实用标准7 、近五年全国卷分类汇编——概率统计(教师版）一、概率与排列组合1 、（2013 全国 1 卷.理 3 ）为了解某地区的中小考生视力情况，拟从该地区的中小考生中抽取部分考生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段考生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A 、简单随机抽样B、按性别分层抽样错误!未找到引用源。
C、按学段分层抽样 D 、系统抽样解析：不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样.故选 C2 ．（2014全国1卷.理5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）1 3C、5 7A 、B、8 D 、8 8 8解析： 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有24 16 种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有C41 A21 8 种；②每天2 人有C42 6种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为8 6 7位同学都在周六或周日参加16；或间接解法： 4816 2 7公益活动有 2 种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为16故选 D 83 、（ 2015 全国 1 卷.理4 ）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A 、 0.648 B、 0.432 C、 0.36 D 、 0.312解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C32 0.62 0.4 0.63 =0.648 故选 A4. （2016 全国 1 卷 .理 4 ）某公司的班车在7:00 ， 8:00 ， 8:30 发车，小明在7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）1 1C、2 3A 、B、3 D 、3 2 4解析：如图所示，画出时间轴：7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30A C D B小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟，根据几何概型，所求概率10 10 1P ．故选 B．40 25 ．（ 2017 全国 1 卷 .理 2 ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．1B ．π481πC ．D ．24解析：设正方形边长为 a ，则圆的半径为a，则正方形的面积为 a 2 ，圆的面积为a 2 .由图形的对称性可24知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半 .由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分1 a 2的概率是248 ，选 B.a 2二、二项式定理1 、（2013全国 1 卷 .理 9）设 m 为正整数， ( xy)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ， ( x y)2 m 1 展开式的二项式系数的最大值为 b ，若 13 a =7 b ，则 m ＝ ()A 、 5B 、 6C 、 7D 、 8m m 1mm 113 (2 m)! 7 (2 m 1)!解析：由题知 a = C 2m ， b = C 2m 1 ，∴13C 2 m =7 C 2m 1 ，即=(m 1)! m! ，m!m!解得 m =6 ，故选 B.2 、（ 2014 全国 1 卷 .理 13 ） xy x y 8的展开式中 x 2 y 7 的系数为 ________（.用数字填写答案）解析： ( x y)8展开式的通项为 T r 1C 8 x y(r 0,1, ,8)，∴r8r rLT 8C 87 xy 7 8xy 7 T 7 C 86 x 2 y 6 28x 2 y 6∴(xy)( x y)8 的展开式中 x 2 y 7 的项为 xg8xy 7 yg28 x 2 y 6 20x 2 y 7 ，故系数为 20 。
3 、（2015全国 1 卷 .理 10 ） ( x 2 x y)5 的展开式中， x 5 y 2的系数为 ()A 、 10B 、 20C 、 30D 、 60解析：在 ( x 2 xy)5 的 5 个因式中， 2 个取因式中 x 2 剩余的 3个因式中 1 个取 x ，其余因式取 y,故 x 5 y2的系数为 C 52 C 31C 22 =30 ，故选 C4 、（ 2016 全国 1 卷 理14 ） (2x x )5 的展开式中，x 3的系数是．（用数字填写答案）.5 kkk解析：设展开式的第 k 1 项为 T k 1 ， k0,1,2,3,4,5∴T k 1 C 5kx52xC 5k25 kx 2 ．，k4当 53 时， k 4510x3故答案为 10 ．，即 T 5 C 5425 4x22，5 ．（2017 全国 1 卷 .理6 ） (11)(1 x)6 展开式中 x 2 的系数为（）x 2A 、 15B 、 20C 、 30D 、 35解析：因为 (112 )(1 x)61 (1 x)612 (1 x) 6 ，则 (1 x)6 展开式中含 x 2 的项为 1 C 62 x 2 15 x 2 ，x1x62的项为4 x 42215 30 。
故选 C12 (1 x) 展开式中含 xx 2 C615 x ，故 x 前系数为 15x三、解答题1 、（ 2013 全国 1 卷.理 19 ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为n 。
如果 n=3 ，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4 ，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50% ，即取出的产品是优 质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（ 1 ）求这批产品通过检验的概率；（ 2 ）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X （单位：元），求 X 的分布列及数学期望。
解：（ 1）设第一次取出的4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A 1 。
第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A 2 ,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B 1 ，第一次取出的 1 件产品为事件 B 2 ，这批产品通过检验为事件 A ，由题意有 A= ( A 1 B 1 )与 A 2 B 2 ,且 A 1B 1 与 A 2B 2 互斥，所以 P( A) P A 1B 1 P A 2 B 2P( A 1 )P( B 1 A 1 ) P( B 2 A 2 ) 4 1111616 16 2364（ 2 ）X 的可能取值为 400 、500 、 800 ；41 111 1 P( X 400) 116 16， P( X 500)， P( X 800)16 164，则 X 的分布列为X 400500 800P11 1 11616 4EX400 11 500 1 800 1506.2516 16 42 、（2014全国1卷.理18）从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（ I）求这 500 件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差 s2（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（ II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布 N , 2 ，其中近似为样本平均数x ，2近似为样本方差 s2 .（ i）利用该正态分布，求P 187.8 Z 212.2 ；（ ii ）某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X 表示这100 件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2 的产品件数 .利用（ i ）的结果，求EX .附： 150 12.2若 Z ~ N , 2 则 P Z 0.6826， P 2 Z 20.9544。
解：（ I）抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差 s2分别为x 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33210 0.24 220 0.08 230 0.02=200s2 ( 30)2 0.02 ( 20)2 0.09 ( 10) 2 0.220 0.33 102 0.24 202 0.08 302 0.02150.（II ）（ i）由（ I）知，Z ~ N (200,150)，从而P(187.8 Z 212.2）=P(200 12.2 Z 200 12.2) 0.6826.（ ii ）由（ i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2 ）的概率为0.682 6 ，依题意知 X-B(100 ， 0.682 6) ，所以EX 100 0.6826 68.26.3 、（ 2015 全国 1 卷 .理 19 ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量 y （单位： t ）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（ i =1,2，，·8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.ur ur 888 8r yw( x ix)2(w i w)2( x i x)( y i y)(w i w)( y i y)xi 1i 1i1i 146. 56. 6.289.81.6 1469108.8638表中 w ix iur 1， w =88 w ii 1（Ⅰ）根据散点 判断， y=a + bx 与 y = c + d x 哪一个适宜作 年 售量 y 关于年宣 x 的回 方程 型？（ 出判断即可，不必 明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断 果及表中数据，建立y 关于 x 的回 方程；（Ⅲ）已知 种 品的年利率z 与 x, y 的关系 z0.2 y x .根据（Ⅱ）的 果回答下列 ：( ⅰ)年宣x =49 ，年 售量及年利 的 是多少？ ( ⅱ)年宣 x 何 ，年利率的 最大？附： 于一 数据(u 1, v 1 ) , (u 2 , v 2 ) ，⋯⋯， (u n , v n ) ,其回 vu 的斜率和截距的最小二乘估 分n^i(u i u)( v i v)1,v u 。
n(u i u) 2i 1解：（ I ）由散点 可以判断， y c d x 适宜作 年 售量y 关于年宣x 的回 方程 型。