绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是A.ad －bc =0B.ac －bd =0C. ac +bd =0D.ad +bc =0 (2)在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于A.40B.42C.43D.45(3)已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于A.71 B.7 C.－ 71D.－7 (4)已知全集U =R,且A=｛x ︱︱x －1︱>2｝,B =｛x ︱x 2－6x +8<0｝，则(UA )∩等于A.[－1,4]B. (2,3)C. (2,3)D.(－1,4)(5)已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于 A.22 B.332 C.324 D.334 (6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于A.72 B.83 C.73 D.289 (7)对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是A.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC.若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD.若m 、n 与α所成的角相等，则n ∥m (8)函数y=㏒21-x x(x ﹥1)的反函数是 A.y =122-x x (x >0) B.y = 122-x x(x <0)C.y =x x 212- (x >0)D. .y =xx 212- (x <0) (9)已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于A.32 B.23C.2D.3(10)已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2)C.[2,+∞]D.(2,+∞)(11)已知︱︱=1，︱︱=3,∙=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC =m OA +n OB (m 、n ∈R )，则nm等于 A.31 B.3 C.33 D.3 (12)对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.(13)(x 2－x1)2展开式中x 2的系数是 (用数字作答) (14)已知直线x －y －1=0与抛物线y =ax 2相切，则a=(15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 （16）如图，连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A 1B 1C 1，又连结的△A 1B 1C 1各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC ，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，…，这一系列三角形趋向于一个点M ，已知A (0,0) ,B (3,0),C (2,2)，则点M 的坐标是 .二、 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）已知函数f (x )=sin 2x +3x cos x +2cos 2x ,x ∈R.（I ）求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？（18）（本小题满分12分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离.（19）（本小题满分12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：y =880312800012+-x x (0<x ≤120).已知甲、乙两地相距100千米。
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ （20）（本小题满分12分）已知椭圆1222=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.（21）（本小题满分12分） 已知函数f (x )=－x 2+8x,g (x )=6ln x+m（Ⅰ）求f (x )在区间[t ,t +1]上的最大值h (t );（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。
（22）（本小题满分14分） 已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a 1+n =2a n +1(n ∈N *) （Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足4k1-14k2-1…4k-1=(a n +1)km (n ∈N *),证明:{b n }是等差数列; （Ⅲ）证明:231213221na a a a a a n n n ＜＜++⋯++-(n ∈N *). 数学试题(理工农医类)参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分. (1)D (2)B (3)A (4)C (5)D (6)A (7)C (8)A (9)B (10)C (11)B (12)B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分. (13)10 (14)41 (15)94 (16)(32,35) 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)本小题主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本识，以及推理和运算能力，满分12分. 解:（1）f(x)=)2cos 1(2sin 2322cos 1x x x +++- =232cos 212sin 23++x x =sin(2x++)6π23. ∴f(x)的最小正周期T=22π=π.由题意得2k π-2π≤2x+6π,k ∈Z,∴f(x)的单调增区间为［k π-3π］,k ∈Z.(2)方法一：先把y=sin 2x 图象上所有的点向左平移12π个单位长度，得到y=sin(2x+6π)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移23个单位年度，就得到y=sin(2x+6π)+23的图象.方法二：把y=sin 2x 图象上所有的点按向量a=(-32,12π)平移，就得到y=sin(2x+6π)+23的图象. (18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.方法一:(1)证明：连结OC.∵BO=DO,AB=AD, ∴AO ⊥BD. ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO ⊥BD.在△AOC 中，由已知可得AO=1,CO=3. 而AC=2,∴AO 2+CO 2=AC 2, ∴∠AOC=90°,即AO ⊥OC.,0=OC BD∴AB ⊥平面BCD .（Ⅱ）解：取AC 的中点M ,连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ,OE ∥DC . ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角. 在△OME 中，,121,2221====DC OE AB EM OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴,121==AC OM ∴,42cos =∠OEA ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.42arccos （Ⅲ）解：设点E 到平面ACD 的距离为h .CD E A ACD A V V --- ,∴h 31·S △ACD =31·AO ·S △CDE . 在△ACD 中，CA =CD =2,AD =2,∴S △ACD =,2722222132=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯ 而AO =1, S △CDE =,23243212=⨯⨯ ∴h =,72127231=⨯=∙∆∆ACDCDES S AO∴点E 到平面ACD 的距离为721. 方法二：（Ⅰ）同方法一：（Ⅱ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (-1，0，0)， C (0，3，0)，A (0,0,1),E (21,23,0),).0,3,1(),1,0,1(--=-=CD BA∴,42=∙=CD BA∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.42arccos（Ⅲ）解：设平面ACD 的法向量为n =(x,y,z ),则⎪⎩⎪⎨⎧=-∙=∙=--∙=∙,0)1,3,0(),,(,0)1,0,1(),,(z y x n z y x n ∴⎩⎨⎧=-=+.03,0z y z x令y=1，得n=(-3,1,3)是平面ACD 的一个法向量.又),0,23,21(-= ∴点E 到平面ACD 的距离 h=.72173|||·|==n n EC(19)本小题主要考查函数，导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分12分.解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=小时, 要耗油()(5.175.28408034012800013升）=⨯+⨯-⨯.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. (2)当速度为x 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了,100小时x设耗油量为h(x)升，衣题意得 h(x)=(880312800013+-x x )·)1200(415800128011002＜＜x x x x -+=,h’(x)=233264080800640xx x x -=-(0＜x ≤120＝ 令h’(x)=0，得x=80.当x ∈(0,80)时，h’(x)＜0,h(x)是减函数; 当x ∈(80,120)时，h’(x)＞0,h(x)是增函数. ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. (20)本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法， 考查运算能力和综合能力.满分12分.解(1) ∵a 2=2,b 2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2. ∵圆过点O 、F. ∴圆心M 在直线x=-.21上 设M(-t ,21),则圆半径 r=|(-21)-(-2)|=23.由|OM|=r,得.23)21(22=+-t解得t=±2,∴所求圆的方程为(x+21)2+(y ±2) 2=49. (2)设直线AB 的方程为y=k(x+1)(k ≠0),代入22x +y 2=1,整理得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F, ∴方程有两个不等实根.记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点N(x 0,y 0),则x 1+x 1=-,12422+k k x 0=,12)1(122)(212002221+=+=∙+-=+k k x k y k k x x∴AB 垂直平分线NG 的方程为).(100x x ky y --=- 令y =0，得.241211212122222222200++-=+-=+-++-=+=k k k k k k k ky x x C∵.021,00<<-∴≠x k∴点G 横坐标的取值范围为（0,21-）。