2014 年第八届“学而思杯”数学试卷（五年级）
一．填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 2. 3. 今天是 2014 年 4 月 7 日．有一个数，它除以 14，商是 4，余数是 7，那么，这个数 是 定义： a△b ．
a
2b ， a☆b
2a
b ，那么， 1 △ (6 ☆ 8)
．
2014 年 2 月共有 28 天，据气象部门统计，这个月北京有雾霾的天数占全月总天数的
家 A E B F O G 学校 C H 学 而 思 D
15. A、B、C 三个数都有 6 个约数，幵且它们都没有大于 10 的质因数．如果 ( A, B)
2，
( A, C )
1 ， ( B, C )
5 ，那么，A、B、C 三个数共有
种丌同的组成情况．
16. 甲、乙两人轮流往立方体的任意一个顶点填入 1～20 中的一个数（丌能重复） ，要求每 次填的数一定比 3 个相邻位置中已有的数大，谁无法填出谁负．甲先填，第一次填了 17（如图所示） ，那么，如果乙想要获胜，他第一次填的数最小是 ．
A a a F C a a D a a a G B
所以答案不是 7，而是 5. 二、填空题（每题 6 分，共 24 分） 5. 【考点】组合，几何计数 【难度】☆☆ 【答案】14 【分析】若最小的正三角形边长为“1”，则这种边长为“1”的三角形有 12 个，边长为“2”的三 角形有 2 个，共 14 个. 6. 【考点】数字谜，乘法竖式谜 【难度】☆☆ 【答案】2014 【分析】 第二个部分积是 1□， 故知第二个乘数的百位必为 1， 且第一个乘数必为 1□， 很小； 进而范围分析算式 1□×10□＝2□□4，由于 18 109 2000 ，故知第一个乘数只能是 19， 算式是 19 106 2014 .
2014 年南京五年级学而思杯答案解析
一、填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 【考点】数论，带余除法 【难度】☆ 【答案】63 【分析】 14 4 7 63 . 2. 【考点】定义新运算 【难度】☆☆ 【答案】41 【分析】 1 △ (6 ☆ 8) 1 △ (2 6 8) 1 △ 20 1 2 20 41 . 3. 【考点】应用题，分数应用题 【难度】☆☆ 【答案】60 3 【分析】 雾霾天有 28 故其他时间为 28 12 16 天， 故共跑了 1 12 3 16 60 12 天， 7 圈. 4. 【考点】几何，立体几何与空间想象 【难度】☆☆☆ 【答案】5 【分析】若认为“有棱围起来的就算一个面”的话，粘合之前有 5 4 9 个面，粘合后失去 2 个面，故有 9 2 7 个面. 但要注意“共面的面算同一个面”，会发现红色三角形旁边的 面是共面的，答案是 7 2 5 个面. 共面证明如下： 设正四棱锥、正四面体的边长是 a，那么将正四棱锥沿底面正方形边长的方向平移 a 可得到新的正四棱锥，如图：
A a a F C a a D a a G a E H
C F a a D
B
A a aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a a a G a
B
H E
两个灰色的面由于是平移得来的，故这两面平行，但在底边上这两面有公共的线 （CD、DE 共线） ，故知这两个灰色的面其实在同一平面上. 所以连接 AB 的话，三角形 ABD 也在这个平面上（因为 A、B、D 三点都在这个平面上）. AB 的长度就是平移长度，故 AB a ，又 AD BD AG BG DG a ，故知四 面体 ABDG 正是我们所要找的边长为 a 的正四面体，可见 ABD 面与 ACD 面其实是同 一个面，同理 ABG 面和 AFG 面其实也是同一个面.
A
D
F O B E C
20. 老师在黑板上随机写了 8 个数，每个数都是 1、2、4 中的某一个．学生们每次擦去两个 相同的数， 幵把这两个相同的数的和写在黑板上． 如果某位同学在黑板上写出了“2048”， 则过程“成功结束”，否则老师就再随机写一个数上去（1 或 2 或 4） ，以保证黑板上仍有 8 个数．学生每次成功写数都会得不此数相同的分数，例如：擦去两个 2，写上 4，得 到 4 分． 如果幵没有写出 2048， 但已没有相同的数可以同时擦去， 则过程“失败结束”． （1）如果黑板上出现了“32”，那么此时总分至少是多少分？（5 分） （2） 若一个过程结束后恰好得到了 18000 分， 能否是一次“成功结束”？为什么？ （5 分） （3）某一次过程“成功结束”了，幵且最后黑板上的数互丌相同，那么这个过程的总 得分最少是多少分？（5 分）
2
1
二．填空题（每题 6 分，共 24 分） 5. 下图中，共有 个等边三角形．
6.
将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后的乘积是
．
0 4 1 2
7. 下图是国际象棋棋盘， 将每一行的棋子数写在了棋盘左边， 将每一列的棋子数写在了棋 盘的上边，已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格 中共有 5 5 6 8 6 4 2 1 枚棋子． 1 2 3 6 6 8 7 4
其中灰色的步骤是用到了“同一行或同一列的棋子全部相连”这一条件推导而来的. 计数最后一个图中的白色格的棋子数量，为 18 个. 8. 【考点】应用题，归一问题的比例解法 【难度】☆☆☆ 【答案】10 【分析】若硬生生地归一，计算量会很大，归一数亦非整数，不利于计算. 考虑两次铺砖的 比例关系：16 名砖瓦工铺 12 天所铺的块数，应是 4 名砖瓦工铺 3 天所铺块数的 16 12 16 倍，但房间大小方面，第二个房间只是第一个房间的 12 6 2 倍，这说明 4 3
7. 【考点】数独思想 【难度】☆☆☆ 【答案】18 【分析】突破口是第 4 行以及第 6 列，都是“8”，故知此列全满，以此为起点，填出所有其 他行列（先找最大数或最小数比较好填，即 8→1→7→2→……的顺序） ： 1 2 3 6 6 8 7 4 5 ○ 5 ○ 6 ○ 8 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 6 ○ 4 ○ 2 ○ 1 ○ 5 5 6 8 6 4 2 1 5 5 6 8 6 4 2 1 5 5 6 8 6 4 2 1 1 × × × ○ × × × × 1 × × × ○ × × × × 1 × × × ○ × × × × 2 3 6 6 8 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × × × ○ × × × × ○ 2 3 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × ○ × × × × × × 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × 8 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 8 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 7 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × 7 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × 7 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × 4 5 5 6 8 6 4 2 1 5 5 6 8 6 4 2 1 5 5 6 8 6 4 2 1 5 5 6 8 6 4 2 1 1 2 3 6 6 8 7 4 × ○ × ○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○ × ○ × ○ × × × × × ○ × × 1 × × × ○ × × × × 1 × × × ○ × × × × 1 × × × ○ × × × × 2 3 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × × × × × 2 3 6 ○ × × ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × ○ × × × × × × 2 × × × ○ ○ × × × 3 × × ○ ○ ○ × × × 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × 8 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 8 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 8 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 7 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × 7 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × 7 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × 4 5 5 6 8 6 4 2 1 5 5 6 8 6 4 2 1 5 5 6 8 6 4 2 1 1 2 3 6 6 8 7 4 × ○ ○ × ○ ○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○ ○ × ○ ○ × ○ ○ × × × × × ○ × × 1 × × × ○ × × × × 1 × × × ○ × × × × 2 3 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × ○ × × × × × × 2 3 × × × ○ ○ ○ ○ × × × × × × 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × 6 ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × 8 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 8 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 7 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × 7 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × 4
3 ．盛盛喜欢跑步，他在雾霾天每天跑 1 圀，其它时间每天跑 3 圀．那么，盛盛 2014 7
年 2 月总共跑了 4. 圀． 如下图，1 号立体图形是一个正四棱锥，2 号立体图形是一个正四面体，红色部分是大 小相同的正三角形．把 1 号和 2 号拼成一个新立体图形，让两个红色部分完全重合，那 么，这个新立体图形共有 个面．
14. 某城市交通路线图如下，A、B、C、D 为绿色正方形各边中点，E、F、G、H 为黄色正 方形各边中点，学校在 CG 中点处，学而思在 DH 中点处，已知开车在绿色道路上最大 时速为 60km/h， 在黄色道路上最大时速为 40km/h， 在红色道路上最大时速为 20km/h． 已 知从家到学而思最少需要 22 分钟，从学校到学而思最少需要 20 分钟，那么，从家到学 校最少需要 分钟．
1 2 3 4 6 7 9 3 2 3 5 6 7 9 4 4 4 5 6 7 9 6 5 5 5 6 8 9 7 7 7 7 6 8 9 8 8 8 8 8 8 9 … … … … 9 9 9
10. 算式 ( AB
CD) ( EF
GH ) ( I
J)
．
2014 中，丌同的字母代表丌同的数字，那
么两位数 AB 的最大值是
六．解答题（每题 15 分，共 30 分） 19. 如右图，正方形 ABCD 的面积为 1，E、F 分别为 BC、CD 的中点，AE 和 BF 相交于点 O．求： （1） △ABE 的面积； （3 分） （2） AO : OE ； （4 分） （3） △AOB 的面积； （4 分） （4） △COD 的面积． （4 分）