【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与函数概念新人教版必修11.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用.自 主 预 习1.元素与集合的相关概念.统称为元素研究对象我们把，元素：一般地(1) .组成的总体叫做集合一些元素把集合：(2) .、无序性互异性、确定性集合中元素的三个特性：(3) .我们称这两个集合是相等的，一样的集合的相等：构成两集合的元素是(4) 2.元素与集合的表示.表示集合中的元素…，c ，b ，a 元素的表示：通常用小写拉丁字母(1) .表示集合…，C ，B ，A 集合的表示：通常用大写拉丁字母(2) 3.元素与集合的关系.A ∈a 记作，A 属于集合a 就说，的元素A 是集合a ：如果”属于(1)“ .A ∉a 记作，A 不属于集合a 就说，的元素A 不是集合a ：如果”不属于(2)“ 4.常用数集及表示符号数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或 N ＋ZQR即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( )(2)一个集合可以表示成{a ，a ，b ，c ，}.( )(3)若集合A 是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A 中的元素.( )提示 (1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确.(2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错误.(3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确.答案 (1)√ (2)× (3)√2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体著名的数学家.其中能构成集合的个数为( )A.1B.2C.3D.4 解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合.答案 B3.下列关系正确的是( ).Z ∉2－④；R ∉12③；Q ∈2②；N ∈0① A.③④B.①③C.②④D.① 12∴，是实数12∵，不正确③；Q ∉2∴，是无理数2∵，不正确②；N ∈0∴，是自然数0∵，正确① 解析∈R ；④不正确，∵－2是整数，∴－2∈Z .答案 D4.若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”“∉”).解析 集合A 与集合B 相等，则A 、B 两集合的元素完全相同，又1∈A ，故1∈B .答案 ∈类型一 集合的含义【例1】 下列各组对象不能组成集合的是( )A.著名的中国数学家B.北京四中2015级新生C.全体奇数D.2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目解析 根据集合元素的确定性来判断是否能组成集合，因为B ，C ，D 中所给的对象都是确定的，从而可以组成集合；而A 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能组成集合. 答案 A规律方法 判断一组对象组成集合的依据及切入点(1)依据：元素的确定性是判断的依据.判断一组对象能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每个对象是否确定，如果考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合.(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.【训练1】 判断下列对象能否组成集合：(1)数学必修1课本中所有的难题；(2)本班16岁以下的同学；在实数范围内的解；0＝4－2x 方程(3) .的近似值的全体2(4) 解 (1)中难题的标准不确定，不能组成集合.(2)本班16岁以下的同学是确定的，明确的，能组成集合..故能组成一个集合，±2即，在实数范围内的解有两个0＝4－2x 方程(3) 故不能组成一，是不是它的近似值2)比如(因此很难判定一个数，不明确精确到哪一位”的近似值2(4)“个集合.类型二 元素与集合的关系【例2】(1)(2016·泰安高一检测)下列所给关系正确的个数是( ).*N 4|∉－④|；*N ③0∈；Q ∉3②；R ①π∈ A.1B.2C.3D.4 ________.中的元素为A 则集合，N ∈x ，N ∈63－x满足x 中的元素A 集中)连云港高一检测(2)(2016· .不正确③，正确①②④，的含义知)正整数集(*N 、)有理数集(Q 、)实数集(R 由(1) 解析 2.，1，0＝x ∴，N ∈x 又6.，3，2，1＝x －3所以，的正整数倍x －3是6则，N ∈63－x由(2) 答案 (1)C (2)0，1，2规律方法 (1)判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.(2)判断元素与集合关系主要有两种方法：①直接法(当集合中元素直接给出时)，②推理法，对一些没有直接给出元素的集合，常用推理法判断元素是否具有集合中元素所具有的特征.【训练2】 设不等式2x －3>0的解集为M ，下列表示正确的是( )A.0∈M ，2∈MB.0∉M ，2∈MC.0∈M ，2∉MD.0∉M ，2∉M 解析 因为2×0－3＝－3<0，所以0不是M 的元素，0∉M .又2×2－3＝1>0.所以2是不等式2x －3>0的解集中元素，2∈M .答案 B类型三 集合中元素的特性及应用(互动探究)________.的值为a 则实数，A 0∈且，1－2a ，1＋a 中含有两个元素A 已知集合】3例【 [思路探究]揭示二者满足什么关系？，中的两个元素A 是1－2a ，1＋a 探究点一 1.－2a 1≠＋a ，根据集合元素的互异性 提示 间有什么关系？1－2a ，1＋a 中的两元素A 与，A 0∈ 探究点二 0.＝1－2a 或0＝1＋a 应有，根据元素与集合间的从属关系 提示 1.－2a ＝0或1＋a ＝0所以，A 0∈因为 解 .不符合题意，中元素重复A ，0＝1－2a 此时，1＝－a ，时1＋a ＝0当 .意符合题，0}，{2＝A ，此时1.＝a 所以，)舍1(＝－a ，±1＝a ，时0＝1－2a 当 答案 1规律方法 (1)由于A 中含有两个元素，0∈A ，本题以0是否等于a ＋1为标准分类，从而做到不重不漏.(2)对于集合中元素含有参数的问题，要根据集合中元素的确定性，解出参数的所有可能值或范围，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.改”A ∈0，“1”－a 2和3－a “改为1”－2a 1”“＋a “中元素A 本例若将集合) 变换条件(】1迁移探究【为“－3∈A ”，则实数a 的取值是什么？ 解 ∵－3∈A ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1，若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意.若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.【迁移探究2】(变换条件) 本例中，若去掉条件“0∈A ”，其他条件不变，试求实数a 的取值.，1－2a 1≠＋a ，由集合元素的互异性 解 ，1)≠0＋a 2)(－a (即，2≠0－a －2a 所以 因此a ≠2且a ≠－1.[课堂小结]1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定.若元素不确定，则不能构成集合.集合中的元素是确定的，某一元素a 要么满足a ∈A ，要么满足a ∉A ，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.2.对符号∈和∉的两点说明(1)符号∈和∉刻画的是元素与集合之间的关系，不可表示元素与元素，集合与集合之间的关系.(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合.3.集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1.下列各选项中的对象可组成一个集合的是( )A.一切很大的数B.我校高一学生中的女生C.中国漂亮的工艺品D.美国NBA 的篮球明星解析 A 、C 、D 中对象不具有确定性，不能构成集合.答案 B)(中元素的个数为M 则，M 的解为元素组成集合0＝2－x －2x 和0＝3－x 2－2x 若以方程2. A.1B.2C.3D.4 2.＝4x ，1－＝3x 的解是0＝2－x －2x 方程，3＝2x ，1＝－1x 的解是0＝3－x 2－2x 因为方程 解析 所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素.答案 C3.已知集合A 中只含有一个元素1，若|b |∈A ，则b ＝________.解析 由题意可知|b |＝1，∴b ＝±1.答案 ±14.已知集合M 有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，求实数a 的值.解 ∵M 中有两个元素，3和a ＋1，且4∈M ，∴4＝a ＋1，解得a ＝3.即实数a 的值为3.基 础 过 关1.下列各对象可以组成集合的是( )A.中国著名的科学家B.感动中国2016十大人物C.高速公路上接近限速速度行驶的车辆D.中国最美的乡村解析 看一组对象是否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的，A ，C ，D 选项没有一个明确的判定标准，只有B 选项判断标准明确，可以构成集合.答案 B) (的取值可以是x 则实数，中含有两个元素A 组成一个集合|x 2|，2x 由2. A.0B.－2C.8D.2 解析 根据集合中元素的互异性，验证可知x 的取值可以是8.答案 C3.下列正确的命题的个数有( ).Z ∉42⑤；R ∉2＋④2；Q ∈12③；*N ∈2②；N ∈1① A.1B.2C.3D.4 解析 ∵1是自然数，∴1∈N ，故①正确； 不正确；②故，*N ∉2∴，不是正整数2∵ 正确；③故，Q ∈12∴，是有理数12∵ 不正确；④所以，R ∈2＋2∴，是实数2＋2∵ .不正确⑤故，Z ∈42∴，是整数2＝42∵ 答案 B________.＝b ＋a 则，b ，a 中的元素是A 若集合，相等A 的解集与集合0＝4－x 3－2x 方程4. ，4和1的两根分别是－0＝3－x 3－2x 方程 解析 由题意可知，a ＋b ＝3.答案 35.(2016·成都高一检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a＝________.解析 因为x ∈N ，且2<x <a .又集合P 中恰有三个元素，结合数轴a ＝6.答案 6.x 2－2x ，x ，3中含有三个元素A 设集合6. (1)求实数x 应满足的条件；(2)若－2∈A ，求实数x .解 (1)由集合中元素的互异性可得 ，≠3x 2－2x ，x ≠x 2－2x 且3≠x 解得x ≠－1且x ≠0且x ≠3.2.＝－x 2－2x 或2＝－x 则，A 2∈若－(2) ，1－1≥－21)－x (＝x 2－2x 由于 ，2－≠x 2－2x 则 所以x ＝－2.7.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？ 解 因为当a ＝0时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为1，2，6；当a ＝2时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为3，4，8； 当a ＝5时，b 依次取1，2，6，得a ＋b 的值分别为6，7，11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1，2，3，4，6，7，8，11共8个..的值a 求实数，A 3∈且－，组成的12，a 5＋2a 2，2－a 是由三个元素A 已知集合8. ，a 5＋2a 2＝3或－2－a ＝3－，∴A 3∈－∵ 解 .32＝－a 或1＝－a ∴ ，3＝－a 5＋2a 2，3＝－2－a ，时1＝－a 当 不符合集合中元素的互异性，故舍去..符合题意，3＝－a 5＋2a 2，72＝－2－a ，时32＝－a 当 .32＝－a ，综上可知 能 力 提 升)(的取值可以是a 则实数，个元素3中含有A ，A 组成一个集合4，a －2，2a 由9. A.1B.－2C.6D.2 .正确C ，将选项中的数值代入验证，互不相等4，a －2，2a 即，个元素3中含有A 因 解析 答案 C10.集合A 中的元素为全部小于1的数，则有( )A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－3∉A 解析 由于集合A 中的元素为全部小于1的数，故3∉A ，1∉A ，0∈A ，－3∈A ，故只有C 正确.答案 CQ与集合P 若集合，2a ，1含有两个元素Q 集合，2，1中含有两个元素P 若集合)金华高一检测2016·11.(相等，则a ＝________.，Q ＝P 又，2a ，1含有两个元素Q ；集合2，1中含有两元素P ∵ 解析 ≠±1.a 且2±＝a 解之得，1≠2a 且，2＝2a ∴ 2± 答案 12.集合A 中含有三个元素2，4，6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为________.解析 若a ＝2，则6－2＝4∈A ；若a ＝4，则6－4＝2∈A ；若a ＝6，则6－6＝0∉A .答案 2或4.的值k 试求实数，只有一个元素A 的根组成的集合0＝16＋x 8－2kx 已知由方程13. 解 当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0，所以x ＝2，此时集合A 中只有一个元素2.实根，只有一个0＝16＋x 8－2kx 要使一元二次方程，时≠0k 当 需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.4.中只有一个元素A 集合，4＝2x ＝1x 此时方程的解为 综上可知k ＝0或1.探 究 创 新≠1).a (A ∈11－a则，A ∈a 条件：若且满足，为实数集A 设14. 求证：(1)若2∈A ，则A 中必有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集. .A ∈11－a则，A ∈a 若(1) 证明 .A 1∈＝－11－2所以，A 2∈又因为 .A ∈12＝11－（－1）所以，A 1∈因为－ .A 2∈＝11－12所以，A ∈12因为 .12，1分别为－，中必有另外两个元素A 所以 ，11－a＝a 则，为单元素集A 若(2) .而方程无解，0＝1＋a －2a 即 ，11－a≠a 所以 所以A 不可能为单元素集.第2课时 集合的表示目标定位 1.理解集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.自 主 预 习1.列举法.括起来表示集合的方法叫做列举法“{}”并用花括号，来出一一列举把集合的元素 满足元素的互异性和元素的无(2)；}n a ，…，2a ，1a {其一般形式为，分隔开，”“元素间用(1)温馨提示：序性. 2.描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.在竖，再画一条竖线，范围)或变化(取值及一般符号具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的(2).公共特征集合中元素所具有的线后写出这个 即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数集可以写成{实数}，也可以写成{实数集}或{全体实数}.( )(2)集合{x |x >3}与集合{t |t >3}表示同一个集合.( )(3)集合A ＝{(1，2)，(0，3)}中共有4个元素.( )提示 (1)不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思.(2)虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合.(3)集合A 是由坐标平面上的点构成的集合，A 中只有2个元素.答案 (1)× (2)√ (3)×2.已知A ＝{x |3－3x >0}，则有( )A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－1∉A 解析 A ＝{x |3－3x >0}＝{x |x <1}，所以0∈A .答案 C)(为0}＝1＋x 2－2x |x {用列举法表示集合3. A.{1，1}B.{1} 1}＝x C.{0}＝1＋x 2－2x {.D {1}.的解集为0＝1＋x 2－2x 故方程，1＝2x ＝1x 所以，0＝21)－x (可化简为0＝1＋x 2－2x 方程 解析 答案 B4.平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合可表示为{(x ，y )|________}.解析 平面直角坐标系中第一象限的点满足横、纵坐标都大于0，即x >0，y >0，故第一象限的点组成的集合可表示为{(x ，y )|x >0，y >0}.答案 x >0，y >0类型一 用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合： (1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合.解 (1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}； (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4，2，所求集合为{4，2}；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫75，25.规律方法 1.本例(2)在求解中易出现{4，4，2}的错误表示；本例(3)在求解时易出现⎩⎨⎧⎭⎬⎫75，25的错误.2.用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么.如本例(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }. 【训练1】用列举法表示下列集合： (1)小于10的正偶数组成的集合；(2)方程x (x 2－1)＝0的所有实数根组成的集合； (3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合.解 (1)小于10的正偶数有2，4，6，8，所求集合为{2，4，6，8}.(2)方程x (x 2－1)＝0的根为0，±1，所求集合为{0，－1，1}.(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合为{(1，1)}.类型二 用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： (1)使y ＝1x2＋x －6有意义的实数x 的集合；(2)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象上所有点的集合； (3)方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0(m ∈Z )的解集. 解 (1)要使y ＝1x2＋x －6有意义，则x 2＋x －6≠0，即x ≠2且x ≠－3，故可写成{x ∈R |x ≠2且x ≠－3}.(2)易知集合可写成{(x ，y )|y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0，x ∈R }. (3)易知集合可写成{x |x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋1＝0，m ∈Z ，x ∈R }.规律方法 1.描述法表示集合的两个步骤：①写出代表元素，明确代表元素含义，注意区别数集与点集.②明确元素的特征，并将集合中元素所具有的公共特征写在竖线的后面.2.描述法表示集合，注意三点：①所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }；②不能出现未被说明的字母；③在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围务必说明，如果省略不写，则默认x ∈R .【训练2】 用描述法表示下列集合：(1)满足不等式3x ＋2>2x ＋1的实数x 组成的集合； (2)坐标平面上第一、三象限内点的集合； (3)所有正奇数组成的集合.解 (1){x |3x ＋2>2x ＋1}＝{x |x >－1}. (2){(x ，y )|xy >0，且x ，y ∈R }. (3){x |x ＝2k －1，k ∈N *}.类型三 集合表示方法的应用(互动探究)【例3】已知f (x )＝x 2－ax ＋b (a ，b ∈R )，A ＝{x ∈R |f (x )－x ＝0}，B ＝{x ∈R |f (x )－ax ＝0}，若A ＝{1，－3}，试用列举法表示集合B . [思路探究]探究点一 如何利用条件首先确定函数f (x )的解析式？提示 根据A ＝{1，－3}，进而由根与系数的关系确定f (x )－x ＝0中的a ，b . 探究点二 怎样用列举法表示出集合B?提示 解出方程f (x )－ax ＝0的实根，确定集合B .解 ∵f (x )－x ＝0，即x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0，又集合A ＝{1，－3}，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋（－3）＝a ＋1，1×（－3）＝b. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3，所以f (x )＝x 2＋3x －3.f (x )－ax ＝0，亦即x 2＋6x －3＝0，解得x ＝－3±23.因此B ＝{x |x 2＋6x －3＝0}＝{－3－23，－3＋23}.规律方法 1.(1)已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键.(2)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.2.对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素(或元素个数)，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题，但必要时要注意讨论.【训练3】 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}，若集合A 中有两个元素，求实数a 取值范围的集合. 解 若A 中有两个元素，则一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0 有两个不等的实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3）2－8a>0，a≠0，解得a <98，且a ≠0.因此实数a 取值范围的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a<98，且a≠0.[课堂小结] 1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式. (2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.集合{x |－3≤x ≤3，x ∈N }用列举法表示应是( )A.{1，2，3}B.{0，1，2，3}C.{－2，－1，0，1，2}D.{－3，－2，－1，0，1，2，3}解析 由－3≤x ≤3，x ∈N ，∴x ＝0，1，2，3，则B ＝{0，1，2，3}.答案 B2.集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}表示( )A.方程y ＝2x ＋3B.点(x ，y )C.函数y ＝2x ＋3图象上的所有点组成的集合D.平面直角坐标系中的所有点组成的集合解析 集合{(x ，y )|y ＝2x ＋3}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x ＋3，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合.答案 C3.设A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，若集合A 与集合B 相等，则a ＋b ＝________.解析由于{4，a}＝{2，ab}，所以a＝2且ab＝4，从而a＝2，且b＝2，所以a＋b＝4.答案44.用适当的方法表法下列集合：(1)已知集合P＝{x|x＝2n，0≤n≤2，且n∈N}；(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.解(1)用列举法表示为P＝{0，2，4}.(2)可用列举法表示为{6，9，12}；也可用描述法表示为{x|x＝3n，4<x<15，且n∈N}.基 础 过 关)(的解集是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1方程组.1A.{x ＝1，y ＝1}B.{1}C.{(1，1)}D.(1，1) 解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 不是集合的形式，排除D.答案 C2.下列各组集合中，表示同一集合的是( )A.M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)}B.M ＝{3，2}，N ＝{2，3}C.M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D.M ＝{(3，2)}，N ＝{3，2}解析 A 中集合M ，N 表示的都是点集，而(3，2)与(2，3)是两不同的点，所以表示不同的集合；B 中根据两集合相等的定义知表示同一集合；C 中集合M 表示直线x ＋y ＝1上的点，而集合N 表示直线x ＋y ＝1上点的纵坐标，所以是不同集合；D 中的集合M 表示点集，N 表示数集，所以是不同集合.答案 B3.由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( )A.{x |－3<x <11，x ∈Q }B.{x |－3<x <11，x ∈R }C.{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈N }D.{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈Z }解析 {x |x ＝2k ，k ∈Z }表示所有偶数组成的集合.由－3<x <11及x ＝2k ，k ∈Z ，可限定集合中元素.答案 D4.点(2，11)与集合{(x ，y )|y ＝x ＋9}之间的关系为________.解析 ∵11＝2＋9，∴(2，11)∈{(x ，y )|y ＝x ＋9}. 答案 (2，11)∈{(x ，y )|y ＝x ＋9}5.下列集合中，不同于另外三个集合的是________. ④{1}；1}＝x ③{；0}＝21)－y |(y ②{；1}＝x |x {① 所以，组成的集合1＝x 表示由方程}1＝x {而集合，{1}＝0}＝21)－y |(y {＝1}＝x |x {由集合的含义知 解析答案为③. 答案 ③6.用描述法表示下列集合：的所有实数根组成的集合；0＝3)－x 2－2x (x 由方程(1) (2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.0}.＝3)－x 2－2x (x |x {用描述法表示为(1) 解 (2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故可以用描述法表示该集合为{x ∈Q |2<x <6}.(3)用描述法表示该集合为{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }. }.Z ∈x 且，≤1x 1≤－，2x ＝y |)y ，x {(＝A 用列举法表示集合7. 解 由－1≤x ≤1且x ∈Z ，得x ＝－1，0，1，当x ＝－1时，y ＝1， 当x ＝0时，y ＝0， 当x ＝1时，y ＝1，∴A ＝{(－1，1)，(0，0)，(1，1)}.8.设集合A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，若a ∈A ，b ∈B ，试判断a ＋b 与集合A ，B 的关系.1.＋)2k ＋1k 2(＝b ＋a 所以，)Z ∈2k 1(＋2k 2＝b 则，B ∈b ；)Z ∈1k (1k 2＝a 则，A ∈a 因为 解 ，为偶数)2k ＋1k 2(为整数，2k ＋1k 又 .A ∉b ＋a 且B ∈b ＋a 所以，必为奇数1＋)2k ＋1k 2(故 能 力 提 升9.集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，x ∈N ，y ∈N }中元素的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵x ∈N ，y ∈N ，且x ＋y ≤1，∴当x ＝0时，y ＝0或1；当x ＝1时，y ＝0.故A ＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}.答案 C10.(2016·德州高一检测)用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A.{－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}B.{(x ，y )|－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}C.{(x ，y )|－2≤x ≤0且－2≤y <0}D.{(x ，y )|－2≤x <0或－2≤y ≤0}解析 由阴影知，－2≤x ≤0且－2≤y ≤0，∴集合{(x ，y )|－2≤x ≤0，且－2≤y ≤0}表示阴影部分点的集合. 答案 B11.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A ，且a ∈B ，则a 为________.解析 集合A ，B 都表示直线上点的集合，a ∈A 表示a 是直线y ＝2x ＋1上的点，a ∈B 表示a 是直线y ＝x ＋3上的点，所以a 是直线y ＝2x ＋1与y ＝x ＋3的交点，即a 为(2，5).答案 (2，5)12.下列命题中正确的是________(只填序号).2)－x (21)－x (方程③；1}，2，{3或3}，2，{1组成的集合可表示为3，2，1由②表示同一集合；{0}与0①＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |2<x <5}可以用列举法表示.解析 对于①，0表示元素与{0}不同，对于③不满足集合中元素的互异性，故不正确，对于④无法用列举法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的.答案 ②13.用列举法表示下列集合：(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；.的所有值组成的集合)0≠b ，≠0a (|b|b＋|a|a 式子(2) 解 (1)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：{3，5，7}.(2)∵a ≠0，b ≠0，∴a 与b 可能同号也可能异号，故；2＝|b|b＋|a|a ，时>0b ，>0a 当① ；2＝－|b|b＋|a|a ，时<0b ，<0a 当② ③当a >0，b <0或a <0，b >0时，|a|a2}.，0，2－{故所有的值组成的集合为0.＝|b|b ＋探 究 创 新14.(2014·福建高考改编)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，试写出所有符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d ).解 若只有①对，即a ＝1，则b ≠1不正确，所以b ＝1，与集合元素互异性矛盾，不符合题意.若只有②对，则有序数组为(3，2，1，4)，(2，3，1，4)；若只有③对，则有序数组为(3，1，2，4)；若只有④对，则有序数组为(2，1，4，3)，(3，1，4，2)，(4，1，3，2).1.1.2 集合间的基本关系目标定位 1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.理解子集、真子集的概念，会写出给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.自 主 预 习1.子集和真子集的概念类别文字语言图形语言符号表示子集集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就说两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集A ⊆B 或B ⊇A 真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，称集合A 是集合B 的真子集A B 和B A 么区别：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系. 2.集合相等若A ⊆B 且B ⊆A ，则集合A ＝B . 3.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集. (2)空集用符号表示为：∅. (3)规定：空集是任何集合的子集.温馨提示：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合，∅为不含任何元素的集合，{∅}为含有一个元素∅的集合. 4.子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C .即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集是任何集合的真子集.( )(2)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}.( )(3)已知A ＝B ，A ＝{1，2，3}，B ＝{x ，y ，3}，则x ＝1，y ＝2.( )(4)对于集合A ，B ，C ，由A ⊆B ，B ⊆C ，可得A ⊆C .( )提示 (1)错，空集是任何非空集合的真子集.(2)错，∅也是集合{0，1}的子集. (3)错，x ＝1，y ＝2或x ＝2，y ＝1. (4)对，由集合的包含关系可得. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.集合{1，2}的真子集有( )A.4个B.3个C.2个D.1个 解析 集合{1，2}的真子集有∅，{1}，{2}共3个.答案 B3.设集合M ＝{x |x >－1}，则下列选项正确的是( )A.{0}⊆MB.{0}∈MC.∅∈MD.0⊆M 解析 选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误.答案 A4.已知集合A ＝{2，9}，集合B ＝{1－m ，9}，且A ＝B ，则实数m ＝________.解析 因为A ＝B ，所以1－m ＝2，所以m ＝－1.答案 －1类型一 有限集合的子集问题【例1】 已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集.解 ∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.∴A 的子集有：∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.规律方法 1.本题在求解中，常因没把握住集合A 的含义而把集合A 表达为{0，1，2}，究其原因是没有看清集合A 的代表元素为点集，而非数集.2.(1)写一个集合的子集时，常按不含元素，含1个元素，含2个元素……依次类推，按规律书写.(2)一般.个2－n 2非空真子集有，个1－n 2真子集有，个n 2有则其子集，个元素n 中有A 若集合，地【训练1】 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x A }，求集合B .解 由题意可知，集合B 的元素是集合A 的所有真子集，故B ＝{∅，{1}，{2}}.类型二 集合间关系的判断【例2】 (1)下列关系中，正确的个数是( )①0∈{0}；②∅{0}；③{0，1}{(0，1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )} A.1B.2C.3D.4 )(等于a －b 则，⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ＝}a ，b ＋a ，{1集合，R ∈b ，a 设(2) A.1B.－1C.2D.－2 解析 (1)对于①，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于②，由于空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}正确；对于③，{0，1}是数集，{(0，1)}是点集，所以③错误；对于④，{(a ，b )}与{(b ，a )}是不同的点集，所以④错误.C.故选2.＝a －b 故1.＝－a ，1＝b 所以，1＝－b a所以，0＝b ＋a 所以，≠0a 因为(2) 答案 (1)B (2)C规律方法 (1)集合间关系的判断有两种方法：(1)用定义判断：①判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集；②判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；③若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B .(2)数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍..的关系B 和A 试判断集合，7>0}＋x |2x {＝B ，0}＝6－x ＋2x |x {＝A 集合 】2训练【 .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x>－72＝B ，2}，3－{＝A 解 ，B ⊆A ，∴B ∈2，B 3∈－，∴72－2>，72－3>－∵ 又0∈B ，但0∉A ，∴A B .类型三 由集合间关系求参数问题(互动探究)【例3】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围.[思路探究]？∅≠B 是否满足B 集合，A ⊆B 探究点一 提示 不能，因为集合B 中的元素不确定，有B ＝∅和B ≠∅两种情况.应满足什么条件？m ，A ⊆B ，∅≠B 若 探究点二 ⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m－6，m －6≤2m－1，2m －1≤5，应满足m ，根据子集定义 提示 解 (1)B ＝∅时，有m －6>2m －1，则m <－5，此时B ⊆A 成立..∅不等式组解集为⎩⎪⎨⎪⎧m≥4，m≥－5，m≤3.⇔⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m－6，m －6≤2m－1，2m －1≤5此时满足，A ⊆B ，时∅≠B 当(2) 由(1)(2)知，实数m 的取值范围是{m |m <－5}.规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合；(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.【迁移探究1】 (变换条件) 本例中若将“B ⊆A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围.⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，所以，题设条件B ⊆A 由 解 ≤4}.m |3≤m {的取值范围是m 所以≤4.m 3≤故⎩⎪⎨⎪⎧m>－5，m≤4，m≥3，解得 【迁移探究2】(变换条件) 本例中若将“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |x <2或x >5}”，其余条件不变，求实数m 的取值范围.解 (1)当B ＝∅时，m －6>2m －1， 则m <－5，此时满足条件B ⊆A .(2)当B ≠∅时，B ⊆A ，⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m－1，m －6>5.或⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m－1，2m －1<－2则，知(2)，(1)综合>11.m 或12－<m 5≤解之得－。