对于积分中值定理的一点思考摘要积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间),(b a 内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用.关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限一 引言推广的积分第一中值定理：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在[a, b]上至少存在一点ξ使得⎰⎰=babax d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （1）推广的积分中值定理可改进如下：定理1：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在),(b a 上至少存在一点ξ使得⎰⎰=babax d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。

对其证明如下：因为)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上存在最大值和最小值，不妨分别设为M 和m,即M x f m ≤≤)(，则必存在x x x x b a 2121],,[,<∈，使m f x =)(1，M f x =)(2，又因为)(x g 在],[b a 上不变号，不妨设0)(≥x g ,则⎰≥badx x g 0)(，且有)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，又)(x f 和)(x g 都在],[b a 可积，则)()(x g x f 在],[b a 也可积，从而有 ⎰⎰⎰≤≤bababadx x g M dx x g x f dx x g m )()()()( （2）（1） 当⎰=b adx x g 0)(时，有⎰=b adx x g m 0)(以及⎰=badx x g M 0)(，由（2）得⎰=badx x g x f 0)()(，因此对),(b a ∈∀ξ，有dx x g f dx x g x f bab a ⎰⎰=)()()()(ξ 。

（2） 当⎰>b adx x g 0)(时，由（2）得 M dx x g dx x g x f m bab a≤≤⎰⎰)(/)()(若M dx x g dx x g x f m bab a<<⎰⎰)(/)()(，则)()(/)()()(21x x f dx x g dx x g x f f bab a<<⎰⎰由于)(x f 在],[b a 上连续，故由介值定理知，存在ξ位于x 1和x2之间，使dx x g dx x g x f baba⎰⎰=)(/)()()(f ξ，即dx x g dx x g x f b aba⎰⎰=)()(f )()(ξ再考虑到],[),(21b a x x ⊂，则命题成立。

若)()(/)()(2x f M dx x g dx x g x f baba==⎰⎰ （3）当),(2b a x ∈时，取x 2=ξ，则⎰⎰=baba dx x g x f dx x g )()()()(f ξ，命题成立；当a x=2或b x=2时，可以证明存在),(b a ∈ξ，使M f =)(ξ。

事实上，假设),(b a x ∈∀，都有M x f <)(，取充分小的0>ξ，使ξξ-<+b a ，令M *为)(x f 在],[ξξ-+b a 上的最大值，则M M<*，所以⎰⎰⎰⎰+-+-++=baa ab a bb dxx g x f dx x g x f dx x g x f dx x g x f ξξξξ)()()()()()()()(⎰⎰⎰⎰+--+<++≤ξξξξa abb bab a dx x g M dx x g M dx x g dx x g MM)()()()(*故M dx x g dx x g x f baba<⎰⎰)(/)()(，与（3）式矛盾。

这说明必存在),(b a ∈ξ，使M f =)(ξ，从而dx x g dx x g x f bab⎰⎰=)()(f )()(aξ同理可证，当m d x g dx x g x f baba=⎰⎰x )(/)()(时，必有),(b a ∈ξ，使dx x g dx x g x f bab ⎰⎰=)()(f )()(aξ所以定理得证。

b a dx x g f dx x g x f baba≤≤=⎰⎰ξξ,)()()()(推论 1：若)(x f 在区间],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ使b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ),()()(定理2：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，且g(x)在[a, b]上可积且不变号，则在),(b a 上至少存在一点ξ使得⎰⎰=babax d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。

证明：不妨假定g(x)在[a,b]上连续，故存在M x f m m M ≤≤)(,使,若⎰=badx x g 0)(，则可在),(b a 内任取一点c 使⎰⎰=b abadx x g c f dx x g x f )()()()(。

若⎰>badx x g 0)(，则⎰⎰⎰≤≤b abab adx x g M x d x g x f dx x g m )()()()()(，即有M dxx g dxx g x f m baba≤≤⎰⎰)()()(。

若上式没有一个等号成立，则有M dxx g dxx g x f m baba<<⎰⎰)()()( （1）设)(x f 分别在x 1和x2取得最小值与最大值，即m f x =)(1，M f x =)(2，不妨设xx 21<，则],[],[21b a x x ⊂，由（1）可知，⎰⎰=babadxx g dxx g x f )()()(μ介于M m 与之间。

由连续函数的介值性定理可知，存在),(21x x c ∈，使μ=)(c f ，即⎰⎰=babadx x g c f dx x g x f )()()()(。

显然),(b a c ∈，故结论成立。

若（1）中至少有一个等号成立，不妨设右边等号成立，则有⎰=-badx x g x f M 0)()]([。

由于)(x g 在],[b a 上可积，故它在],[b a 上的Darboux 下和x m ini ig T s ∆=∑=1),(当0)(→T λ时趋于⎰badx x g )(，即⎰∑=∆=→baini ioT dx x g x m )(lim1)(λ。

前面已设⎰>badx x g 0)(，故存在分割T ，只要0)(→T λ，就有0),(1>∆=∑=x m ini i g T s 。

由于0)(≥x g ，故0≥m i。

而在],[1x x ii -上，m ix g ≥)(又知M x f ≤)( ]),[(b a x ∈，故⎰⎰⎰=-≤-≤-≤--b a i dx x g x f M x x dx x g x f M x x dx x f M ii i i m 0)()]([)()]([)]([011因此0)]([1=-⎰-dx x x x f M ii m i ，其中m i x f M )]([-在],[1x x i i -上非负且连续，故必有],[,0)]([1x x m ii ix x f M -∈≡-，而在],[1x x ii -上]),[()(01x x m ii ix M x f -∈≡⇒>。

因此对),(1x x ii -内任意一点c ，都有M x f =)(，从而⎰⎰=babax d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （a<ξ<b ）。

积分中值定理及其推广的应用：积分中值定理的重要作用是证明微积分基本定理，从而为建立定积分与不定积分之间的联系以及快捷地计算定积分奠定了基础。

由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理。

1.具有某些性质的点的存在问题我们仔细观察被积函数所具有的性质，注意利用微分中值定理、积分中值定理等从而达到有关问题的证明。

例1 设函数)(x f 在],0[π上连续，且⎰=π0)(dx x f ，⎰=π0cos )(xdx x f 试证：在),0(π内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2使0)()(21==ξξf f证明：若0)(≡x f ，],0[π∈x 结论显然成立。

假使)(x f 不恒等于0 由推广的积分中值定理的改进定理的推论可知，存在),0(1πξ∈，使0)0()()(01=-=⎰ππξf dx x f 即 0)(1=ξf若在),0(π内0)(=x f 只有一个实根ξ1，由⎰=π0)(dx x f 可知，)(x f 在),0(1ξ与),(1πξ内异号，不妨设在),0(1ξ内0)(>x f ，在),(1πξ内0)(<x f ，而x c o s 在),0(π为单调下降，所以dx x x f dx x f xdx x f ⎰⎰⎰-=-πππξξ11)cos )(cos (cos )(cos )(0)cos )(cos ()cos )(cos (1111>-+-=⎰⎰dx x x f dx x x f ξξπξξ与⎰=π0cos )(xdx x f ，⎰=π0)(dx x f 矛盾，于是除ξ1外，在),0(π内0)(≡x f 至少还有一个实根ξ2，故至少存在两个相异的实根ξ1，),,0(2πξ∈使0)()(21==ξξf f2.证明积分不等式积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式，当积分区间相同时，先合并统一积分区间上的不同积分，根据被积函数所满足的条件，灵活运用积分中值定理，以达到证明不等式成立的目的。

例1 假设)(x f 为],[b a 上的连续、非负、严格单调减函数，证明⎰⎰>ba adx x f b a dx x f )()(0证明：由定理1可以得到 )()()(10a af af dx x f a>=⎰ξ )0(1a <<ξ)()()()()(2a f ab f a b dx x f ba-<-=⎰ξ )(2b a <<ξ由以上两个不等式可以得到⎰⎰->>ba a dx x f ab a f dx x f a )(1)()(10 ⎰⎰>-b aa x f dx x f a b)()()1(0两边乘以ba得⎰⎰>-ba a dxx f b a dx x f b a )()()1(0因为10<<b a所以11<-b a ，又由于)(x f 在[]1,0上的连续，非负所以)(0>⎰adx x f所以 ⎰⎰>ba adx x f b a dx x f )()(0例3 设)(x f 在]1,0[上连续，且单调不减，试证：对)1,0(∈∀a ，有⎰⎰≤-1)()()1(aadx x f a dx x f a证明：根据积分中值定理有)()1()()1(1ξf a a dx x f a a-=-⎰ )0(1a ≤≤ξ)()1()(21ξf a a dx x f a a-=⎰ )1(2≤≤ξa由于)(x f 在]1,0[上单调不减，所以 )()(21ξξf f ≤又因为0)1(>-a a ，则：)()1()()1(21ξξf a a f a a -≤-即 ⎰⎰≤-1)()()1(aadx x f a dx x f a3．与收敛有关的问题例1 设函数)(x f 在),0[+∞为连续的，0>∀c ，有dx xx f c⎰+∞)(收敛。