（1）天球
基本概念：
为研究天体运动而引进的一个假想的圆球。 球心为坐标原点，视所研究问题的需要，取在 适当位置，如地心、飞行器质心、观测点等。 天球半径可认为是一个单位长度，从而使球面 上的大圆弧与所张球心角在量值上相等。
坐标系
（1）天球
优点： 可将空间的不同矢量平移通过同一天球中心， 从而用球面上对应的点表示这些矢量的指向，用连 接这些点的大圆弧表示矢量间的夹角，以建立一个 便于分析空间问题的几何模型，且能应用球面三角 公式解决问题。
当太阳位于春分点时 L 0 ，太阳平均每天向东 移动 0.9856 ，若以 表示 L 所对应的日子过春分 D （约为每年3月21日或22日）后的天数， 则 L 0 . 9 6 5 6 D 。由于黄赤交角 是一个基本 不变的量，因此，太阳在地心赤道坐标系中的方位 亦可仅由 l 确定。
图3.8 地心赤道坐标系
在地心赤道坐标系中，卫星位置可用直角坐 标 X ， Y，Z 表示，也可用球面坐标，即向经 r 、赤 纬 、赤经 表示。设卫星在天球上的投影为 S ， 过 S 的赤经圈与天赤道交于 B ，则 SB。规定 在北半球赤纬为正值，在南半球为负值。赤经定义 为由春分点 r 沿天赤道逆时针（从北天极看）度量 至B 点的值，rB （见图3-8）。
春分点：黄道与天赤道的一 个交点。 黄道：地球绕太阳公转的轨 道面（黄道面）与以地心为球心 的天球相交的大圆。 “黄赤交角”：黄道面与赤 道面约相交成23°27′。 太阳的周年视运动：由于地 球公转观测到太阳在恒星间移动， 周期为1年。 黄道就是天球上的太阳周年 视运动轨迹。太阳由南向北过天 赤道的交点叫“春分点”，另一 个交点是秋分点。
（2） 地心赤道坐标系
描述天体相对运动的惯性坐标系的坐标原点取 在质量较大的天体的质心上，坐标轴的指向在绝对 空间固定不变。 在人造卫星的运动中，一般采用地心赤道为坐 标系OXYZ 。原点O 取在地心，OXY平面与地球赤道 面重合，OX轴指向某一确定时刻的春分点， OZ轴 取地球自转轴，如图3.8所示。
运载火箭的飞行轨道
（1）运载火箭的发射方案
运载火箭发射航天飞行器的飞行轨道有3种方案
图3.5运载火箭的飞行弹道
第一种方案：一次主动段就直接入轨。 这种方案比较简单易行，但消耗的能量比较多。 第二种方案：先用一段主动段，把大部分推进剂在较低 的高度上消耗掉，让火箭获得足够大的速度，而进入一 段自由飞行段（被动段）。当火箭飞行到预定轨道高度 时，再加一小段主动段，让火箭再一次加速进入预定轨 道。 火箭所携带的大部分推进剂，在地球附近就消耗掉， 比在离地球更高的地方消耗掉，可节省为提高火箭的推 进剂势能所消耗的这部分能量。第二方案就是利用这个 道理而设计的飞行轨道，所以比第一方案节省了能量。
第三种方案：与第二方案基本相同，只是要求自由飞行 段要绕地球半圈，即自由飞行段起点和终点正好在地心 的连线上。 这种发射方案所消耗的能量最省，所以称为“最佳 轨道”也叫做“霍尔曼轨道”。
在制定火箭发射方案时，要受到发射场区的位置、 测控台站的布局、航区和落点的安全等因素的限制，不 一定采用自由飞行段很长的理想发射方案，而可能会采 用多消耗一些能量，甚至经常采用一次主动段就把卫星 送入轨道的发射方案。
（3-9）
式中 P —— “通径”，圆锥线的焦点参数； e—— “偏心率”； 0 —— 发射点和地心的连线与焦点轴的夹角。
P
2 2 2 vk r cos k k
2
（3-10）
2 2 2 vk r cos k k
e
2
22 2 vk 2 2 2 vk r k cos k k r 22 2 vk k r
升力： 得到运动方程为：
dv 1 ( P cos D ) g sin( ) dt m
（3-4）
dv 1 ( P cos D ) g sin( ) dt m
火箭在主动段飞行时，通常攻角都很小，所飞 越的地心角也很小，若略去不计，即得：
dv P D g sin dt m m
1 2 LC vS L 2
式中
（3-2）
C L ——火箭的升力系数。
C D 和 C L 不但与火箭的外形有关，同时都随 速度和攻角的变化而变化。 CD， C L 与马赫数 Ma 和攻角 的变化规律见下图。
图3.3 C D 与马赫数 Ma和攻角 的关系
图3.4 C L 与马赫数 Ma 和攻角 的关系
1 2 M v Sl C 2
式中
C ——俯仰力矩系数；
（3-3）
l ——火箭的特征长度。
俯仰阻尼力矩 在俯仰方向上，还有俯仰阻尼力矩 M 。这是由 于箭体表面压力分布的变化和空气有粘性而产生了 摩擦力引起的。 其他力矩 由于空气动力和推力的作用线不与火箭的纵轴 ， 重合，还存在着偏航力矩 M ，偏航阻尼力矩 M 等。 滚转力矩 M 及滚转阻尼力矩 M
“俯仰力矩”的产生 火箭发动机工作时，推进剂在不断消耗，所以火 箭质心位置随时在变。 同时，气动阻力和升力也随飞行速度和大气条件 而变化，所以压心也随之变化。 因此，火箭的压心和质心很少重合在一个点上， 阻力和升力对质心必然要产生一个力矩M。使火箭 绕横轴 O1 Z 1 转动的力矩称为“俯仰力矩”，以 M 表 示， 其表达式为：
二、人造地球卫星轨道的坐标与时间
研究空间飞行器运动的基本目的，是确定飞行器 在给定时刻的位置与速度。 因此，应建立描述飞行器运动的坐标系与时间系 统。 本节所叙述的惯性坐标系与时间计量系统本质上 均是以地球自转为基础。前者是利用地球自转轴的 基本定向性，后者是利用地球自转角速度的高度均 匀性。
坐标系
图3.2 作用力和力矩
通常，把火箭在空气中飞行时所产生的总空气 动力，分解为阻力 D和升力L。 气动阻力的计算公式为：
1 2 DC vS D 2
式中
1 v 2 ——单位体积气流的动能，称为“速 2 度头”；
（3-1）
S ——火箭的横截面面积；
C D ——火箭的阻力系数。
火箭升力的计算公式为：
图3.9 轨道坐标系
若以 X, Y, Z 表示轨道坐标系的单位矢量，i, j, k 表示地心赤道坐标系的单位矢量，则它们之间的关 系为：
(cos sin Ω cos isin cos Ω )j sin isin k Y( sin cos Ωcos icos sin Ω )i ( sin sin Ωcos icos cos Ω )j sin icos k Zsin isin Ω i sin icos Ω j cos ik X(cos cos Ω cos isin sin Ω )i
（3）黄道坐标系
黄道面取作黄道坐标系的基本平面，亦以春分 点作为参考点。 类似于赤道坐标系的赤经、赤纬，天体在黄道坐 标系中的方位用黄经、黄纬表示。若将坐标原点取 在地心，便为地心黄道坐标系。 由于太阳在黄道面内，故太阳在地心黄道坐标 系中的方位仅由一个量——日心黄经 L 表示。 日心黄经：从春分点沿黄道逆时针（与太阳周 年视运动方向一致）度量到日心的角距。
（2）运载火箭的 主动段轨道
在主动段飞行时，作用 在火箭上的力和力矩 如图3.6所示
图3.6 在主动段作用于火箭上的力系
XOY为发射平面坐标，
X1O Y1为速度坐标。图中 1
为俯仰角， 为地心角， 为 速度方向角， 为火箭飞行 攻角。
把作用在火箭上所有的力， 投影到速度方向（ X 1轴）上， 推力： 重力： 阻力：
r
22 2 2 4 v r cos 2 2 1 kk 2 k v 22 2 cos( ) k 0 r v r k k kcos k 22 2 v r cos kk k
（3-8）
14 3 2 3 . 896 10 m /s 式中， 称为地球引力常数。
r
22 2 2 4 v r cos 2 2 1 kk 2 k v 22 2 cos( ) k 0 r v r k k kcos k
22 2 v r cos kk k
（3-8）
方程（3-8）是一个圆锥曲线方程。通常写成
P r 1 ecos( ) 0
可见，自由飞行段的轨道方程，完全取决于主动段终点的 速度 ，速度方向角和径向距离。
在图3.7中，如果火 箭在 B 点，再一次点 火加速，使火箭的速 度达到航天飞行器在 该点的运行速度，它 就进入绕地球运动的 的轨道，此轨道称为 “卫星轨道”。卫星 的轨道高度和形状， 由运载火箭主动段终 点的速度矢量和空间 位置决定。
4
1
2 2 2 vk r cos k k
4
（3-11）
v k 总是小于第 对于发射人造地球卫星的运载火箭， 2 二宇宙速度，即 v ，所以 e 1 。 / r k 2 k
可见，运载火箭的自由飞行段的轨道是一个椭圆 r P为常数，这时椭圆轨道就成为圆 e 0 时， 轨道。 形轨道。
第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
一、航天器发射轨道
二、人造地球卫星轨道的坐标与时间
航天器的轨道是指航天器的飞行轨迹。包括发射 轨道、运行轨道和返回轨道。以人造地球卫星为例， 发射轨道： 运载器从地面起飞到航天飞行器入轨。 主动段：火箭发动机的工作段； 自由飞行段：从火箭发动机停机到航天飞行器入轨。 运行轨道： 人造地球卫星进入所设计好的轨道执行任务。 返回轨道： 从人造地球卫星制动火箭点火，到再入舱降落到 地球表面的飞行轨迹
一、航天器发射轨道
图3.1 卫星的发பைடு நூலகம்轨道、运行轨道和返回轨道
作用在运载火箭上的力与力矩
运载火箭上作用的力有： 发动机推力 P
地球对火箭的引力G
气动阻力 D 和气动升力 L