N n1 110 10 R (500) 0.909 N 110
N n2 110 53 R (1000) 0.5181 110 110
二、失效率
1.定义
工作到某时刻t时尚未失效（故障）的产品，在 t时刻后单位时间内发生失效（故障）的概率,一般 记为： ，它也是时间的函数，故记为：
t2 2
2
t 2
2
t2 t2 2 2 1 e 0
R(t ) 1 F (t ) e
f (t ) t e (t ) t2 R(t ) e 2
t2 2
t
(t ) ct , t≥0, c为常数， 例2-7: 设某产品的故障率为： 求该产品的故障密度函数 f(t) 与可靠度函数R(t)。
1、可靠寿命：可靠度等于给定值R时，产品的寿命， 记作：tR 2、特征寿命: 可靠度R=e-1时，产品的寿命。记作： t e 1 可靠度R=50%时的寿命。记作：t0.5
3、中位寿命:
例2-8
若已知某产品的失效率为常数，λ(t)=λ=0.25×104h-1,可靠度函数R(t)=e-λt，试求可靠度R=99％的可靠寿 命t0.99，中位寿命t0.5和特征寿命 t e 。
解： 时间以年为单位，则：
n(t t ) n(t ) n(t ) ˆ (t ) [ N n(t )]t [ N n(t )]t
ˆ (5)
63 3 0.0309 (100 3) 1 97
例2-4： 仍然以这100个零件为研究对象，已工作了11年， 工作到10年时有10个零件失效，工作满11年时有 比工作到5 13个零件失效，则： 年的大
F (500) 1 R(500) 1 0.909 0.0909
F (1000) 1 R (1000) 1 0.5181 0.4818
例2-3 现有某种零件100个，已工作了6年，工作满5 年时共有3个失效，工作满6年时共有6个失效。试 计算这批零件工作满5年时的失效率。
第二段：偶然失效期，失效率基本保持不变， （相当中年寿命期） 失效原因:由于不能控制也不能预测的缺陷。 尽量增长第二段时间，使产品失效率低于规定值。 第三段：耗损失效期，失效率为递增型。（相 当老年寿命期） 失效原因：耗损、老化、磨损、疲劳等。 充分合理的预防性维修计划、提高维修性设计、 及时更换易损件，使失效率不高于规定值。
Nr ˆ M ( ) N
N－－开始维修的产品数 Nr－－到时刻

已修复产品数
三、维修密度
维修密度函数
dM ( ) m( ) d
四、维修率
维修时间达到某一时刻但尚未修复的产品在该时 刻后的单位时间内完成修复的概率。 记作： ( )
(tHale Waihona Puke )为革命健康工作五十年 A B
年幼体弱
年富力强 图 人类典型的健康曲线
年老体衰
t
(t )
对于较复杂的系统，未进行事前维修时，全寿 命过程的失效随时间变化，由上述三种形态的失效 率曲线组成。 第一段：早期失效期，失效率为递减型。（相当 幼儿寿命期） 失效原因：设计错误、材料及工艺缺陷 尽量缩小第一段时间，采用跑合、筛选、加载试 验等。
解： 由可靠度与故障率函数的关系可得：
R(t ) e
e
( ) d
0

t
e
ct 2 2
cd
0

t
c 2 2
t e 0
可得故障密度函数为：
f (t ) (t ) R(t )
ct 2 2
ct e
三、平均寿命
不可修复产品： 指该产品从开始使用到失效前工作时间的平 均值，记为：MTTF
P(t T t t T t ) t lim t 0 t
其观测值即为：在某时刻t以后的下一个单位 时间内失效的产品数与工作到该时刻尚未失效的 产品数之比。
2. 失效率估计值和平均失效率
设有N个产品，从t=0开始工作，到时刻t时产 品的失效数为n(t)，而到时刻(t+△t)时产品的失效 数为n(t+△t),则该产品在t时刻失效率估计值为：

ln(0.5) 27725.6 h 4 0.25 10
特征寿命
te1
ln R(te1 )

ln(e 1 ) 40000h 4 0.25 10
思考题： 已知某产品的失效率为常数，假定该产品的 可靠寿命 t ( 0.95 ) = 800 h 。问该产品工作到 8000 h时 的可靠度是多少？
可靠度特征：
• R(0)=1表示产品在开始时处于良好状态； • R(t)是时间t的单调递减函数； • 当时间t充分大时，可靠度的值趋近于零； • 无论任何时刻，可靠度的值永远介于0和1之间。
2. 不可靠度（累积失效概率）：产品在规定的条件下和 规定的时间内丧失规定功能的概率。 可表示为：F(t)＝P（T≤t） 3. 失效概率密度函数 :不可靠度函数F(t)随时间的变化率。 可表示为：f(t)，其观测值为该时刻t后单位时间内失 效的产品数与总工作产品数之比。即：
P 15页 例2-3 4. 典型的失效率曲线－－浴盆曲线
按失效率随时间变化的情况，失效率可以分为 三种类型： （1）递减型（DFR）(Decreasing Failure Rate)
机械产品早期失效过程；电子元器件未经筛选、跑 合，混有次品时的失效过程。 （2）恒定型（(CFR)(Constant Failure Rate) 由许多零部件、元器件构成的产品，在其稳定工 作期间所发生的失效。 （3）递增型（IFR）(Increasing Failure Rate) 是由耗损、老化、磨损、疲劳等原因引起的，一 般比较集中在某一段时间内发生，失效密度近似呈正 态分布。
n (t t ) n (t ) n (t ) ˆ (t ) [ N n ( t )] t [ N n ( t )] t
平均失效率是指在某一规定时间内失效率的平 均值。如（t1，t2)内失效率的平均值为：
1 (t ) t 2 t1

t2
t1
( t ) dt
1 MTTF N
t
i 1
N
i
N－－测试的产品总数； ti－－第i个产品失效前的工作时间，单位为h。
可修复产品： 指相邻两次故障间的工作时间。即平均无故 障工作时间。记为：MTBF
MTBF 1
ni
i 1
N
t
i 1 j 1
N
ni
ij
N－－测试的产品总数； ni－－第i个产品的故障数； tij－－第i个产品的第j-1次故障到第j次故障的工 作时间，单位h。
ˆ (10) 13 10 3 0.0333 (100 10) 1 90
与工作到5 年时相等
结论：
n ( t ) 13 10 ˆ 0.03 f (10) N t 100 1
λ(t)比f(t)更直观的反映了时间对产品失效可能 性的影响
例2-5: 对100件电子产品进行寿命试验，在100h前 没有失效，在100-105h内有一件失效，1000h前共 有51件失效，1000-1005h内又失效1件。试求100h 和1000h的产品失效概率密度和失效率。
例2-2: 某工厂制造了110只LED灯管，持续点亮到 500小时有10只失效，持续点亮到1000小时有53只 失效。求该LED灯管在500小时和1000小时的失效 率？
解：
N 110, n1 10, n2 53
N n1 110 10 R (500) 0.909 N 110 N n2 110 53 R (1000) 0.5181 110 110
1
t R ( t ) e 因 解：
故： R (t R ) e
tR
两边取对数，即：
ln R(t R ) t R
则可靠寿命
tR ln R ( t R )

ln(0.99) 402 h 4 0.25 10
中位寿命
t 0.5 ln R (t 0.5 )
第1节 可靠性的特征量
一、可靠度与不可靠度 二、失效率 三、平均寿命 四、寿命方差和寿命标准差 五、可靠寿命、中位寿命、特征寿命
第二章 可靠性基本理论
主要内容： 1 可靠性特征量 2 维修性特征量 3 有效性特征量
一、可靠度与不可靠度
1. 可靠度：产品在规定条件下和规定时间内完成 规定功能的概率。 可靠性与产品寿命有关，t>0的质量。 故：可靠度是时间的函数，可表示为：R=R(t)=P(T>t) 就其估计值而言是指在规定的使用条件下和规定 的时间内，无故障地发挥规定功能而工作的产品 占全部工作产品的百分率。
n (t t ) n (t ) n (t ) fˆ ( t ) N t N t
4. 三者之间的关系
F (t ) 1 R (t )
dF (t ) f (t ) t
F (t ) f (t )dt
0
t
R(t ) 1 F (t ) 1 f (t )dt f (t )dt
解： 由可靠度与故障率函数的关系可得：
R(t ) e t
利用：t ( 0.95 ) = 800 h，推出λ： 1 1 ln t R 再依据： R (t ) e t , 求出R(8000)
可靠性特征量关系图 P18 表2-1
第 2 节 维修性特征量
一、概述 二、维修度 三、维修密度 四、修复率
当产品总体的失效密度函数f(t)已知，N→∞时，
E ( T ) tf ( t ) dt 产品的平均寿命： 0 0 R(t )dt