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中考数学反比例函数综合练习题含详细答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.【答案】(1)解:k=4,S△PAB=15.提示:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP与y轴交于点C,如图1,把x=4代入y= x,得到点B的坐标为(4,1),把点B(4,1)代入y= ,得k=4.解方程组,得到点A的坐标为(﹣4,﹣1),则点A与点B关于原点对称,∴OA=OB,∴S△AOP=S△BOP,∴S△PAB=2S△AOP.设直线AP的解析式为y=mx+n,把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,求得直线AP的解析式为y=x+3,则点C的坐标(0,3),OC=3,∴S△AOP=S△AOC+S△POC= OC•AR+ OC•PS= ×3×4+ ×3×1= ,∴S△PAB=2S△AOP=15;(2)解:过点P作PH⊥x轴于H,如图2.B(4,1),则反比例函数解析式为y= ,设P(m,),直线PA的方程为y=ax+b,直线PB的方程为y=px+q,联立,解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1,联立,解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1,∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),∴H(m,0),∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,∴MH=NH,∴PH垂直平分MN,∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形;(3)解:∠PAQ=∠PBQ.理由如下:过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),直线AQ的解析式为y=px+q,则有,解得:,∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1.当y=0时, x+ ﹣1=0,解得:x=c﹣4,∴D(c﹣4,0).同理可得E(c+4,0),∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,∴DT=ET,∴QT垂直平分DE,∴QD=QE,∴∠QDE=∠QED.∵∠MDA=∠QDE,∴∠MDA=∠QED.∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,∴∠PAQ=∠PBQ.【解析】【分析】(1)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP 与y轴交于点C,如图1,可根据条件先求出点B的坐标,然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式,即可求出k,然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标,从而得到OA=OB,由此可得S△PAB=2S△AOP,要求△PAB的面积,只需求△PAO的面积,只需用割补法就可解决问题;(2)过点P作PH⊥x轴于H,如图2.可用待定系数法求出直线PB的解析式,从而得到点N的坐标,同理可得到点M的坐标,进而得到MH=NH,根据垂直平分线的性质可得PM=PN,即△PMN是等腰三角形;(3)过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),运用待定系数法求出直线AQ的解析式,即可得到点D的坐标为(c﹣4,0),同理可得E(c+4,0),从而得到DT=ET,根据垂直平分线的性质可得QD=QE,则有∠QDE=∠QED.然后根据对顶角相等及三角形外角的性质,就可得到∠PAQ=∠PBQ.2.如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= (k为常数,且k≠0)的图象交于A (﹣1,a),B(b,1)两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标;(3)求△PAB的面积.【答案】(1)解:当x=﹣1时,a=x+4=3,∴点A的坐标为(﹣1,3).将点A(﹣1,3)代入y= 中,3= ,解得:k=﹣3,∴反比例函数的表达式为y=﹣(2)解:当y=b+4=1时,b=﹣3,∴点B的坐标为(﹣3,1).作点B关于x轴的对称点D,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,如图所示.∵点B的坐标为(﹣3,1),∴点D的坐标为(﹣3,﹣1).设直线AD的函数表达式为y=mx+n,将点A(﹣1,3)、D(﹣3,﹣1)代入y=mx+n中,,解得:,∴直线AD的函数表达式为y=2x+5.当y=2x+5=0时,x=﹣,∴点P的坐标为(﹣,0)(3)解:S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =【解析】【分析】(1)由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标,根据点A的坐标利用待定系数法,即可求出反比例函数的表达式;(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标,作点B关于x轴的对称点D,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,由点B的坐标可得出点D的坐标,根据点A、D的坐标利用待定系数法,即可求出直线AB的函数表达式,再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标;(3)根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP,即可得出结论.3.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”.例如:在图1中,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”.(1)如图1,若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长;(2)如图2,若某函数是反比例函数(k>0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数的解析式;(3)如图3,若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,C,D中的一个点坐标为(3,4),请你直接写出该二次函数的解析式.【答案】(1)解:(I)当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时:正方形ABCD的边长为.(II)当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时:设正方形边长为a,易得3a= ,解得a= ,此时正方形的边长为.∴所求“伴侣正方形”的边长为或(2)解:如图,作DE⊥x轴,CF⊥y轴,垂足分别为点E、F,易证△ADE≌△BAO≌△CBF.∵点D的坐标为(2,m),m<2,∴DE=OA=BF=m,∴OB=AE=CF=2﹣m.∴OF=BF+OB=2,∴点C的坐标为(2﹣m,2).∴2m=2(2﹣m),解得m=1.∴反比例函数的解析式为y=(3)解:实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(3,4)的左侧,而开口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合a、当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:另外一个顶点为(4,1),对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;b、当点A在x 轴正半轴上,点 B在 y轴正半轴上,点D 坐标为(3,4)时:不存在,c、当点A 在 x 轴正半轴上,点 B在 y轴负半轴上,点C 坐标为(3,4)时:不存在d、当点A在x 轴正半轴上,点B在y轴负半轴上,点D坐标为(3,4)时:另外一个顶点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y= x2+ ;e、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣ x2+ ;f、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点C坐标为(3,4)时,另一个顶点D 的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y= x2+ ;故二次函数的解析式分别为:y= x2+ 或y=﹣ x2+ 或y=﹣ x2+ 或y= x2+【解析】【分析】(1)先正确地画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计算正方形的边长.(2)因为ABCD为正方形,所以可作垂线得到等腰直角三角形,利用点D(2,m)的坐标表示出点C的坐标,可求出m的值,即可得到反比例函数的解析式.(3)由抛物线开口既可能向上,也可能向下.当抛物线开口向上时,正方形的另一个顶点也是在抛物线上,这个点既可能在点(3,4)的左边,也可能在点(3,4)的右边,过点(3,4)向x轴作垂线,利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论,即可得到所求的结论.4.如图,P1、P2(P2在P1的右侧)是y= (k>0)在第一象限上的两点,点A1的坐标为(2,0).(1)填空:当点P1的横坐标逐渐增大时,△P1OA1的面积将________(减小、不变、增大)(2)若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形,①求反比例函数的解析式;②求出点P2的坐标,并根据图象直接写在第一象限内,当x满足什么条件时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值.【答案】(1)减小(2)解:①如图所示,作P1B⊥OA1于点B,∵A1的坐标为(2,0),∴OA1=2,∵△P1OA1是等边三角形,∴∠P1OA1=60°,又∵P1B⊥OA1,∴OB=BA1=1,∴P1B= ,∴P1的坐标为(1,),代入反比例函数解析式可得k= ,∴反比例函数的解析式为y= ;②如图所示,过P2作P2C⊥A1A2于点C,∵△P2A1A2为等边三角形,∴∠P2A1A2=60°,设A1C=x,则P2C= x,∴点P2的坐标为(2+x, x),代入反比例函数解析式可得(2+x) x= ,解得x1= ﹣1,x2=﹣﹣1(舍去),∴OC=2+ ﹣1= +1,P2C= (﹣1)= ﹣,∴点P2的坐标为( +1,﹣),∴当1<x< +1时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解:(1)当点P1的横坐标逐渐增大时,点P1离x轴的距离变小,而OA1的长度不变,故△P1OA1的面积将减小,故答案为:减小;【分析】(1)当点P1的横坐标逐渐增大时,点P1离x轴的距离变小,而OA1的长度不变,故△P1OA1的面积将减小;(2)①由A1的坐标为(2,0),△P1OA1是等边三角形,求出P1的坐标,代入反比例函数解析式即可;②由△P2A1A2为等边三角形,求出点P2的坐标,得出结论.5.如图,Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=﹣x﹣(k+1)在第二象限的交点.AB⊥x轴于B,且S△ABO= .(1)求这两个函数的解析式;(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.【答案】(1)解:设A点坐标为(x,y),且x<0,y>0,则S△ABO= •|BO|•|BA|= •(﹣x)•y= ,∴xy=﹣3,又∵y= ,即xy=k,∴k=﹣3.∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣,y=﹣x+2;(2)解:由y=﹣x+2,令x=0,得y=2.∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为(0,2),A、C两点坐标满足∴交点A为(﹣1,3),C为(3,﹣1),∴S△AOC=S△ODA+S△ODC= OD•(|x1|+|x2|)= ×2×(3+1)=4.【解析】【分析】两解析式的k一样,根据面积计算双曲线中的k较易,由公式=2S△ABO,可求出k;(2)求交点就求两解析式联立的方程组的解,可分割△AOC为S△ODA+S△ODC,即可求出.6.如图1,经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C;与双曲线y= 相交于点A,B;直线AB与分别与x轴、y轴交于点D,E.已知点A的坐标为(﹣1,4),点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等.(1)求双曲线和抛物线的解析式;(2)计算△ABC的面积;(3)如图2,将抛物线平移至顶点在原点上时,直线AB随之平移,试判断:在y轴的负半轴上是否存在点P,使△PAB的内切圆的圆心在y轴上?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:把点A的坐标代入双曲线的解析式得:k=﹣1×4=﹣4.所以双曲线的解析式为y=﹣.设点B的坐标为(m,﹣m).∵点B在双曲线上,∴﹣m2=﹣4,解得m=2或m=﹣2.∵点B在第四象限,∴m=2.∴B(2,﹣2).将点A、B、C的坐标代入得:,解得:.∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x.(2)解:如图1,连接AC、BC.令y=0,则x2﹣3x=0,∴x=0或x=3,∴C(3,0),∵A(﹣1,4),B(2,﹣2),∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2,∵点D是直线AB与x轴的交点,∴D(1,0),∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6;(3)解:存在,理由:如图2,由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=(x﹣)2﹣,∴原抛物线的顶点坐标为(,﹣),∴抛物线向左平移个单位,再向上平移个单位,而平移前A(﹣1,4),B(2,﹣2),∴平移后点A(﹣,),B(,),∴点A关于y轴的对称点A'(,),连接A'B并延长交y轴于点P,连接AP,由对称性知,∠APE=∠BPE,∴△APB的内切圆的圆心在y轴上,∵B(,),A'(,),∴直线A'B的解析式为y=3x﹣,∴P(0,﹣).【解析】【分析】(1)首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值,然后再求得B的值,最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式,进而得出点B的坐标,最后,将点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式,求得a、b、c的值即可;(2)由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式,然后将y=0可求得点D的横坐标,最后用三角形的面积和求解即可;(3)先确定出平移后点A,B的坐标,进而求出点A关于y轴的对称点的坐标,求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标.7.如图,P1、P2是反比例函数y= (k>0)在第一象限图象上的两点,点A1的坐标为(4,0).若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形,其中点P1、P2为直角顶点.(1)求反比例函数的解析式.(2)①求P2的坐标.②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值.【答案】(1)解:过点P1作P1B⊥x轴,垂足为B ∵点A1的坐标为(4,0),△P1OA1为等腰直角三角形∴OB=2,P1B= OA1=2∴P1的坐标为(2,2)将P1的坐标代入反比例函数y= (k>0),得k=2×2=4∴反比例函数的解析式为(2)①过点P2作P2C⊥x轴,垂足为C ∵△P2A1A2为等腰直角三角形∴P2C=A1C设P2C=A1C=a,则P2的坐标为(4+a,a)将P2的坐标代入反比例函数的解析式为,得a= ,解得a1= ,a2= (舍去)∴P2的坐标为(,)②在第一象限内,当2<x<2+ 时,一次函数的函数值大于反比例函数的值.【解析】【分析】(1)先根据点A1的坐标为(4,0),△P1OA1为等腰直角三角形,求得P1的坐标,再代入反比例函数求解;(2)先根据△P2A1A2为等腰直角三角形,将P2的坐标设为(4+a,a),并代入反比例函数求得a的值,得到P2的坐标;再根据P1的横坐标和P2的横坐标,判断x的取值范围.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y= x与反比例函数y= 在第一象限内的图象相交于点A(m,3).(1)求该反比例函数的关系式;(2)将直线y= x沿y轴向上平移8个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B,连接AB,这时恰好AB⊥OA,求tan∠AOB的值;(3)在(2)的条件下,在射线OA上存在一点P,使△PAB∽△BAO,求点P的坐标.【答案】(1)解:∵点A(m,3)在直线y= x上∴3= m,∴m=3 ,∴点A(3 ,3),∵点A(3 ,3)在反比例函数y= 上,∴k=3 ×3=9 ,∴y=(2)解:直线向上平移8个单位后表达式为:y= x+8∵AB⊥OA,直线AB过点A(3 ,3)∴直线AB解析式:y=﹣ x+12,∴ x+8=﹣ x+12,∴x= .∴B(,9),∴AB=4在Rt△AOB中,OA=6,∴tan∠AOB=(3)解:∵△APB∽△ABO,∴,由(2)知,AB=4 ,OA=6即∴AP=8,∵OA=6,∴OP=14,过点A作AH⊥x轴于H∵A(3 ,3),∴OH=3 ,AH=3,在Rt△AOH中,∴tan∠AOH= = = ,∴∠AOH=30°过点P作PG⊥x轴于G,在Rt△APG中,∠POG=30°,OP=14,∴PG=7,OG=7∴P(7 ,7).【解析】【分析】(1)先确定出点A坐标,再用待定系数法求出反比例函数解析式;(2)先求出直线AB解析式,进而得出点B坐标秒即可得出结论;(3)利用相似三角形的性质得出AP,进而求出OP,再求出∠AOH=30°,最后用含30°的直角三角形的性质即可得出结论.9.如图,已知矩形OABC中,OA=3,AB=4,双曲线y= (k>0)与矩形两边AB、BC分别交于D、E,且BD=2AD(1)求k的值和点E的坐标;(2)点P是线段OC上的一个动点,是否存在点P,使∠APE=90°?若存在,求出此时点P 的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:∵AB=4,BD=2AD,∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4,∴AD= ,又∵OA=3,∴D(,3),∵点D在双曲线y= 上,∴k= ×3=4;∵四边形OABC为矩形,∴AB=OC=4,∴点E的横坐标为4.把x=4代入y= 中,得y=1,∴E(4,1);(2)解:(2)假设存在要求的点P坐标为(m,0),OP=m,CP=4﹣m.∵∠APE=90°,∴∠APO+∠EPC=90°,又∵∠APO+∠OAP=90°,∴∠EPC=∠OAP,又∵∠AOP=∠PCE=90°,∴△AOP∽△PCE,∴,∴,解得:m=1或m=3,∴存在要求的点P,坐标为(1,0)或(3,0).【解析】【分析】(1)由矩形OABC中,AB=4,BD=2AD,可得3AD=4,即可求得AD的长,然后求得点D的坐标,即可求得k的值,继而求得点E的坐标;(2)首先假设存在要求的点P坐标为(m,0),OP=m,CP=4﹣m,由∠APE=90°,易证得△AOP∽△PCE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得m的值,继而求得此时点P的坐标.10.如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x轴于点C,点A(,1)在反比例函数y= 的图象上.(1)求反比例函数y= 的表达式;(2)在x轴的负半轴上存在一点P,使得S△AOP= S△AOB,求点P的坐标;(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE.直接写出点E的坐标,并判断点E是否在该反比例函数的图象上.【答案】(1)解:∵点A(,1)在反比例函数y= 的图象上,∴k= ×1= ,∴反比例函数表达式为y= .(2)解:∵A(,1),AB⊥x轴于点C,∴OC= ,AC=1,∵OA⊥OB,OC⊥AB,∴∠A=∠COB,∴tan∠A= =tan∠COB= ,∴OC2=AC•BC,即BC=3,∴AB=4,∴S△AOB= × ×4=2 ,∴S△AOP= S△AOB= ,设点P的坐标为(m,0),∴ ×|m|×1= ,解得|m|=2 ,∵P是x轴的负半轴上的点,∴m=﹣2 ,∴点P的坐标为(﹣2 ,0)(3)解:由(2)可知tan∠COB= = = ,∴∠COB=60°,∴∠ABO=30°,∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE,∴∠OBD=60°,∴∠ABD=90°,∴BD∥x轴,在Rt△AOB中,AB=4,∠ABO=30°,∴AO=DE=2,OB=DB=2 ,且BC=3,OC= ,∴OD=DB﹣OC= ,BC﹣DE=1,∴E(﹣,﹣1),∵﹣ ×(﹣1)= ,∴点E在该反比例函数图象上【解析】【分析】(1)由点A的坐标,利用待定系数法可求得反比例函数表达式;(2)由条件可求得∠A=∠COB,利用三角函数的定义可得到OC2=AC•BC,可求得BC的长,可求得△AOB的面积,设P点坐标为(m,0),由题意可得到关于m的方程,可求得m的值;(3)由条件可求得∠ABD=90°,则BD∥x轴,由BD、DE的长,可求得E点坐标,代入反比例函数解析式进行判断即可.11.已知抛物线与轴的两个交点间的距离为2.(1)若此抛物线的对称轴为直线,请判断点(3,3)是否在此抛物线上?(2)若此抛物线的顶点为(S,t),请证明;(3)当时,求的取值范围【答案】(1)解:抛物线的对称轴为直线,且抛物线与轴的两个交点间的距离为2,可得抛物线与轴的两个交点为(0,0)和(2,0),所以抛物线的解析式为与当时,所以点(3,3)在此抛物线上 .(2)解:抛物线的顶点为,则对称轴为直线,且抛物线与轴的两个交点间的距离为2,可得抛物线与轴的两个交点为(,,0)和(,0)所以抛物线的解析式为与由得所以;(3)解:由(2)知即整理得由对称轴为直线,且二次项系数可知当时,b的随a的增大而增大当a=10时,得当a=20时,得所以当时,【解析】【分析】(1)根据已知条件得出两个交点坐标,利用待定系数法求出解析式,然后验证点(3,3)是否在这条抛物线上即可;(2)先确定对称轴为直线,再得出与x 轴的两交点坐标为(,0)和(,0),再利用待定系数法求出解析式的顶点式可得解;(3)把t=-1代入顶点坐标公式,得到二次函数解析式,根据函数的增减性分别计算a=10和20时b的值从而得解.12.请完成下面题目的证明.如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG 与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE(1)求证:直线CG为⊙O的切线;(2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH;①求证:△CBH∽△OBC;②求OH+HC的最大值.【答案】(1)证明:由题意可知:∠CAB=∠GAF,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA,∴∠OCA+∠OCB=90°,∵∠GAF=∠GCE,∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°,∵OC是⊙O的半径,∴直线CG是⊙O的切线;(2)证明:①∵CB=CH,∴∠CBH=∠CHB,∵OB=OC,∴∠CBH=∠OCB,∴△CBH∽△OBC解:②由△CBH∽△OBC可知:∵AB=8,∴BC2=HB•OC=4HB,∴HB= ,∴OH=OB-HB=∵CB=CH,∴OH+HC=当∠BOC=90°,此时BC=∵∠BOC<90°,∴0<BC<令BC=x∴OH+HC= = =当x=2时,∴OH+HC可取得最大值,最大值为5【解析】【分析】(1)由题意可知:∠CAB=∠GAF,∠GAF=∠GCE,由圆的性质可知:∠CAB=∠OCA,所以∠OCA=∠GCE,从而可证明直线CG是⊙O的切线;(2)①由于CB=CH,所以∠CBH=∠CHB,易证∠CBH=∠OCB,从而可证明△CBH∽△OBC;②由△CBH∽△OBC可知:,所以HB= ,由于BC=HC,所以OH+HC=利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值.13.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P是边AB上的一动点,连结DP.(1)若将△DAP沿DP折叠,点A落在矩形的对角线上点A′处,试求AP的长;(2)点P运动到某一时刻,过点P作直线PE交BC于点E,将△DAP与△PBE分别沿DP 与PE折叠,点A与点B分别落在点A′,B′处,若P,A′,B′三点恰好在同一直线上,且A′B′=2,试求此时AP的长;(3)当点P运动到边AB的中点处时,过点P作直线PG交BC于点G,将△DAP与△PBG 分别沿DP与PG折叠,点A与点B重合于点F处,连结CF,请求出CF的长.【答案】(1)解:①当点A落在对角线BD上时,设AP=PA′=x,在Rt△ADB中,∵AB=4,AD=3,∴BD==5,∵AB=DA′=3,∴BA′=2,在Rt△BPA′中,(4﹣x)2=x2+22,解得x=,∴AP= .②当点A落在对角线AC上时,由翻折性质可知:PD⊥AC,则有△DAP∽△ABC,∴=,∴AP=== .∴AP的长为或(2)解:①如图3中,设AP=x,则PB=4﹣x,根据折叠的性质可知:PA=PA′=x,PB=PB′=4﹣x,∵A′B′=2,∴4﹣x﹣x=2,∴x=1,∴PA=1;②如图4中,设AP=x,则PB=4﹣x,根据折叠的性质可知:PA=PA′=x,PB=PB′=4﹣x,∵A′B′=2,∴x﹣(4﹣x)=2,∴x=3,∴PA=3;综上所述,PA的长为1或3(3)解:如图5中,作FH⊥CD由H.由翻折的性质可知;AD=DF=3.BG=BF,G、F、D共线,设BG=FG=x,在Rt△GCD中,(x+3)2=42+(3﹣x)2,解得x=,∴DG=DF+FG=,CG=BC﹣BG=,∵FH∥CG,∴==,∴==,∴FH=,DH=,∴CH=4﹣=,在Rt△CFH中,CF==【解析】【分析】(1)分两种情形:①当点A落在对角线BD上时,设AP=PA′=x,构建方程即可解决问题;②当点A落在对角线AC上时,利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题;(2)分两种情形分别求解即可解决问题;(3)如图5中,作FH⊥CD由H.想办法求出FH、CH即可解决问题14.如图1,抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A,B,C,已知点A(﹣1,0),点B(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)点D为抛物线的顶点,DE⊥x轴于点E,点N是线段DE上一动点①当点N在何处时,△CAN的周长最小?②若点M(m,0)是x轴上一个动点,且∠MNC=90°,求m的取值范围.【答案】(1)解:函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),故﹣3a=﹣3,解得:a=1,故函数的表达式为:y=x2﹣2x﹣3(2)解:①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'(2,﹣3),连接AC'交DE于点N,则此时△CAN的周长最小.设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b,则:,解得:,故直线AC'的表达式为:y=﹣x﹣1,当x=1时,y=﹣2,故点N(1,﹣2);②如图2,过点C作CG⊥ED于点G.设NG=n,则NE=3﹣n.∵∠CNG+∠GCN=90°,∠CNG+∠MNE=90°,∴∠NCG=∠MNE,则tan∠NCG=n=tan∠MNE,故ME=﹣n2+3n,∴﹣1<0,故ME有最大值,当n时,ME,则m的最小值为:;如下图所示,当点N与点D重合时,m取得最大值.过C作CG⊥ED于G.∵y=x2﹣2x﹣3= y=(x-1)2﹣4,∴D(1,-4),∴CG=OE=1.∵EG=OC=3∴GD=4-3=1,∴CG=DG=1,∴∠CDG=45°.∵∠CDM=90°,∴∠EDM=45°,∴△EDM是等腰直角三角形,∴EM=ED=4,∴OM=OE+EM=1+4=5,∴m=5.故:m≤5.【解析】【分析】(1)函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即可求解;(2)①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'(2,﹣3),连接AC'交DE于点N,则此时△CAN的周长最小,即可求解;②如图2,ME=﹣n2+3n,求出ME最大值,则可求出m的最小值;当点N与点D处时,m取得最大值,求解即可.15.如图,在平面直角坐标系中抛物线交x轴于点A、B,交y轴于点C, A、B两点横坐标为-1和3,C点纵坐标为-4.(1)求抛物线的解析式;(2)动点D在第四象限且在抛物线上,当△BCD面积最大时,求D点坐标,并求△BCD 面积的最大值;(3)抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得∠QBC=45°,如果存在,求出点Q的坐标,不存在说明理由.【答案】(1)解:由图像可知:A,B,C,三点的坐标分别是(-1,0),(3,0),(0,-4),将A,B,C三点坐标代入抛物线得:,解之得:∴抛物线的解析式为:;(2)解:如图,作DH垂直AB于H,设D点坐标为(x,y),则有:OC=4,OB=3,OH=x,HD=-y,HB=3-x,∴梯形CDHO为直角梯形,∴即:又∵D点在抛物线上,∴∴当时,△BCD面积有最大值,是,∴所以D点坐标为:(,-5)(3)解:由函数关系式:化简得:,∴对称轴为:,如图示:作出对称轴,交x轴于F点,连接CB,交对称轴于E点,∴由B,C,的坐标分别是(3,0),(0,-4),设BC的函数解析式为:则:,解之得:∴BC的函数解析式为:,当时,,∴E点坐标为:(1,),∴BF=2,FE= ,∴,即:∴存在一点Q,使得∠QBC=45°,并且点Q在FE之间,设Q点坐标为:(1,)∴,,∵直线BQ和BC的交角为,∴即:化简得:,∴Q点坐标为:(1,)【解析】【分析】(1)将A,B,C三点坐标代入抛物线,即可求出;(2)作DH垂直AB于H,设D点坐标为(x,y),则有OC=4,OB=3,OH=x,HD=-y,由,,化简即可出;(3)由函数关系式:化简得对称轴为,作出对称轴,交x轴于F点,连接CB,交对称轴于E点,求出BC的函数解析式,则可以知道E点坐标为:(1,),所以存在一点Q,使得∠QBC=45°,并且点Q在FE之间,设Q点坐标为:(1,),求出线段的斜率,线段的斜率,利用两直线相交交角为,得到,化简即可。

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