5-1 有一弹簧振子，振幅m A 2100.2-⨯=，周期s T 0.1=，初相.4/3πϕ=试写出它的振动位移、速度和加速度方程。

分析 根据振动的标准形式得出振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。

解：振动方程为：]2cos[]cos[ϕπϕω+=+=t TA t A x 代入有关数据得：30.02cos[2]()4x t SI ππ=+ 振子的速度和加速度分别是：3/0.04sin[2]()4v dx dt t SI πππ==-+ 2223/0.08cos[2]()4a d x dt t SI πππ==-+5-2若简谐振动方程为m t x ]4/20cos[1.0ππ+=，求： （1）振幅、频率、角频率、周期和初相； （2）t=2s 时的位移、速度和加速度.分析 通过与简谐振动标准方程对比，得出特征参量。

解：(1)可用比较法求解.根据]4/20cos[1.0]cos[ππϕω+=+=t t A x 得：振幅0.1A m =，角频率20/rad s ωπ=，频率1/210s νωπ-==， 周期1/0.1T s ν==，/4rad ϕπ=（2）2t s =时，振动相位为：20/4(40/4)t rad ϕππππ=+=+ 由cos x A ϕ=，sin A νωϕ=-，22cos a A x ωϕω=-=-得 20.0707, 4.44/,279/x m m s a m s ν==-=-5-3质量为kg 2的质点，按方程))](6/(5sin[2.0SI t x π-=沿着x 轴振动.求： （1）t=0时，作用于质点的力的大小；（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐振动方程求解，位移最大时受力最大。

解：（1）跟据x m ma f 2ω-==，)]6/(5sin[2.0π-=t x 将0=t 代入上式中，得： 5.0f N =（2）由x m f 2ω-=可知，当0.2x A m =-=-时，质点受力最大，为10.0f N =5-4为了测得一物体的质量m ，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率Hz 0.11=ν；而当将另一已知质量为'm 的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为Hz 0.22=ν.设振动均在弹簧的弹性限度进行，求被测物体的质量.分析 根据简谐振动频率公式比较即可。

解：由m k /21πν=，对于同一弹簧（k 相同）采用比较法可得：mm '21=νν 解得：'4m m =5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅m A 2100.2-⨯=，周期T=0.5s ，当t=0时， （1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在m x 2100.1-⨯=处，向负方向运动； （4）物体在m x 2100.1-⨯-=处，向负方向运动. 求以上各种情况的振动方程。

分析 根据旋转矢量图由位移和速度确定相位。

进而得出各种情况的振动方程。

解：设所求振动方程为：]4cos[02.0]2cos[ϕπϕπ+=+=t t TA x 由A 旋转矢量图可求出3/2,3/,2/,04321πϕπϕπϕϕ====（1）0.02cos[4]()x t SI π=（2）0.02cos[4]()2x t SI ππ=+ （3）0.02cos[4]()3x t SI ππ=+（4）20.02cos[4]()3x t SI ππ=+题图5-55-6在一轻弹簧下悬挂0100m g =砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂250m g =的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm ，并给以向上的21cm/s 的初速度（令这时t=0）.选x 轴向下，求振动方程.分析 在平衡位置为原点建立坐标，由初始条件得出特征参量。

解：弹簧的劲度系数l g m k ∆=/0。

当该弹簧与物体m 构成弹簧振子，起振后将作简谐振动，可设其振动方程为：]cos[ϕω+=t A x角频率为m k /=ω代入数据后求得7/rad s ω=以平衡位置为原点建立坐标，有：000.04,0.21/x m v m s ==- 据2020)/(ωv x A +=得：0.05A m =据Ax 01cos-±=ϕ得0.64rad ϕ=±由于00v <,应取)(64.0rad =ϕ 于是，所求方程为：))(64.07cos(05.0m t x += 5-7 某质点振动的x-t 曲线如题图5－7所示.求： （1）质点的振动方程；（2）质点到达P 点相应位置所需的最短时间.分析 由旋转矢量可以得出相位和角频率，求出质点的振动方程。

并根据P 点的相位确定最短时间。

00001cos()0,/2,031,325650.1cos()6320x A t t x A v t s t x t m P ωϕπϕππωπωππ=+==>=-=-=∴==-解：（）设所求方程为：从图中可见，由旋转矢量法可知；又故：（）点的相位为0500.4630.4p p p t t t sP sππωϕ∴+=-==即质点到达点相应状态所要的最短时间为 题图5-75-8有一弹簧，当下面挂一质量为m 的物体时，伸长量为m 2108.9-⨯.若使弹簧上下振动，且规定向下为正方向.（1）当t ＝0时，物体在平衡位置上方m 2100.8-⨯，由静止开始向下运动，求振动方程. (2) 当t ＝0时，物体在平衡位置并以0.6m/s 的速度向上运动，求振动方程. 分析 根据初始条件求出特征量建立振动方程。

解：设所求振动方程为：)cos(ϕω+=t A x其中角频率lgm l mgm k ∆=∆==//ω，代入数据得：10/rad s ω= （1）以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：000.08,0x m v =-= 据2020)/(ωv x A +=得：0.08A m =据Ax 01cos-±=ϕ得rad ϕπ=±由于0v ＝0,不妨取rad ϕπ= 于是，所求方程为：10.08cos(10)()x t SI π=+（2）以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有：000,0.6/x v m s ==- 据2020)/(ωv x A +=得：0.06A m =据Ax 01cos-±=ϕ得/2rad ϕπ=±由于00v <,应取/2rad ϕπ= 于是，所求方程为：20.06cos(10/2)()x t SI π=+5-9 一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为)SI )(3t 2cos(104x 2π+π⨯=-，求：从 t=0时刻起到质点位置在x=-2cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间.分析 由旋转矢量图求得两点相位差，结合振动方程中特征量即可确定最短时间。

解: 依题意有旋转矢量图ϕπ∆=从图可见02(0)t t ϕωπ∆=∆=-而012t s ϕω∆==故所求时间为：5-10两个物体同方向作同方向、同频率、同振幅的简谐振动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差.分析 由旋转矢量图求解。

根据运动速度的方向与位移共同确定相位。

解：由于2/10A x =、100v <可求得：4/1πϕ= 由于2/20A x =、200v >可求得：4/2πϕ-= 如图5-10所示，相位差：12/2ϕϕϕπ∆=-=题图5-10题图5-11题图5-115-11一简谐振动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程.分析 利用旋转矢量图求解，由图中两个确定点求得相位，再根据时间差求得其角频率。

解：设所求方程为)cos(ϕω+=t A x当t=0时：115,0x cm v =-<由A 旋转矢量图可得：02/3t rad ϕπ== 当t=2s 时：从x-t 图中可以看出：220,0x v => 据旋转矢量图可以看出， 23/2t rad ϕπ==所以，2秒相位的改变量203/22/35/6t t rad ϕϕϕπππ==∆=-=-= 据t ϕω∆=∆可求出：/5/12/t rad s ωϕπ=∆∆= 于是：所求振动方程为：520.1cos()()123x t SI ππ=+ 5-12 在光滑水平面上,有一作简谐振动的弹簧振子,弹簧的劲度系数为K,物体的质量为m ,振幅为A .当物体通过平衡位置时,有一质量为'm 的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起.求:（1）'m 和m 粘结后,系统的振动周期和振幅;（2）若当物体到达最大位移处,泥团竖直落到物体上,再求系统振动的周期和振幅. 分析 系统周期只与系统本身有关，由质量和劲度系数即可确定周期，而振幅则由系统能量决定，因此需要由动量守恒确定碰撞前后速度，从而由机械能守恒确定其振幅。

解:（1）设物体通过平衡位置时的速度为v ,则由机械能守恒:221122KA mv v ==±当'm 竖直落在处于平衡位置m 上时为完全非弹性碰撞,且水平方向合外力为零,所以(')'mv m m u m u vm m =+=+此后,系统的振幅变为'A ,由机械能守恒,有2211'(')22'KA m m u A =+==系统振动的周期为: K'm m 2T +π=（2）当m 在最大位移处'm 竖直落在m 上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A,周期为K'm m 2+π. 5-13 设细圆环的质量为m,半径为R,挂在墙上的钉子上.求它微小振动的周期. 分析 圆环为一刚体须应用转动定律，而其受力可考虑其质心。

解: 如图所示,转轴o 在环上,角量以逆时针为正,则振动方程为θ-=θsin mgR dtd J 22 当环作微小摆动θ≈θsin 时, 2220d dtθωθ+=mgRJω=22J mR =222RT gππω∴== 5－14 一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm ，然后由静止释放并开始计时．求 (1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 物体的振动方程；(3) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；(4) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间．(5) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件？二者在何位置开始分离？分析 小物体分离的临界条件是对振动物体压力为零，即两物体具有相同的加速度，而小物体此时加速度为重力加速度，因此可根据两物体加速度确定分离条件。