定积分不有等式、积分平均值定理、积分第二中值定理（连续可微情形）的证明
简单不等式
定理1、设)(x f 在[]b a ,上可积，且0)(≥x f ，（[]b a x ,∈），则有⎰≥b
a dx x f 0)(。

定理2、设)(x f 在[]b a ,上连续且非负，（即0)(≥x f ，[]b a x ,∈），如果)(x f 不恒等于0，则有⎰>b
a dx x f 0)(。

证明：由条件得，存在一点[]b a x ,0∈使0)(0>x f 。

由连续函数的性质，存在一个子区间[]βα,，适合[][]b a x ,,0⊂∈βα，使得对一切[]βα,∈x ，有
)(21)(0x f x f ≥
由积分对区间的可加性，知⎰⎰⎰⎰++=b
a a
b dx x f dx x f dx x f dx x f αβ
βα)()()()( ⎰≥β
αdx x f )( ⎰
≥βαdx x f )(210 0))((2
10>-=αβx f 。

推论1、设[]0,,≥∈f b a f ，如果有⎰=b
a dx x f 0)(，则有0)(=x f ，[]
b a x ,∈。

推论2、设[]b a f ,∈，如果对任意[]b a g ,∈都有⎰=b
a dx x g x f 0)()(，则必有0)(=x f ，
[]b a x ,∈。

积分平均值定理
定理3、设[],f C a b ∈，则存在),(b a ∈ξ，使得⎰-=b a a b f dx x f ))(()(ξ
证明：设m M ,分别是f 在[]b a ,上的最大值和最小值，显然[]b a x M x f m ,,)(∈≤≤ 于是 ⎰⎰⎰≤≤b a
b a b
a Mdx dx x f mdx )( )()()(a
b M dx x f a b m b
a -≤≤-⎰
从而有 M dx x f a b m b a
≤-≤⎰)()(1。

如果M m =，则)(x f 常数，则对任意),(b a ∈ξ，
有⎰-=b
a a
b f dx x f ))(()(ξ。

如果M m <，则m x f ≥)(，但f 不恒等于m ；
M x f ≤)(，但f 不恒等于M ，
必有
M dx x f a b m b a <-<⎰)()
(1， 利用闭区间上连续函数的介值定理，存在),(b a ∈ξ，使得
⎰-=
b a dx x f a b f )(1)(ξ， 即⎰-=b
a a
b f dx x f ))(()(ξ。

定理4、设[]b a C g f ,,∈，且g 在[]b a ,上不改变符号，则存在[]b a ,∈ξ，使得 ⎰⎰=b
a b
a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ 。

证明：不妨设0)(≥x g ，（[]
b a x ,∈），如果0)(≡x g ，则结论结论自然成立。

下设)(x g 不恒等于0，此时⎰>b
a dx x g 0)(。

设m M ,分别是f 在[]b a ,上的最大值和最小值，
于是[]b a x M x f m ,,)(∈≤≤，
用0)(≥x g 去乘上式，
得到M x g x f x g x mg )()()()(≤≤，
求积分，得到
⎰⎰⎰≤≤b
a b a b a dx x g M dx x f x g dx x g m )()()()(， 由此推出
M dx
x g dx
x f x g m b a b a ≤≤⎰⎰)()()(，
再据连续函数的介值定理，存在一点[]b a ,∈ξ， 使得⎰⎰=b a b a dx
x g dx
x f x g f )()()()(ξ，
即得⎰⎰=b
a b
a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。

积分第二中值定理（分部积分证法）
证明（1）设)(max ),(min ,)()(x F M x F m dt t f x F b x a b x a x a ≤≤≤≤===⎰
, ⎰⎰'=b
a b a dx x g x F dx x g x f )()()()(
⎰'-=b
a dx x g x F
b g b F )()()()(
因为,0,0≤'≥g g
)()()()(b Mg b g b F b mg ≤≤，
))()(()()())()((a g b g M dx x g x F a g b g m b
a -≤'≤-⎰， )())()(()()()(a Mg a g
b g M b Mg dx x g x f b
a
=--≤⎰， )())()(()()()(a mg a g b g m b mg dx x g x f b a =--≥⎰
， F 在[]b a ,上连续，由连续函数的介值定理，得，存在[]b a ,∈ξ，使得 ⎰⎰
==ξξa b a dx x f a g F a g dx x g x f )()()()()()(。

（2）设)(m ax ),(min ,)()(x F M x F m dt t f x F b x a b x a b x ≤≤≤≤===⎰
, ⎰⎰'-=b a
b a dx x g x F dx x g x f )())(()()( ⎰'-=b a dx x g x F a g a F )()()()(，
因为,0,0≥'≥g g
)()()()(a Mg a g a F a mg ≤≤，
))()(()()())()((a g b g M dx x g x F a g b g m b
a -≤'≤-⎰， 于是
)()()()(b Mg dx x g x f b mg b
a ≤≤⎰， 由连续函数的介值定理，得，存在[]
b a ,∈ξ，使得 ⎰⎰
==b b a dx x f b g F b g dx x g x f ξξ)()()()()()(。

（3）（i ）如果)(x g 单调递增，)()()(b g x g a g ≤≤，
令)()()(x g b g x h -=，则)(x h 非负，单调递减， 根据（1），得，存在[]b a ,∈ξ，使得
⎰⎰=ξ
a b
a dx x f a h dx x h x f )()()()(， 即⎰⎰
-=-ξa b a dx x f a g b g dx x g b g x f )())()(())()()((， 整理后，即得 ⎰⎰⎰+=b a b
a dx x f
b g dx x f a g dx x g x f ξ
ξ)()()()()()(。

（ii ）如果)(x g 单调递减，)()()(a g x g b g ≤≤， 令)()()(b g x g x h -=，则)(x h 非负，单调递减， 根据（1），得，存在[]b a ,∈ξ，使得
⎰⎰=ξ
a b
a dx x f a h dx x h x f )()()()(， 即⎰⎰
-=-ξa b a dx x f b g a g dx b g x g x f )())()(())()()((， 整理后，即得 ⎰⎰⎰+=b a b
a dx x f
b g dx x f a g dx x g x f ξξ)()()()()()(， 证毕。

定理 设[]b a C f ,2
∈，则有 ⎰⎰
--''-+-=b a b a dx x b a x x f b f a f a b dx x f ))()((21)]()([2)(。

证明：因为 ⎰--''b a dx x b a x x f ))()((
⎰--+-'---'=b a
b
a dx a x x
b x f x b a x x f )]1)(())[((|))()(( dx x f a x x b x f b
a b
a ⎰-⋅+----=)2()(|)]())[(( ⎰--+-=b
a dx x f a
b a f a b b f )(2))(())((，
所以
⎰⎰--''-+-=b a b
a dx x
b a x x f b f a f a b dx x f ))()((21)]()([2)( 。