（2） 两个不同的 , , 使f ( ) f ( ) 1
证明(1)
F ( x) f ( x) 1 x, F (0) f (0) 1 0 1 0 F (1) f (1) 1 1 1 0
所以有 F (0).F (1) 0 ，由零点定理即证
1 f ( n ) ( x )( x x ) n n 0 0 !

b
( n 1) n 1 1 (n f ( )( x x ) 0 1) !
补充：导数零点定理，导数介值定理 定理10、设 f ( x)在[a, b] 上可导，当
f (a). f(b) 0时， (a, b), 使f ( ) 0
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间) ②
公式 ① 称为
的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 注意到
Rn ( x) o[( x x0 ) n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
1.1基本理论综述
一、涉及函数 f ( x) 的中值定理
设 f ( x)在[a,b] 上连续，则 定理1、有界性 f ( x) k , (k 0)
定理2、最值性 m f ( x) M 定理3、介值定理：当 m u M时， [a, b], 使得f ( ) u 定理4、零点定理：当 f (a). f (b) 0时， (a, b), 使得f ( ) 0 二、涉及导数（微分）f ( x) 的中值定理
证明：用 将 [0,1] 划分为 [0, ],[ ,1] ，在这两个区间 上分别对 f ( x) 使用拉格朗日中值定理，得
1 f ( ) f (0) f (1 )( 0) f (1 ) f ( ) f (1) f ( ) f ( 2 )(1 ) 1 1 f ( 2 ) 1 f ( )
罗尔定理,或利用费尔马定理（都是对n-1阶导数用）
（4）若结论中有两个中值，则优先考虑应该大区间分 为若干小区间，在各个小区间多次使用拉氏定理， 或者直接考虑柯西中值定理 （5）若结论中含有高阶导数，则优先考虑泰勒公式 （6）若结论中含有函数及其各阶导数，则优先考虑 拉格中值定理或者泰勒公式将其联系起来
第一讲：中值定理和有关方程根的问题
中值定理在竞赛中具有特殊的地位，它是高数中不多的
一种逻辑证明类的问题，分析味道足，综合性强，对数学
逻辑推理能力要求较高，很多同学对此比较畏惧，主要
是因为我们平时学习中没有引起足够重视，训练不够。 方程根的问题，属于微积分应用的范畴。
主要内容：1、闭区间上连续函数的性质（有界性，最 值性、零点定理、介值定理） 2、微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日，柯西中值定理 ，泰勒中值定理（公式））
定理11、设 f ( x)在[a, b] 上可导，当
f (a) f (b)，介于f (a)与f(b)之间， 则 (a, b), 使f ( ) b 三、涉及积分 f ( x)dx 的中值定理
a
定理12
f ( x)在[a, b] 上连续 则至少存在一点
a f ( x) dx f ( )(b a)
a f ( ) a M m 2 3 a 2 2 a 2!x dx a 2! x dx a 2! x dx m a3 a f ( x)dx M a
由介值定理，存在
3 [a, a], 有f ( ) 3 a

a
a
f ( x)dx
(0,1) 内可导，且 例11、已知 f ( x)在[0,1]上连续， f (0) 0, f (1) 1 证明：（1） (0,1), 使f ( ) 1
0 0 0 0
1
1
1
1
1 1 1 m 2m. 2 f ( x)dx 2M . M 即， 0 2 2
由介值定理，
至少存在一点 [0,1]，使得 f ( ) 20 f ( x)dx f (0) 0 ，证 例10、 设 f ( x)在[a, a] 上有连续的二阶导函数，
3 [ a , a ], 有 f ( ) 存在一点 a3
1

a
a
f ( x)dx
分析（1）闭区间，优先用介值定理
f ( ) 2 f , f 可考虑用泰勒公式 f ( x ) f (0) f (0). x x （2） 2!
对展开式两端积分得

a
2、若结论中的中值属于开区间，且需要做辅助函数， （1）将结论中的中值 改写为 x ，通过整理使等式 一端为0，另一端记为 F * ( x) ，令 F ( x) F * ( x) 验证 F ( x) 是否满足零点定理，满足则命题成立， 若不满足，则 （2）改令
F ( x) F ( x)
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
(k )
f
( x) e ,
b
1.2思路与例题解析 一、有关思路总结 1、根据欲证结论的形式大致确定需要用哪一个或哪几 个定理，一般来说 （1）如果结论中的中值属于闭区间，则优先考虑介值 定理 （2）若结论中的中值属于开区间，则优先考虑微分
中值定理（比如拉氏定理）等
(n) F ( ) 0 ，则优先考虑 （3）若结论比较简单，如
a
f ( x)dx f (0)dx f (0) xdx
a a a a
a
a
a
a
f ( ) 2 x dx 2!

f ( ) 2 x dx 2!
由于 f ( x)在[a, a] 上连续，故 m f ( x) M , 则m f( ) M
拉格朗日中值定理
f (b) f (a) f ( ) ba
F ( x) x
a b x 柯西中值定理
o
y
n0
y f ( x)
泰勒中值定理
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
o f ( x0 )( x x0 ) f ( x) f ( x0 ) a x
f ( x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) n ( x x0 ) o[( x x0 ) n ] ④ n!
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
f (0) f (1) f ( 2) 3
M
f (c ) 1 f (0) f( 1) f ( 2) 3 1 , f ( 3 ) 1 分析: 所给条件可写为 3 f (c) f (3) 1, 且 f ( x) 在[c, 3] 上连续 c, ))内可导 , f (0) ,f在 (1)( f3 (2 想到找一点 c , 使 f (c) 3 f ( ) 0. 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3) (0, 3) , 使
f ( ) 0.
证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在
[0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故
m f (0), f (1), f (2) M
f (0) f (1) f ( 2)
m
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
*
一次积分
令c 0
F ( x)，验证 F ( x)
Hale Waihona Puke 是否满足罗尔定理，若不满足，则 两次积分 （3）改令 F ( x) F ( x)
*
令c 0, d 0
F ( x)
，将大区间分为小区间
各个小区间多次使用中值定理，
二、例题解析
例8、设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 证明存在 (0, 3) , 使
f ( x) f (0) f ( )( x 0)(0 x) f ( x) xf ( )
于是，
m f ( ) M mx xf ( ) Mx
mxdx
0
1
1
0
f ( x) dx Mxdx 2 mxdx 2 f ( x) dx 2 Mxdx
例9、设
f ( x)在[0,1]上具有一阶连续导数，且 f (0) 0
证明，至少存在一点 [0,1] ，使得
f ( ) 2 f ( x)dx
0
1
分析，本题结论中的中值属于闭区间，优先考虑介值th (1)由于 上必取最大值 f ( x)在[0,1]上连续，故f ( x)在[0,1] M,和最小值m，则对 x [0,1], m f ( x) M （2）建立 f ( x)与f ( x) 的关系，用拉氏定理
[0, ],[ ,1] （2）用 把 [0,1] 分成两个小区间， f ( ) f (0) f ( )( 0), (0, ) 并分别用拉氏定理有， f (1) f ( ) f ( )(1 ), ( ,1)
f ( ) f ( ) f (0)
1 2 即可 和要证的等式比较，得 f ( ) 1 f ( )
1 于是取 f ( ) 2
，命题得证
注意：本题采用了反推思想，
1.3泰勒中值定理（公式） 理论分析 用多项式近似表示函数 — 应用 近似计算 泰勒中值定理 : 时, 有 f ( x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) ① n! 其中 Rn ( x) 阶的导数 , 则当