数f (x )=ax 2-(a +2)x +ln x.(1)函数g (x )=f (x )-ax 2+1,在其定义域上g (x )≤0恒成立,求实数a 的最小值; (2)当a >0时, f (x )在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数a 的取值范围.5.[2021湖南名校大联考]若f (x )为定义在R 上的偶函数,当x ∈(-∞,0]时,f'(x )+2x >0,则不等式f (x +1)-f (x +2)>2x +3的解集为( )A .(32,+∞)B.(-∞,-3)C.(-∞,-32) D.(-32,+∞)答 案第二讲 导数的简单应用1.D 因为f (x )=kx -ln x ,所以f'(x )=k -1x .因为f (x )在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x >1时,f'(x )=k -1x ≥0恒成立,即k ≥1x 在区间(1,+∞)上恒成立.因为x >1,所以0<1x <1,所以k ≥1.故选D .2.A 对于A 选项,函数在某区间上或定义域内的极大值不一定是唯一的,如f (x )=sin x 在定义域内有无数个极大值点,故A 错误;对于B 选项,若x 0是可导函数y =f (x )的极值点,则一定有f'(x 0)=0,故B 正确;对于C 选项,显然正确;对于D 选项,函数f (x )=x sin x 的导数f'(x )=sin x +x cos x ,令f'(x )=0,则x =-tan x ,因为y =x 与y =-tan x 的图象有无数个交点,故函数f (x )=x sin x 有无数个极值点,故D 正确.选A .3.B 由函数y =f (x )的导函数的图象可知,当x <-1或3<x <5时,f'(x )<0,y =f (x )单调递减,当-1<x <3或x >5时,f'(x )>0,y =f (x )单调递增,由此可知①错误,②正确;函数y =f (x )在x =-1,x =5处取得极小值,在x =3处取得极大值,由此可知③错误,④正确.故选B .4.A 因为f (x )=(x 2+ax -1)e x -1,所以f'(x )=(2x +a )e x -1+(x 2+ax -1)e x -1=[x 2+(a +2)x +a -1]e x -1.因为x =-2是函数f (x )=(x 2+ax -1)e x -1的极值点,所以-2是x 2+(a +2)x +a -1=0的根,所以a =-1,f'(x )=(x 2+x -2)e x -1=(x +2)(x -1)e x -1.令f'(x )>0,解得x <-2或x >1,令f'(x )<0,解得-2<x <1,所以f (x )在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x =1时,f (x )取得极小值,且f (x )极小值=f (1)=-1,故选A .5.6 解法一 由题知,f'(x )=(x -c )2+2x (x -c )=(x -c )(3x -c ),当c ≤0时,不合题意,故c >0.当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:x (-∞,c3)c 3(c3,c )c(c ,+∞) f'(x ) + 0- 0+ f (x )↗极大值f (c3)↘极小值f (c )↗故c 3=2,c =6.解法二 由题知,f' (x )=(x -c )2+2x (x -c )=(x -c )(3x -c ),则f'(2)=(2-c )(6-c )=0,解得c =2或c =6,经检验,c =2不合题意,故c =6. 6.-2ln 2 令g (x )=1+sinx 2cosx,x ∈[-π4,π4],则g'(x )=cos 2x+sinx (1+sinx )2cos x=sinx+12cos x,因为x ∈[-π4,π4],所以sin x ∈[-√22,√22],所以g'(x )>0,则g (x )在[-π4,π4]上单调递增,所以f (x )在[-π4,π4]上单调递增,因为g (-π4)=1-√222×√22=√2-12,g (π4)=1+√222×√22=√2+12,所以f (x )的最小值与最大值的和m +M =ln√2-12+ln √2+12=ln 14=-2ln 2.1.(1)当a =1时,f (x )=e x +x 2-x ,f'(x )=e x+2x -1.故当x ∈(-∞,0)时,f'(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,f'(x )>0. 所以f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)f (x )≥12x 3+1等价于(12x 3-ax 2+x +1)e -x≤1. 设函数g (x )=(12x 3-ax 2+x +1)e -x(x ≥0),则g'(x )=-(12x 3-ax 2+x +1-32x 2+2ax -1)e -x=-12x [x 2-(2a +3)x +4a +2]e -x=-12x (x -2a -1)(x -2)e -x.(i)若2a +1≤0,即a ≤-12,则当x ∈(0,2)时,g'(x )>0.所以g (x )在(0,2)上单调递增,而g (0)=1,故当x ∈(0,2)时,g (x )>1,不合题意.(ii)若0<2a +1<2,即-12<a <12,则当x ∈(0,2a +1)∪(2,+∞)时,g'(x )<0;当x ∈(2a +1,2)时,g'(x )>0.所以g (x )在(0,2a +1),(2,+∞)上单调递减,在(2a +1,2)上单调递增.由于g (0)=1,所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7-4a )e -2≤1,即a ≥7-e 24.所以当7-e 24≤a <12时,g (x )≤1.(iii)若2a +1≥2,即a ≥12,则g (x )≤(12x 3+x +1)e -x. 由于0∈[7-e 24,12),故由(ii)可得当a =0时,g (x )=(12x 3+x +1)e -x≤1.故当a ≥12时,g (x )≤1. 综上,a 的取值范围是[7-e 24,+∞).2.因为g (x )=13x 3-a2x 2+2x +5,所以g'(x )=x 2-ax +2.(1)(-∞,-3] 解法一 因为g (x )在(-2,-1)内单调递减, 所以g'(x )=x 2-ax +2≤0在(-2,-1)内恒成立. 所以{g '(-2)≤0,g '(-1)≤0,即{4+2a +2≤0,1+a +2≤0,解得a ≤-3.即实数a 的取值范围为(-∞,-3].解法二 由题意知x 2-ax +2≤0在(-2,-1)内恒成立, 所以a ≤x +2x在(-2,-1)内恒成立,记h (x )=x +2x,则x ∈(-2,-1)时,-3<h (x )≤-2√2,所以a ≤-3. 即实数a 的取值范围为(-∞,-3].(2)(-∞,-2√2) 因为函数g (x )在(-2,-1)内存在单调递减区间,所以g'(x )=x 2-ax +2<0在(-2,-1)内有解, 所以a <(x +2x )max .又x +2x ≤-2√2,当且仅当x =2x 即x =-√2时等号成立, 所以满足要求的a 的取值范围是(-∞,-2√2).(3)(-3,-2√2) 由(1)知g (x )在(-2,-1)上单调递减时,a 的范围是(-∞,-3]. 若g (x )在(-2,-1)上单调递增,则a ≥x +2x在(-2,-1)上恒成立,又在(-2,-1)上y =x +2x的值域为(-3,-2√2],所以a 的取值范围是[-2√2,+∞),所以函数g (x )在(-2,-1)上单调时,a 的取值范围是(-∞,-3]∪[-2√2,+∞), 故g (x )在(-2,-1)上不单调时,实数a 的取值范围是(-3,-2√2). 3.(1)因为f (x )=e xcos x -x ,所以f'(x )=e x(cos x -sin x )-1,f'(0)=0. 又f (0)=1,所以曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =1.(2)设h (x )=e x(cos x -sin x )-1,则h'(x )=e x(cos x -sin x -sin x -cos x )=-2e xsin x. 当x ∈[0,π2]时,h'(x )≤0,当且仅当x =0时“=”成立, 所以h (x )在区间[0,π2]上单调递减.所以对任意x ∈[0,π2],有h (x )≤h (0)=0,即f'(x )≤0,当且仅当x =0时“=”成立. 所以函数f (x )在区间[0,π2]上单调递减.因此f (x )在区间[0,π2]上的最大值为f (0)=1,最小值为f (π2)=-π2.4.(1)由题意得g (x )=ln x -(a +2)x +1≤0在(0,+∞)上恒成立, 因为x >0,所以a +2≥lnx+1x在(0,+∞)上恒成立.设h (x )=lnx+1x(x >0),则h'(x )=1x·x -(lnx+1)·1x 2=-lnx x 2,令h'(x )=0,得x =1.当0<x <1时,h'(x )>0,函数h (x )单调递增;当x >1时,h'(x )<0,函数h (x )单调递减. 因此h (x )max =h (1)=1, 所以a +2≥1,即a ≥-1. 于是所求实数a 的最小值为-1. (2)对f (x )求导,得f'(x )=2ax -(a +2)+1x =(ax -1)(2x -1)x(x >0,a >0),令f'(x )=0,得x 1=12,x 2=1a .①当0<1a ≤1,即a ≥1时,因为x ∈[1,e],所以f'(x )≥0, f (x )单调递增, 所以f (x )min =f (1)=-2,符合题意;②当1<1a <e,即1e <a <1时,因为x ∈[1,e],所以当x ∈[1,1a )时,f'(x )<0,f (x )单调递减, 当x ∈(1a ,e]时, f'(x )>0,f (x )单调递增, 所以f (x )min =f (1a )<f (1)=-2,不符合题意,舍去;③当1a ≥e,即0<a≤1e时,因为x∈[1,e],所以f'(x)≤0, f(x)单调递减,所以f(x)min=f(e)<f(1)=-2,不符合题意,舍去.综上可知,实数a的取值范围为[1,+∞).5.D令g(x)=f(x)+x2,因为f(x)为定义在R上的偶函数,所以g(x)也是定义在R上的偶函数,g'(x)=f'(x)+2x,当x∈(-∞,0]时,g'(x)=f'(x)+2x>0,所以g(x)在(-∞,0]上单调递增,所以当x∈(0,+∞)时,g(x)单调递减.g(x+1)=f(x+1)+(x+1)2,g(x+2)=f(x+2)+(x+2)2,所以不等式f(x+1)-f(x+2)>2x+3,可化为f(x+1)+(x+1)2>f(x+2)+(x+2)2,(题眼)即g(x+1)>g(x+2),所以|x+1|<|x+2|,解得x>-32,故选D.。