则μ子在S/系中（实验室）寿命为 Δt /
Δt / =
Δt = 1− v2
c2
2.2 ×10−6 ≅ 5.0 ×10−6 s 1 − ( 0.9c )2
c
实验室观察者看到μ子能走过的距离 Δl
Δl = v × Δt / = 0.9c × 5.0 ×10−6 = 13.5 ×102 m = 1.35km < 8km 所以μ子达不到地面就殒灭了。
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第十六章 狭义相对论
1、一宇宙飞船相对地球以 0.8c（c 表示真空中光速）的速度飞行，一光脉冲从船尾传到 船头。飞船上的观察者测得飞船长为 90m，地球上观察者测得光脉冲从船尾发出到达船 头的空间间隔为多少 ？
解： x 2
− x1
=
x/ 2
−
x/ 1
+
v(t 2 /
1− v2
−
t/ 1
3
c2
（2） 乙测得 E0 = m0c2 = 1× (3×108 )2 = 9 ×1016 J
甲测得 E = mc2 = 5 × (3×108 )2 = 1.5 ×1017 J 3
（3） 甲测得， ρ = m =
5 3
×
m
0
=
5 3
= 25 m 0
l
l0
1− v2 c2
( 4 c) 2
l0 ×
1−
5 c2
t2
− t1
=
t2/
−
t
/ 1
+
v c2
(x 2/
− x1/ )
1− v2
c2
已知： x 2 /
−
x
/ 1
= l0
，
t2/
−
t
/ 1
=
l0 v0
所以
t2
− t1
=
( l0 v0
+u c2
l0 )
=
l0
(1 +
u c2
v0 )
1− v2 c2
v0
1− v2 c2
53
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7、放射性物质的原子放射出两个沿相反方向运动的电子。在实验室中测出每个电子的 速率为 0.60c，今以一个电子为参照系，求另一个电子的速率为多大？ 解：设实验室为S系（地球），向右运动电子（1）为S/系，（1）电子相对于实验室运动的 速 度 为 v=0.6c ， 向 左 运 动 电 子 为 运 动 物 体 ，（ 2 ） 电 子 相 对 于 实 验 室 运 动 速 度 为
解：（1）设原长 l / 则
y / = x / tg300 y = xtg450 y = y/
x / tg300 = xtg450 = x / 1 − v2 tg450 c2
v = 2c 3
（2） L = x 2 + y2 = x / 2 (1 − v2 ) + (x / tg300 )2 （ x / = cos 300 ） c2
= x / 2 = 1× cos 300 × 2 = 0.707m
3
3
4、在惯性系 S 中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生Δt=2 秒。 而在另一惯性系 S'中，观测第二事件比第一事件晚发生Δt'=3 秒。求： （1）S'系相对于 S 系的运动速度为多少？ （2）在 S'系中发生两事件的地点之间的距离是多少？
解：（1）
l = l0
1− v2 c2
= 1×
1 − ( 0.8c )2 = 0.6m c
（2） Δt =
Δt 0 = 1− v2
c2
10
= 16.7s
1 − ( 0.8c )2
c
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3、一辆小车以速度v行驶，车上放一根米尺，并与水平方向成 300。在地面上观察者， 测得米尺与水平方向成 450，求： （1）小车的速度； （2）地面上观察者测得米尺长度为多少？
mc2 = 2m0c 2
m =2= m0
1 1− v2
c2
v= 3c 2
12、某一宇宙射线中的介子的动能Ek=7M0C2，其中M0是介子的静止质量。试求实验室中 观察者测得介子的寿命是它固有寿命的多少倍？ 解： E K = E − E0 = 7E0
E = 8E 0
E = m =8= E0 m0
1 1− v2
)
=
90 + 0.8c × 90 c
1− 0.82
= 270m
c2
2、B 观察者以 0.8c 的速度相对于 A 观察者运动。B 带着一根 1m 长的细杆，杆的取向 与运动方向相同，在杆的一端相继发出两次闪光，其时间间隔在他的计时标度上看是 10s，求： （1）A 测得此杆的长度是多少？ （2）A 测得再次闪光的时间间隔有多长？
c2
τ τ= 0
1− v2 c2
τ= τ0
1 =8 1− v2
c2
56
6、静止长度为 l0 的宇宙飞船，以速度u相对于地面作匀速直线航行。有个小球从飞船的
尾部运动到头部，宇航员测得小球的速度恒为V0。求： (1) 宇航员测得小球从飞船尾部到头部所需要的时间； (2) 地面观察者测得小球从飞船尾部到头部所需要的时间。
解：（1）宇航员在自身的参照系测量
t'= l0 V0
（2）由洛仑兹变换，小球相对地面观察者所需时间
x2 − x1
700 − 100
（2）当迎面飞来时 当背面飞来时
vB
=
−vA − v 1+ vAv
=
−0.75c
=
−2.25×108 m / s
c2
vB
=
−vA + v 1− vAv
=
0.125c
= 3.75×107 m / s
c2
54
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9、观察者乙以 4 c 的速度相对于静止的观察者甲运动，求： 5
解：（1） Δt / =
Δt 1− v2
c2
（2）
1− v 2 = Δt = 2 c 2 Δt / 3
v= 5c 3
x/ B
−xA/
=
xB
−xA
− v(t B
− t A)
0− =
5 c×2
3
=−
5c = − 6.7 ×108 m
1− v2 c2
1−( 5 )2 3
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5、静止的μ子的平均寿命均为 2.2×10-6s，今在 8km高空的宇宙射线中产生了一个速度 为 0.9c的μ子。问此μ子能不能到达地面？ 解：设 S 为与 u 子联系的坐标系，μ子在 S 系中寿命 Δt = 2.2 ×10−6 s
解：（1） E k = mc 2 − m e c 2 == 5.471×10 3 J,
v = 0.999999983c
Δv = c − v = 5.1m / s
（2） p =
m 0 v = 1.495×10 −18 kgm / s 1− v2
c2
（3） Fn
= m v2 R
=
m0 1− v2
c2
v 2 = 1.87 ×10 −12 N R
（1）乙带质量为 1kg 的物体，甲测得此物体质量为多少？ （2）乙测得的物体总能量为多少？甲测得物体总能量为多少？
（3）乙带一长为 l0 ，质量为 m 的棒，这根棒安放在运动方向上，求甲、乙分别测得该
棒的密度是多少？
解：（1）
m = m0 =
1
= 1 2 公斤
1− v2 c2
( 4 c)2 1− 5
9 l0
10、在北京正负电子对撞机中，电子可以被加速到动能为 E k = 2.8×109 eV 。问：
(1) 这种电子的速率和光速相差多少 m/s？ (2) 这样的一个电子动量为多大？ (3) 这种电子在周长为 240m 的储存环内绕行时，它受到的向心力多大？需要多大的
偏转磁场？（已知电子静止质量 me = 9.11×10−31 kg, 电子电量 e = 1.602×10−19 C ）
ux = −0.6c 。取向右为正方向。则电子（2）相对于电子（1）即S/系的运动速度为 u x /。
ux/
= ux − v
1−
v2 c2
ux
= −0.6c − 0.6c 1 − 0.6c × (−0.6c) c2
≈ −0.88c
8、飞船B相对飞船A作匀速直线运动。飞船A中的宇航员测得两事件的时空坐标分别为 x1=100m，t1=2×10-7s和x2=700m，t2=1×10-6s，而飞船B中的宇航员测得这两事件同时发 生。求：
（1）飞船 B 相对于飞船 A 的速度。 （2）如飞船 A 中的宇航员突然发现一火箭飞来。并测得其速度为 0.5c，则飞船 B 中的 宇航员测得火箭的速度为多少？
解：（1） t B /
−
tA/
=
tB
−
tA
−v c2(Fra bibliotek 21− v2
−
x1)
=0
c2
v = t B − t A c2 = (10 − 2) ×10−7 × 9 ×1016 = 1.2 ×108 m / s
又 F = evB
∴ B = Fn = 0.04T ev
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11、（1）当粒子动量等于非相对论动量的两倍时，则粒子速度为多少？
（2）当粒子动能等于它的静止能量时，则粒子速度又为多少？
解：（1） mv = 2m 0 v
m =2= m0
1 1− v2
c2
v= 3c 2
（2） E k = m0c 2 = mc2 − m0c 2