.教学内容:1. 主要内容：多面体和旋转体2. 考点分析：多面体和旋转体每年必考，不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题, 也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题，近年来即使是考查空间线面位 置关系的问题，也常以几何体为依托，该部分内容不仅在选择题、填空题中考，也在解答题中 出现。
解答题在高考中一直保持中档题的水平，近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形 式，降低了起点，分散了难点，既有证明，也有计算，一般要求学生先证后算，证明严谨、清 楚，计算准确。
【典型例题】例 1.三棱锥 P —ABC ，PA =a , AB =AC =2a , N PAB =NPBC =ZBAC =60°，求这个三棱锥的体积。
分析：由题设ZPAB /PAC =60.P 在平面ABC 上的射影O 必在.BAC 的平分线上又.BAC =60，AB =AC ，可知.,<BC 是正三角形考查方向：考查三棱锥体积的常用求法。
分析一：作P 在底面上的射影O ,求PO 和丄tC 的面积1注意到 PA = —AB 且N PAB =60°分析二： 2知 PA_PB同理PB_PC ,把PBC 作为底，贝U PA 为高分析三：割法、补法解法一：（用公式法解）如图，作底面三角形顶角A 的平分线AD ，交BC 于D ，过P 点作 底面的垂线，垂足为 O ,由分析知射影 O 必在AD 上，易知△ ABC 是正三角形，AB=2a ,过 P 作PE_AB ，垂足为 E ,连 OE ,贝U OE_AB多面体和旋转体-S A BC =■- 3a在 Rt. PAE 中，.PAE =60 , PA =a6 在 Rt.POE 中，PO = .PE 2_OE 2 -a3PO解法二：(利用等积转换法解)在厶 PAB 中PA 二a , AB =2a , . PAB =60.PB 2 =a 2 (2a)2 -2 a (2a)cos60'=3a 2..PA 是直角三角形， PA_PB ，同理可证PA_PC ,又PB PC=P.PA_平面 PBC在 PBC 中，PB = PC =、,3a ，BC=2a,P B C = ■- 2a解法三：（用分割求积法解）由解法二知，PB =PC =：j 3a , D 是BC 中点，连结PD.「TC_PD ，BC_AD ，PD AD =D.BC_平面 PAD例2.如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，用一平面去截它，得截面 M2B 2C 2，且AA 2=m ，BB 2 =h 2，CC 2 =h 3,若UEC 的面积为S ，求证：1介于截面与下底面之间的几何体体积 V S （h 1 h 2 h 3）。
3-V P _ABC 二V A _PBCJs PBC PA -3 ' 3 a 3 - V P ABC =V B -PAD 'V C -PAD = 2V B -PAD BD a 3解法四：（用补形求积法解）延长 的正四面体 AP 到Q ，使PQ=a ，连结QB 、QC ，可得一个棱长为 2aV P ABC _ 1 V Q ABC2 、、2 (2a)3 — a 3 PE aAE , OE 二 AE tg30AD.V 」S(h i h 2 h 3)3证法二： 连结AB 2、B 2C ，并作BE_AC 于E；侧面AAQ j C —底面ABC.BE_平面AA i C i C ,设AC 二a , BE =h则 V =V B 2/BC ' VB 2 ^A 2ACC 2 1 1 1= -Sh 2 -[-(h i h 3)a]h3 3 21 1 1Sh ? (h 1 h 3) ah3 32考查方向：不规则几何体体积的求法分析：将不规则几何体割补成规则几何体是求其体积的基本方法。
证法一： 连结AB 2、B 2C 、CA 2，这样就把几何体ABC —A 1B 1G 分成三个三棱锥-V c 人BB 2 - V B 2^ABC Sh 2 3 VC .AA 2B 2 _ _ _1= V C^BA 2 =VA 2~ABC ■ Sh i VC 4 2B 2C 2 - V A 2 -CB 2C 2 二 V A 2-BCC 2 - V B -A 2 C 2 C _ _ _ 1 = V B -ACC 2 =VC 2-ABC Sh3V =V C _ABB 2 ■ V C _A 2B 2A ■ V C _A 2B 2C 2■ V =VC 4BB 2 ■ V C _AA 2B 2 ' V C -A 2B 2C 21 c Sg ：「h2"h3)3小结：证法一运用了“分割”和“等积变形”的方法，将所求的几何体分割成三棱锥，然后运用三棱锥的顶点与底面的轮换，使问题得到解决，证法二引入了参数，使运算得到了简化。
例3.已知圆锥外切于半径为1的球，求当圆锥体积最小时它的表面积。
考查方向：面积最值的求法。
分析：用一个变量把目标函数表示出来。
解法一：如图，作圆锥SO的轴截面，此时球的截面是该等腰三角形的内切圆连结OiB，设.SBO =2乙则.0!B0 »幕SO是圆锥的高，圆0弭勺半径是1.在Rt QiB0中，BON ctgv-ctgr在Rt SOB 中，SO = BO tg2 v - ctg 二tg2 二.圆锥SO的体积1 2V BO SO3二2 ■二一ct g v ct g tg23兀 23 tg2"1 -tg%2兀-3[（tg2—寸）2—*]0 ：：：2"二2a Ji.0 ::: v :::4-当tg即tg时，Vmin ：2 2 3此时，BO 二 2, SO =4.SB =：；BO 2 SO 2 =3.2解法二： 设C 是SB 与圆的切点，连结O !C ，设棱锥高SO = h,底半径OB = r ，母线 SB=l在 RtSOQ 中，SO 1 =h —1, O 1C =1.SC = .,(h —1)2 —1 = h 2 -2hBO 二 BC 二 r.I =SC CB 二、h 2-2h r在 Rt SOB 中，h 2 r 2 =(.h 2—2h - r)2 二(h 2 -2h) (2h -4) 43 h -2-才2(h-24 8 l 当h -2 一 ，即h = 4时，V 皿山=一门，此时r = •. 2 h -2 3I =3.2.S 全二S 底 S 侧二二r 2 二rl =8 二小结：解法一是应用二次函数求最值，解法二是用基本不等式法求最值。
例4.四面体的一条棱长是 X ，其他各条棱长都是 1。
S 全=S 侧.S 底二 r: BO2 SB 二 BO =8二十「2hn h 2 3 h -2,h-V 锥(1 )把四面体的体积 V 表示成x 的函数f(x)；(2 )求f(x)的值域；(3)求f(x)的单调区间。
考查方向：立体几何与函数的关系解：(1)如图，设 BC=x ，贝U S 到面ABC 的垂足 连OA 并延长交BC 于D ,则D 是BC 中点且AD_BC 易知 AD =2、4-乂2 , S ：，.二 C = 、4 - x $设.*BC 的外接圆半径为R ,由R a b ^4^^BC得7，sb 启1Xi 2- l V S ABC SO3 — x (0 x 叮• 3)3 12(2)f(x)诗 3-八1； x 2 (3-X 2) 2 2 r. 2 2而x ，3-x =3为定值，x 0, 3-X 0，6.当且仅当x 2 =3 -x 2即x 二6时，f(x)取得最大值 1■ f(x)的值域为(0，一］8(3)；当x 一时，f (x)取得最大值2又 0 ::: x ：： ,3'6 ■ -6 —-f (x)的递增区间是(0，-丁］，递减区间是， ■- 3) 小结：讨论函数V(x)的性质要注意变量 x 的实际意义。
例5.斜棱柱的底面是等腰三角形 ABC , AB=AC=10 , BC=12，棱柱顶点A i 到A 、B 、C 三点O 是厶ABC 的外心等距离，侧棱长是13，求它的侧面积。
解法一：取BC中点D，则BC_AD设AQ_底面ABC，则0在AD上.BC_AA i （三垂线定理）.mC_BB i.侧面B i BCC i为矩形取AB中点EA i A 二A [B.AB _A i EAE =5 | —由=A1E =12A[A =13 |S侧=12 10 2 13 12 =396C i解法二：取BC中点D，则C1" J BC _［平面ADA iA i D _BC —.EC—AA j，过B作BE_AA j于E,连CE,贝U AA , _平面BEC.2 EC为棱柱的直截面— 5等腰xJAB中，易知cosEAB =一 (13)2.s i rE A B：-320.BE =AB sinEAB = 3.S侧=（竺2 12）13=39613选题目的：熟练求斜棱柱侧面积的两种解法，旨在培养和提高计算能力，并令学生体会良好的逻辑思维能力是达到正确熟练运算的基础。
例6.如图，在半径为5cm的球面上有A、B、C三点，每两点间的距离分别是AB=6.4cm，BC=4.8cm，CA=8cm，求：（1 ）过这三点的平面与球心O的距离。
（2）B、C两点间的球面距离。
（3）过O'O的球的直径PD的端点P与厶ABC的三顶点组成的三棱锥P-ABC的侧面PBC 与底面所成的二面角。
（4）由点P和厶丁TC的外接圆组成的圆锥PO'与球O的体积比DP解: （1）；OO'_ 截面ABC在「me中4.8: 6.4：8 =6: 8: 10.A B为直角三角形，且Z A B 890■门'C =4，OC =5,贝U OO' =35 …— … ‘ 5O' MP 二arctg ，故所求二面角为 arctg2 2体的体积为VAB 、V BC 、VAC ， 那么它们的大小关系是 （2）B 、C 两点的球面距离是截面 BOC 的劣弧BC 的长在.EOC 中,cosBOC = 2 2 2OB 2 OC 2 -BC 2 2 OB OC 337625BC 为 5arccos H 7口 337 （、5 arccos （cm ）625（3M BC O'MP P — ABC PBC即B 、 C 两点的球面距离为 的平面角 1而 PO' =8cm ，O' M AB =32 cm2在 RtPO' M 中，tgO'MP = PO'O'M (4) V 圆锥 4 3 ― 4 _3 500 zv 球O =3 二5 3■：( cm 3)故V 圆锥P : V 球O '128 :8=竺二(cm 3) 32.设正方体的全面积为 1和2, 2 则这个圆台与截得它的圆锥的侧面积之比为（C. 3: 4D. 1 : 4224cm ，一个球内切于该正方体, 那么这个球的体积是（4 3 8 3 cm cm A. 3 B. 3 3. C. J6ncm 3 2cm 的圆柱形器皿中, 倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ 32 3cmD. 3量得水面的高度为 6cm ，若将这些水 A. 6(3cm B. 6cm C. 23，'18cm D. 3v72cm【模拟试题】1.圆台两底半径分别是 A. 2 : 1 B. 1 :5. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面内一点到三个侧面的距离分别为 点到三棱锥顶点的距离为 ______________ 。