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全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)(2015年-2018年共11套) 函数与导数小题(共23小题)一、函数奇偶性与周期性1.(2015年1卷13)若函数f (x )=2ln()x x a x ++为偶函数,则a=【解析】由题知2ln()y x a x =++是奇函数,所以22ln()ln()x a x x a x +++-++ =22ln()ln 0a x x a +-==,解得a =1.考点:函数的奇偶性2.(2018年2卷11)已知是定义域为的奇函数,满足.若,则A.B. 0C. 2D. 50解:因为是定义域为的奇函数,且,所以,因此,因为,所以,,从而,选C.3.(2016年2卷12)已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ,,()22x y ,,⋯,()m m x y ,,则()1mi i i x y =+=∑( )(A )0 (B )m (C )2m (D )4m【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01,对称,而111x y x x+==+也关于()01,对称,∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +,∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑,故选B .二、函数、方程与不等式4.(2015年2卷5)设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( ) (A )3 (B )6 (C )9 (D )12【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=,又2log 121>, 所以22log 121log 62(log 12)226f -===,故,2(2)(log 12)9f f -+=.5.(2018年1卷9)已知函数.若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是A. [–1,0)B. [0,+∞)C. [–1,+∞)D. [1,+∞) 解:画出函数的图像,在y 轴右侧的去掉,画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A 时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C.6.(2017年3卷15)设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________.【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤,()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭,即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下:12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f x =-yx由图可知,满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.7.(2017年3卷11)已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点,则a =()A .1-2B .13C .12D .1【解析】由条件,211()2(e e )x x f x x x a --+=-++,得:221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=,即1x =为()f x 的对称轴,由题意,()f x 有唯一零点,∴()f x 的零点只能为1x =,即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=,解得12a =.三、函数单调性与最值8.(2017年1卷5)函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]- B .[1,1]- C .[0,4] D .[1,3] 【解析】:()()()()12112112113f x f f x f x x -≤-≤⇒≤-≤-⇒-≤-≤⇒≤≤故而选D 。

【考点】:函数不等式,函数的单调性。

9.(2016年3卷6)已知432a =,254b =,1325c =,则( )(A )b a c << (B )a b c << (C )b c a << (D )c a b <<9.【解析】因为422335244a b ==>=,1223332554c a ==>=,所以b a c <<,故选A . 考点:幂函数的图象与性质.10.(2016年1卷)8.若101a b c >><<,,则 (A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c < (D )log log a b c c <【解析】用特殊值法,令3a =,2b =,12c =得112232>,选项A 错误,11223223⨯>⨯,选项B错误,2313log 2log 22<,选项C 正确,3211log log 22>,选项D 错误,故选C . 考点:指数函数与对数函数的性质11(2017年1卷11)设xyz 为正数,且235x y z ==,则A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z【解析】:分别可求得1112352131512,3,5log 2log 3log 5log 2log 3log 5m m m m m m x y z ======分别对分母乘以30可得11151063230log 2log 2,30log 3log 3,30log 5m m m m m ==,故而可得10156101561log 3log 2log 5325325m m m m y x z >⎧⇒>>⇒<<⎨>>⎩,故而选D 。

12.(2018年3卷12)设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则A .0a b ab +<<B .0ab a b <+<C .0a b ab +<<D .0ab a b <<+解:.,即又即故选B.四、函数的图象 13.(2018年2卷3)函数的图象大致为解:为奇函数,舍去A,舍去D;,所以舍去C ;因此选B.14.(2016年1卷7)函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为(A )(B )(C )(D )考点:函数图像与性质15.(2018年3卷7)函数422y x x =-++的图像大致为解:当时,,排除A,B.,当时,,排除C故正确答案选D.五、导数几何意义16.(2018年2卷13)曲线在点处的切线方程为__________.解:17.(2018年3卷14)曲线()1e x y ax =+在点()01,处的切线的斜率为2-,则a =________.解: 则所以故答案为-3.18.(2018年1卷5)设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A.B.C.D. 解:因为函数是奇函数,所以,解得,所以,,所以,所以曲线在点处的切线方程为,化简可得,故选D.19.(2016年3卷15)已知()f x 为偶函数,当0x <时,()ln()3f x x x =-+,则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________.【解析】当0x >时,0x -<,则()ln 3f x x x -=-.又因为()f x 为偶函数,所以()()ln 3f x f x x x =-=-,所以1()3f x x '=-,则切线斜率为(1)2f '=-,所以切线方程为32(1)y x +=--,即21y x =--.考点:1、函数的奇偶性与解析式;2、导数的几何意义.20.(2016年2卷16)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线()ln 1y x =+的切线,b = .【解析】 ln 2y x =+的切线为:111ln 1y x x x =⋅++(设切点横坐标为1x ) ()ln 1y x =+的切线为:()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x = 212x =-,∴1ln 11ln 2b x =+=-.六、导数应用21.(2017年2卷11)若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为( )A.1-B.32e --C.35e -D.1 【解析】由题可得12121()(2)(1)[(2)1]x x x f x x a ex ax e x a x a e ---'=+++-=+++-因为(2)0f '-=,所以1a =-,21()(1)x f x x x e-=--,故21()(2)x f x x x e -'=+-令()0f x '>,解得2x <-或1x >,所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞单调递增,在(2,1)-单调递减,所以()f x 极小值(1)f =11(111)1e -=--=-,故选A 。

22.(2015年1卷12)设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1,若存在唯一的整数0x ,使得0()f x 0,则a 的取值范围是( )(A )[-32e ,1) (B )[-32e ,34) (C )[32e ,34) (D )[32e,1)【解析】设()g x =(21)xe x -,y ax a =-,由题知存在唯一的整数0x ,使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+,所以当12x <-时,()g x '<0,当12x >-时,()g x '>0,所以当12x =-时,max [()]g x =12-2e-,当0x =时,(0)g =-1,(1)30g e =>,直线y ax a =-恒过(1,0)斜率且a ,故(0)1a g ->=-,且1(1)3g e a a --=-≥--,解得32e≤a <1,故选D.考点:本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题23.(2015年2卷12)设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数,f (-1)=0,当0x >时,'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的x 的取值范围是(A )(1)01-∞-⋃,(,) (B )-101⋃+∞(,)(,) (C )(1)-10-∞-⋃,(,) (D )011⋃+∞(,)(,)【解析】记函数()()f x g x x =,则''2()()()xf x f x g x x -=,因为当0x >时,'()()0xf x f x -<,故当0x >时,'()0g x <,所以()g x 在(0,)+∞单调递减;又因为函数()()f x x R ∈是奇函数,故函数()g x 是偶函数,所以()g x 在(,0)-∞单调递减,且(1)(1)0g g -==.当01x <<时,()0g x >,则()0f x >;当1x <-时,()0g x <,则()0f x >,综上所述,使得()0f x >成立的x 的取值范围是A函数与导数解答题(共11题)一、零点个数问题1.(2015年1卷)已知函数f (x )=31,()ln 4x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线;(Ⅱ)用min {},m n 表示m,n 中的最小值,设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ,讨论h (x )零点的个数.解析:(Ⅰ)设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ,则0()0f x =,0()0f x '=,即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得013,24x a ==.因此,当34a =时,x 轴是曲线()y f x =的切线. (Ⅱ)当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =-<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<, ∴()h x 在(1,+∞)无零点.当x =1时,若54a ≥-,则5(1)04f a =+≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故x =1是()h x 的零点;若54a <-,则5(1)04f a =+<,(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =->,所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥,则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点,故()f x 在(0,1)单调,而1(0)4f =,5(1)4f a =+,所以当3a ≤-时,()f x 在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a -<<,则()f x 在(01)单调递增,故当x ()f x 取的最小值,最小值为f 14.①若f >0,即34-<a <0,()f x 在(0,1)无零点.②若f =0,即34a =-,则()f x 在(0,1)有唯一零点;③若f <0,即334a -<<-,由于1(0)4f =,5(1)4f a =+,所以当5344a -<<-时,()f x 在(0,1)有两个零点;当534a -<≤-时,()f x 在(0,1)有一个零点.…10分 综上,当34a >-或54a <-时,()h x 由一个零点;当34a =-或54a =-时,()h x 有两个零点;当5344a -<<-时,()h x 有三个零点.2.(2016年2卷)(I)讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性,并证明当0x >时,(2)e 20;x x x -++> (II)证明:当[0,1)a ∈ 时,函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域.【解析】⑴证明:()2e 2x x f x x -=+ ()()()22224e e 222x x x x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭∵当x ∈()()22,-∞--+∞,时,()0f x '> ∴()f x 在()()22,-∞--+∞,和上单调递增 ∴0x >时,()2e 0=12xx f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++> ⑵ ()()()24e2e xxa x x ax a g x x----'=()4e 2e2xxx x ax a x -++=()322e 2x x x a x x -⎛⎫+⋅+ ⎪+⎝⎭=[)01a ∈,,由(1)知,当0x >时,()2e 2xx f x x -=⋅+的值域为()1-+∞,,只有一解. 使得2e 2tt a t -⋅=-+,(]02t ∈, 当(0,)x t ∈时()0g x '<,()g x 单调减;当(,)x t ∈+∞时()0g x '>,()g x 单调增()()()222e 1e e 1e 22tt t t t t a t t h a t t t -++⋅-++===+,记()e 2t k t t =+,在(]0,2t ∈时,()()()2e 102t t k t t +'=>+,∴()k t 单调递增∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦,.3.(2017年1卷)已知函数()()2e 2e xx f x a a x =+--.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.解析:(1)由于()()2e 2e x xf x a a x =+--,所以()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+.①当0a 时,e 10x a -<,2e 10x +>,从而()0f x '<恒成立,所以()f x 在R 上单调递减. ②当0a >时,令()0f x '=,从而e 10x a -=,得ln x a =-.x()ln a -∞-,ln a -()ln a -+∞,()f x ′-+()f x极小值综上所述,当0a 时,()f x 在R 上单调递减;当0a >时,()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减,在(ln ,)a -+∞上单调递增.(2)由(1)知,当0a 时,()f x 在R 上单调递减,故()f x 在R 上至多一个零点,不满足条件.当0a >时,()min 1ln 1ln f f a a a =-=-+.令()()11ln 0g a a a a=-+>,则()2110g a a a'=+>,从而()g a 在()0+∞,上单调递增.而()10g =,所以当01a <<时,()0g a <;当1a =时()0g a =;当1a >时,()0g a >.由上知若1a >,则()min 11ln 0f a g a a =-+=>,故()0f x >恒成立,从而()f x 无零点,不满足条件.若1a =,则()min 11ln 0f a g a a=-+==,故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=,不满足件; 若01a <<,则()min 11ln 0f a g a a =-+=<,注意到ln 0a ->,()22110e e ea a f -=++->,故()f x 在()1ln a --,上有一个实根.而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭, 且33ln 1ln 133ln 1e e 2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅+---⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦()33132ln 1a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 331ln 10a a ⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,上有一个实根. 又()f x 在()ln a -∞-,上单调递减,在()ln a -+∞,单调递增,故()f x 在R 上至多两根. 综上所述,01a <<.4(2018年2卷)已知函数.(1)若,证明:当时,;(2)若在只有一个零点,求. 解:(1)当时,等价于.设函数,则.当时,,所以在单调递减.而,故当时,,即.(2)设函数.在只有一个零点当且仅当在只有一个零点.(i )当时,,没有零点;(ii )当时,.当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.故是在的最小值.①若,即,在没有零点;②若,即,在只有一个零点; ③若,即,由于,所以在有一个零点,由(1)知,当时,,所以.故在有一个零点,因此在有两个零点. 综上,在只有一个零点时,.二、构造函数问题5.(2015年2卷)设函数f(x)=e mx +x 2-mx.(1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f(x 1)-f(x 2)|≤e -1,求m 的取值范围.【解析】(1)f′(x)=m(e mx -1)+2x.若m≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0,f′(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0,f′(x)>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0,f′(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由(1)知,对于任意的m,f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f(x 1)-f(x 2)|≤e -1的充要条件是()(),()(),f f e f f e 1-0≤-1⎧⎨-1-0≤-1⎩即,,mme m e e m e -⎧-≤-1⎪⎨+≤-1⎪⎩①设函数g(t)=e t -t-e+1,g′(t)=e t -1. 当t<0时,g′(t)<0;当t>0时,g′(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e -1+2-e<0,故当t ∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m ∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立; 当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m -m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e -m +m>e-1.6.(2016年1卷)已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围;(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明:122x x +<【解析】(1)f'(x)=(x-1)e x +2a(x-1)=(x-1)(e x +2a).①设a=0,则f(x)=(x-2)e x ,f(x)只有一个零点;②设a>0,则当x ∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b 满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a 2 (b-2)+a(b-1)2=a 23b b 2⎛⎫- ⎪⎝⎭>0,故f(x)存在两个零点;③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-e2,则ln(-2a)≤1,故当x ∈(1,+∞)时,f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x ∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x ∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增,又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点,综上,a 的取值范围为(0,+∞).(2)不妨设x 1<x 2,由(1)知,x 1∈(-∞,1),x 2∈(1,+∞),2-x 2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)内单调递减,所以x 1+x 2<2等价于f(x 1)>f(2-x 2),即f(2-x 2)<0,由于f(2-x 2)=-x 222x e -+a(x 2-1)2, 而f(x 2)=(x 2-2)2x e +a(x 2-1)2=0,所以f(2-x 2)=-x 222x e --(x 2-2)2x e ,设g(x)=-x 2-xe -(x-2)e x ,则g'(x)=(x-1)( 2x e - -e x ).所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x 2)=f(2-x 2)<0,故x 1+x 2<2.7.(2016年1卷)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-.(1)若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2)若0x =是()f x 的极大值点,求a .解:(1)当0a =时,()(2)ln(1)2f x x x x =++-,()ln(1)1xf x x x'=+-+. 设函数()()ln(1)1xg x f x x x'==+-+,则2()(1)x g x x '=+.当10x -<<时,()0g x '<;当0x >时,()0g x '>.故当1x >-时,()(0)0g x g ≥=,且仅当0x =时,()0g x =,从而()0f x '≥,且仅当0x =时,()0f x '=. 所以()f x 在(1,)-+∞单调递增又(0)0f =,故当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >.(2)(i )若0a ≥,由(1)知,当0x >时,()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=,这与0x =是()f x 的极大值点矛盾. (ii )若0a <,设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++.由于当||min{x <时,220x ax ++>,故()h x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0h f ==,故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点.2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++.如果610a +>,则当6104a x a +<<-,且||min{x <时,()0h x '>,故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +<,则224610a x ax a +++=存在根10x <,故当1(,0)x x ∈,且||min{x <时,()0h x '<,所以0x =不是()h x 的极大值点. 如果610a +=,则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--.则当(1,0)x ∈-时,()0h x '>;当(0,1)x ∈时,()0h x '<.所以0x =是()h x 的极大值点,从而0x =是()f x 的极大值点综上,16a =-.三、不等式证明8.(2016年3卷)设函数f(x)=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A. (1)求f'(x);(2)求A ;(3)证明|f'(x)|≤2A.【解析】(1)f'(x)=-2asin2x-(a-1)sinx.(2)当a≥1时,()()()()() cos 21cosx 11232,||0f a x a a a a f x =+-+≤+-⨯=-= 当0<a<1时,()()()()2cos 21cosx 12cos a 1cos 1,f x a x a a x x =+-+=+--令cosx=t ∈1,1⎡⎤-⎣⎦,则f(x)=g(t)=2at 2+()a 1-t-1,其对称轴为t=1a4a-, 当t=1a 4a -∈()1,1-时,解得a<-()1舍去3或a>15,所以当15<a<1时,因为g(1)=a,g(1)=3a-2, 则g(-1)-g(1)=2-2a>0,又()()()1a 17a 1a g g 104a 8a -+⎛⎫---=>⎪⎝⎭, 所以A=g 21a a 6a 14a 8a ⎛⎫-++=⎪⎝⎭.当0<a≤15时,()g 1- =a,()g 1 =2-3a 所以此时()g 1-<()g 1=2-3a.综上可得:A=2123a,0a ,5a 6a 11,a 1,8a 53a 2,a 1.⎧-<≤⎪⎪⎪++<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩(3)由(1)得.当0<a≤15时,()f'x ≤1+a≤2-4a<2()23a -=2A,当15<a<1,A=2a 6a 1a 1318a 88a 4++=++≥.所以()f'x <2A. 当a≥1时,()f'x ≤3a -1≤6a -4=2(3a-2)=2A.综上所述:()f'x ≤2A.9.(2017年3卷)已知函数()1ln f x x a x =--. (1)若()0f x ≥,求a 的值;(2)设m 为整数,且对于任意正整数n ,21111+1++222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1,求m 的最小值. 解析 (1)解法一:()1ln f x x a x =--,0x >,则()1a x a f x x x-'=-=,且(1)0f =, 当0a 时,()0f x '>,()f x 在()0+∞,上单调递增,所以01x <<时,()()10f x f <=,不满足题意;当0a >时,当0x a <<时,()0f x '<,则()f x 在(0,)a 上单调递减; 当x a >时,()0f x '>,则()f x 在(,)a +∞上单调递增.① 若1a <,()f x 在(,1)a 上单调递增,所以当(,1)x a ∈时,()(1)0f x f <=,不满足题意;② 若1a >,()f x 在(1,)a 上单调递减,所以当(1,)x a ∈时,()(1)0f x f <=,不满足题意; ③ 若1a =,()f x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,所以()(1)0f x f =,满足题意.综上所述1a =. 解法二:因为()10f =,要使()1ln 0f x x a x =--在()0,+∞上恒成立,则必要条件为()10f x a '=-=,得1a =.当1a =时,()1ln f x x x =--,()1x f x x-'=. 当01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减;当1x >时,()0f x '>,()f x 单调递增; 所以1x =为()f x 的极小值点,()()10f x f =,即1a =满足题意. (2)由(1)知当()1,x ∈+∞时,1ln 0x x -->,令112n x =+,得11ln 122nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭, 所以221111111ln 1ln 1ln 1112222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 从而2111111e 222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而2e<3<,所以m 的最小值为3.10.(2017年2卷)已知函数()2ln f x ax ax x x =--,且()0f x ≥。

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