有关 俯仰力矩：M a M a (V , , ,e , , q) ,还与动导数有关
基准运动为定直平飞，小扰动假设：空气密度=常值，可忽略 简化的力与力矩：
T T (V ,T ) L L(V ,,e ) D D(V , ) M a M a (V ,,e ,, q)
长周期运动分开处理， 使分析过程大为简化。 摄动理论 用于纵侧向解耦设计 非线性动态逆设计
短周期响应
长周期响应
六、短周期运动的近似传递函数
纵向运动的初始阶段，短周期运动占主导地位，其过渡过程时间很短，飞
行速度变化不大，可以认为速度增量V=0。 纵向运动方程式中第一式(切向力方程)可以删去，其他两式当V=0时，

以e为输入，为输出的传递函数：
稳定的，表现为单调发散 运动。
短周期模态在一般情况下 不会变成不稳定，只有重 心移到焦点之后的飞机， 短周期模态才变成一正一 负两个实根，其中正实根 表征不稳定的单调发散运 动，且单调发散的指数比 较大。
(二)传递函数及其频率特性 某飞机，有关数据如下:
重心之矩为正
2、升力L,垂直于飞行速度V，向上为正； 3、阻力D，平行于飞行速度V，向后为正； 4、俯仰力矩Ma(仅指气动力矩)，抬头为正。
5、重力G，永远指向地心。
一、纵向运动方程
由受力图可得方程组:
速度的切向方向速度的法向方向-
m dV dt
T cos( T ) D G sin
研究初始条件为t=0时， 的扰动运动的解。
(一)扰动运动的解 用拉氏变换求解，令 考虑到前面给出的初始条件，有 代人微分方程组，得拉氏变换代数方程组：
方程的系数行列式(特征行列式)为
展开系数行列式，得特征多项式：
分解因式得:
有两对极点：s1,2 0.7322 j2.8998, s3,4 0.006 j0.038
各函数对基准运动(V0,0,e0,T0)展开泰勒级数并保留一
阶项,得
令 得到力与力矩的线性化描述：
T T0 TV V TT T
L L0 LV V L Lee
D D0 DV V D
Ma

M
a 0

M Va V

M
a
各大导数：
代入传递函数：
传递函数
与
负值，表示负的e产生正和正。
的传递系数均为
对数频率特性
图1V/e：短周期固有频率上的
幅值远小于长周期固有频率上 的幅值，说明短周期响应中 飞行速度的变化很小。
图2 /e：在短周期频率范围内， 的频率特性接近于一个二阶
振荡环节， 主要反映短周期 频率特性。
(二)两种扰动运动模态
短周期模态：，q，对应一对大共轭复根 长周期模态：V，，对应一对小共轭复根
s1,2 0.7322 j2.8998, s3,4 0.006 j0.038
固定翼飞机(或导弹)的纵向扰动运动都具有上述长、短周期
模态的特点。
物理成因:飞机受到外界扰动后，出现不平衡的外力和外力矩，
第三式中忽略动态惯性力矩项和阻尼力矩项，微分方程式变成代数方程 式：
变成二阶系统，且Ze=0
长周期近似传递函数：
代数方程
展开行列式，得：
直接代 入行列 式
可用MATLAB的符号语言求解传递函数
由第三个代数方程式，可得
代入速度V对舵面的传递函数，代入给定数据，得：
V
R R
d
dt
V
d
dt
2.切向方程 1
0
巡航飞行中速度较快，迎角较小；发动机安装角T在飞机上
是一个很小的角度，所以
cos( T ) 1
3.纵向方程
推力远小于重力，第二式中：
所以纵向方程：
mmVddVtddt
T
D G sin
L G cos
得
经拉氏变换，得： 简化后为二阶系统.
分母上有一个积分环节 用q就没有分母上的s了
短周期运动的近似传递函数（续） 常规飞机的升降舵在距重心较远的平尾上，平尾上的舵面
小偏转引起的法向力足以产生较大的纵向控制力矩。
从工程近似的意义上来说，可认为Ze=0，分母上的s消失
传递函数进一步简化为：
接近原点
分母行列式：
各分子行列式为： 求分子的变量的 那一列用方程右 边的列代入
分解为两项之和： 可计算受 扰动时 的响应
经拉氏反变换即得相应的函数。设
得
V、和扰动运动过程
曲线—扰动响应：
可通过d/dt得到q的响 应曲线，与接近
，q变化快—短周期运动
V，变化慢—长周期运动
外力要改变飞行速度是不易的。外力矩改变迎角(包括俯仰角)
比较容易。从飞机方程可知，有迎角扰动：
时，
，q表明飞机的角度运动，Iy小，改变容易，快 V，表明飞机的轨迹运动，G大，改变慢
长周期运动—飞机的沉浮运动
设短周期运动结束后，飞机的航迹倾斜角
为负值，即飞机向下滑
在重力沿轨迹切线方向分力（
长周期固 有频率p
图3 /e ：长、短周期
固有频率上均有相当的数值，
说明无论是以长周期频率
操纵飞机，还是以短周期
频率操纵飞机， 都会产
生相当数量的变化。
短周期s
短周期 固有频 率s
升降舵e脉冲偏转响应
在短周期运动中，V和H的幅值变化很小， 长周期运动中的
幅值几乎为零。 因此可将短周期运动和
Me e

M T
T
或
d q dt

MV V

M

M

M qq

Me e

M T
T
控制力矩
纵向方程描述
归纳纵向4阶状态方程 系数矩阵—
雅可比矩阵
d V dt
XV V
X X XT T
d
dt
Z
1.纵向方程
1）法向方程
d/dt=an的由来：飞机质心速度V
由理论力学，法向加速度an=V2/R，
式中：V -切向速度，R -重心轨迹曲率半径
由于速度为轨迹弧长对时间的导数：V=ds/dt, 微段弧长：s=R, 取微分为：ds=Rd, 因此有：
an
V2 R
V V R
V
1 R
ds dt


M ae e

M
a


M
a q
q
(一)切向动力学方程的线性化
dV

dt

1 (T m
D G sin )
切向加速度：
，

基准运动航迹倾角0=0，故 且
则第一式的线性化方程为
由于有= -， 0=0-0=0，所以有：=- 代入上式：
式中，
XV
X
X
-XБайду номын сангаасT
—无因次速度
Tv，TT可由发动机特性曲线求出
Dv，Da是阻力对速度和迎角的函数，由吹风数据得出
也可写成：
d V dt
XV V
X X XT T
(二)法向动力学方程的线性化
法向加速度为
0
对于等速直线平飞的基准运动有 代入几何关系 得：
ZV V
q Ze e
d q dt

MV V

M

M

Mqq

Me e

MT
T
d q dt
令p=d/dt，可得另一种描述：
式中，Xv，Z，Mq称为大导数（有单位）；
而Cm，CDM，Cl称为小导数（无因次）； 上式虽然是3个等式，描述了一个4阶系统：有4个p=d/dt
阻尼比、振荡频率 时间常数
s,s ，T* —短周期参数
阻尼比、振荡频率 时间常数
以e为输入，为输出的传递函数：
三个传递函数的分母多项 式△(s)即纵向扰动运动 的特征多项式。是两个二 次因式之积，分别代表长 周期和短周期运动模态。
在某些情况下，长周期模
态可能变成一正一负的两
个实根，其中正实根是不

I y
d 2
dt 2
Ma
TzT

，可忽略
二、纵向运动方程的线性化
推力：T=T(V,，T)，与空速、空气密度和油门位置有关 升力：L=L(V,，，e)，与空速、密度、迎角和升降舵偏转
角有关
阻力：D=D(V,，)，与空速、密度、迎角（和升降舵偏转角）
在长周期运动中，飞机重心时升时降，故称为沉浮运动。
区分长短周期对于简化、分析和设计系统有很重要的意义。
四、关于模态的概念
模态，即运动的基本动态形式，是线性时不变系统的固有特性。 线性系统中，一个模态对应一个实根或一对共轭复根，实根对
应单调过程，复根对应振荡过程。同一个模态的扰动响应与跟 踪响应的动态过程相同。 高阶系统有多个模态，各模态相互独立，总的运动是各模态的 线性叠加。 同一个模态各运动参数的幅值有固定的比例关系，各运动参数 之间的相位差也是固定的，并以同一个频率，同一个衰减速率 (或增长速率)运动。（如短周期和q；长周期V和）。 不同的初始条件只影响各模态的系数大小，而不影晌同一模态 中不同运动参数间的幅值比例关系。 飞机的纵侧向运动都用模态的概念来描述，各个模态的数学描 述对应着不同的飞行的基础物理运动。
mV
d dt
T sin( T ) L G cos
Iy
dq dt

M