函数与方程教学讲义1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)f(b)＜0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法(1)对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(Ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(Ⅱ)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(Ⅲ)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个零点一个零点无零点1．(教材改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(B)A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)[解析]由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2,3)内有零点，故选B．2．(教材改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625f(x)－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115则方程2x ＋3x ＝7的近似解(精确到0.1)可取为( C ) A ．1.32 B ．1.39 C ．1.4D ．1.3[解析] 通过上述表格得知函数唯一的零点x 0在区间(1.375,1.4375)内，故选C ． 3．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( C ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12[解析] 2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝0，得x ＝0或－12，故选C ．4．(教材改编)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( D )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ln x ＝0解得x ＝1，－x (x ＋2)＝0解得x ＝0或－2，∴g (x )有三个零点． 5．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的大致区间是( C ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] 因为y ＝ln x 与y ＝2x －6在(0，＋∞)上都是增函数，所以f (x )＝ln x ＋2x －6在(0，＋∞)上是增函数．又f (1)＝－4，f (2)＝ln2－2<lne －2<0，f (3)＝ln3>0.所以零点在区间(2,3)上，故选C ．6．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( C )[解析] A ，B 图中零点两侧不异号，D 图不连续．故选C ．考点1 确定函数零点所在区间——自主练透例1 (1)若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)>0，f (1)·f (2)·f (4)<0，则下列命题正确的是( D )A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1,2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0,2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0,4)内有零点(2)(2018·河南天一大联考)函数f (x )＝x ＋ln x －3的零点位于区间( C ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)(3)(2018·全国名校联考，3)若函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝21－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( B ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)[分析] 利用零点存在定理进行判断或用数形结合法画图求解．[解析] (1)因为f (1)·f (2)·f (4)<0，所以f (1)、f (2)、f (4)中至少有一个小于0. 若f (1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若f (2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若f (4)<0，则在(0,4)内有零点．故选D ． (2)∵f (1)＝1＋ln1－3＝－2<0， f (2)＝2＋ln2－3＝ln2－1<0， f (3)＝3＋ln3－3＝ln3>0，∴f (2)·f (3)<0，∴f (x )在区间(2,3)内有零点，故选C ．另解：f (x )的零点即为y ＝ln x 与y ＝3－x 图象交点的横坐标，由图可知零点位于区间(2,3)内，故选C ．(3)设f (x )＝ln(x ＋1)－21－x 可以判断f (x )为增函数，又f (1)＝ln2－1<0，f (2)＝ln3－12>0，故选B ．名师点拨 ☞确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．考点2 函数零点个数的确定——师生共研例2 (1)(2018·课标Ⅲ，15)函数f (x )＝cos(3x ＋π6)在[0，π]的零点个数为__3__.(2)(文)(2018·云南昆明一中摸底)若函数f (x )＝|x |，则函数y ＝f (x )－log 12|x |的零点个数是( D )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个(理)(2018·江淮十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5|x －1|－1，x ≥0x 2＋4x ＋4，x <0，则关于x 的方程f 2(x )－5f (x )＋4＝0的实数根的个数为( D ) A ．2 B ．3 C ．6D ．7[分析] 画出函数图象，结合图象确定零点的个数，若方程f (x )＝0可解，也可直接解方程求解．[解析] (1)本题考查函数与方程．令f (x )＝0，得cos(3x ＋π6)＝0，解得x ＝k π3＋π9(k ∈Z )．当k＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，又x ∈[0，π]，所以满足要求的零点有3个．(2)(文)在同一坐标系中作出f (x )＝|x |、g (x )＝log 12|x |的图象，由图可知选D ．(理)解法一：由f 2(x )－5f (x )＋4＝0得f (x )＝1或4.若f (x )＝1，当x ≥0时，即5|x －1|－1＝1， 5|x －1|＝2解得x ＝1±log 52，当x <0时，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－1或－3.若f (x )＝4，当x ≥0时，5|x －1|－1＝4，|x －1|＝1解得x ＝0或2， 当x <0时即x 2＋4x ＝0，解得x ＝－4. 故所求实根个数共有7个．解法二：由f 2(x )－5f (x )＋4＝0得f (x )＝1或4.由f (x )图象可知：f (x )＝1有4个根，f (x )＝4有3个根．∴方程f 2(x ) －5f (x )＋4＝0有7个根． 名师点拨 ☞函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：利用函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 〔变式训练1〕(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是__2__.(2)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)x 2－2＝0，解得x ＝±2，∵x <0，∴x ＝－2，2x －6＋ln x ＝0，设y ＝ln x ，y ＝6－2x ，分别画函数图象(图略)可得一个交点，故原函数有两个零点．(2)f (x )＝e x ＋x －3在(0，＋∞)上为增函数，f (12)＝e 12－52<0，f (1)＝e －2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f (x )在(－∞，0)上也有一个零点，又f (0)＝0，所以f (x )有三个零点，故选C ．考点3 函数零点的应用——多维探究角度1 与零点有关的比较大小例3 已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －log 12x ，h (x )＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( D ) A ．x 1>x 2>x 3 B ．x 2>x 1>x 3 C ．x 1>x 3>x 2D ．x 3>x 2>x 1[解析] 由f (x )＝2x ＋x ＝0，g (x )＝x －log 12x ＝0，h (x )＝log 2x －x ＝0，得2x ＝－x ，x ＝log 12，log 2x ＝x ，在平面直角坐标系中分别作出y ＝2x 与y ＝－x 的图象；y ＝x 与y ＝log 12x 的图象；y ＝log 2x 与y ＝x 的图象，由图可知：－1<x 1<0,0<x 2<1，x 3>1.所以x 3>x 2>x 1.角度2 已知函数的零点或方程的根求参数例4 (2018·课标Ⅰ，9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则实数a 的取值范围是( C ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 本题主要考查函数的零点及函数的图象．g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点等价于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0与h (x )＝－x －a 的图象存在2个交点，如图，当x ＝0时，h (0)＝－a ，由图可知要满足y ＝f (x )与y ＝h (x )的图象存在2个交点，需要－a ≤1，即a ≥－1.故选C ．名师点拨 ☞1．比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小； (2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(文)(2018·安徽蚌埠月考)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( B ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．a >b >cD ．c >a >b(理)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则f (a )，f (1)，f (b )的大小关系为__f (a )<f (1)<f (b )__.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，x ＋2，x ≤0，方程|f (x )|＝a 有三个零点，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，0)B ．[0，e)C ．(0,2)D ．(2，＋∞)[分析] 解法一：依据零点存在定理，确定a ，b ，c 所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y ＝3x 、y ＝log 3x 、y ＝x 3与y ＝－x 的图象，比较其交点横坐标的大小即可． [解析] (1)(文)解法一：∵f (－1)＝3－1－1＝－23，f (0)＝1，∴a ∈(－23，0)，又g (13)＝log 313＋13＝－23，g (1)＝1，∴b ∈(13，1)，显然c ＝0，∴a <c <b ，故选B ．解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y ＝3x 、y ＝log 2x 、y ＝－x 的图象，结合图象及c ＝0可知a <c <b ，故选B ．(理)因为f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝－1>0，所以f (x )的零点a ∈(0,1)，又g (1)＝ln1＋－2＝－1<0，g (2)＝ln2＋2－2＝ln2>0，所以g (x )的零点b ∈(1,2)，又f (x )＝e x ＋x －2为单调增函数，且e x <a <1<b <2，所以f (a )<f (1)<f (b )．(2)当a ＝0时，|f (x )|＝0，由y ＝|f (x )|的图象与x 轴有两个交点，即函数y ＝|f (x )|－a 有两个零点1与－2，舍去；当a <0时，因为y ＝|f (x )|的图象都在x 轴上或x 轴的上方，所以y ＝|f (x )|的图象与函数y ＝a 没有交点，即函数y ＝|f (x )|－a 没有零点，舍去；当a >0时，在平面直角坐标系中，画出y ＝|f (x )|的图象，观察图象可知，当a >2时，y ＝|f (x )|与y ＝a 才有三个交点．考点4 二分法及其应用——自主练透例5 (1)用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈__(0,0.5)__，第二次应计算__f (0.25)__.(2)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在的区间为 (32，2) .(3)在用二分法求方程x 2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是__7__.[解析] (1)因为f (0)<0，f (0.5)>0，由二分法原理得一个零点x 0∈(0,0.5)；第二次应计算f (0＋0.52)＝f (0.25)．(2)区间(1,2)的中点x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，f (32)＝278－4<0，f (2)＝8－4－1>0，则根所在区间为(32，2)．(3)设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n >100.由26＝64,27＝128，知n ＝7. 名师点拨 ☞1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断． 2．利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f (a )，f (b )的值比较容易计算且f (a )·f (b )<0； (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的． (3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．。