第十七章 量子物理基础1、 某黑体在某一温度时，辐射本领为5.7W/cm 2，试求这一辐射本领具有的峰值的波长λm ？解：根据斯忒藩定律 )K m J 1067.5(T )T (E 3284⋅⋅⨯=σσ=-得 4)T (E T σ= 再由维恩位移定律 )K m 10898.2b ( b T 3m ⋅⨯==λ- m 1089.21067.5107.510898.2)T (E bTb68434m --⨯=⨯⨯⨯=σ==λ2、在天文学中，常用斯特藩—玻尔兹曼定律确定恒星半径。

已知某恒星到达地球的每单位面积上的辐射能为28m /W 102.1-⨯，恒星离地球距离为m 103.417⨯，表面温度为 5200 K 。

若恒星辐射与黑体相似，求恒星的半径。

解：对应于半径为m 103.417⨯的球面恒星发出的总的能量 21R 4E W π⋅= 则恒星表面单位面积上所发出能量E 0为22122120rR E r 4R 4E r 4WE =ππ=π= （1）由斯忒藩定律 40T E σ= （2） 联立（1）、（2）式得 m 103.75200103.41067.5102.1T R E r 92178821⨯=⨯⨯⨯=σ=--3、 绝对黑体的总发射本领为原来的16倍。

求其发射的峰值波长λm 为原来的几倍？ 解：设原总发射本领为E 0,温度T 0,峰值波长0λ，则由斯忒藩-波耳兹曼定律可得 4040T 16T E 16E σ=σ==21T T 161)T T (040==∴又 由位移定律 b T m =λ可得 21T T 00m ==λλ∴4、从铝中移出一个电子需要4.2eV 的能量，今有波长为200nm 的光投射到铝表面上，问：（1）由此发射出来的光电子的最大动能为多少？ （2）遏止电势差为多大？ （3）铝的截止波长有多大？ 解：由爱因斯坦方程 A E h k +=ν（1）eV 01.22.4106.1100.21031063.6A hc A h E 197834k =-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-λ=-ν=--- （2）由光电效应的实验规律得0k eU E = （U 0为遏止电势差）V 01.2101.2e E U K 0===（3）00hch A λ=ν= m 10958.2106.12.41031063.6A hc 7198340---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==λ∴5、 以波长为λ=410nm 的单色光照射某一光电池，产生的电子的最大动能E k =1.0eV ，求能使该光电池产生电子的单色光的最大波长是多少？ 解：爱因斯坦光电效应方程，A E h K +=ν λ=νh 得)1(A E hcK +=λ按题意最大波长时满足 0E K = 得)2(A hc =λ则（1）、（2）得hcE 11K 0=λ-λ 即 6348197K 01064.11063.6103106.1101.41hc E 11⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯=-λ=λ--- 故最大波长 nm 7.6090=λ6、一实验用光电管的阴极是铜的（铜的逸出功为4.47eV ）。

现以波长0.m 2μ的光照射此阴极，若要使其不再产生光电流，所需加的截止电压为多大？ 解：由爱因斯坦方程A E hcK +=λ及0K eU E =得V 74.147.4106.1102.01031063.6A hc e 1U 1968340=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ=---7、在与波长为0.01nm 的入射伦琴射线束成某个角度θ的方向上，康普顿效应引起的波长改变为0.0024nm ，试求： （1）散射角θ；（2）这时传递给反冲电子的能量。

解：（1）由康普顿散射公式 2sin c m h 220Φ=λ∆21103101.91062.62024.0c m h 22sin 8313402=⨯⨯⨯⨯=λ∆=Φ-- 212sin =Φ0090452=Φ=Φ∴ （2）碰撞时可以看作完全弹性碰撞，所以能量守恒 e 0E h h +ν=ν)10124.0110024.01(1031063.611hc hchc h h E 1010834000e ---⨯-⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λ=λ-λ=ν-ν=)eV (1041.210856.5419⨯=⨯=-8、在康普顿散射实验中，已知初始波长为0.005nm 而光子是在900角下散射的。

试求： （1）散射后光子的波长； （2）反冲电子的动量。

解：（1）由康普顿散射公式 2s i n c m h 2200Φ=λ-λ nm 00742.0290sin 1031011.91063.6205.02sin c m h 2283434020=⨯⨯⨯⨯⨯+=λ+Φ=λ--（2）由于光子散射角为2π， 由动量守恒：P P P P P P 0e e 0-=+=22220220e 11h h h P P P ⎪⎭⎫ ⎝⎛λ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ=⎪⎭⎫ ⎝⎛λ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ=+= )s /m kg (1059.11007456.011005.011062.62221021034⋅⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=----9、氢原子从n=3能级跃迁到n=2能级时，发出光子能量为多大？此光的波长是多少？ 解：由波尔氢原子假设，发射光子能量νh 为 23E E h -=ν)eV (n6.13E 2n -=由第三级迁移到第二级 )eV (89.14.351.1)26.13(36.13h 22=+-=--=νλ=ν=hch E 又nm 656m 10560.6106.189.11031062.6E hc 919834=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==λ∴---10、处于第一激发态的氢原子被外来单色光激发后，发射光谱中仅观察到三条巴耳末系的光谱线，试求：（1）这三条光谱线中波长最长的那条谱线的波长； （2）外来光的频率。

解：（1）巴耳末系是m=2的谱线系，所以发射谱线波长为↓λ↑→--=λ=ν2n 2n E E E E chhm 10577.6106.1)51.14.3(1031063.6E E hc 71983423---⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=λ∴ Hz 1091.6341063.6106.1)4.354.0(h E E )2(141925⨯=-⨯⨯⨯+-=-=ν-11、将氢原子从n=1激发到n=4的能级时，求： （1）氢原子所吸收的能量为多少？（2）若一群已处于n=4激发态的氢原子回到基态，在这过程中发出的光波波长最短为多少？（3）最多可观察到几条光谱线？ 解：（1）eV 75.126.1385.0E E E 14=+-=-=∆ （2）最短波长为n=4跃迁n=1m 1075.9106.175.121031063.6E E hc 81983414---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-=λ∴ （3）共6条n=4n=3n=2n=112、求下列粒子相应的德布罗意波长（1）一质量为4×10-2kg 以103m/s 的速率飞行的子弹； （2）动能为0.025eV 的中子； 解：（1）实物粒子波长与动量关系为m 1065.1101041063.6mv h P h 353234---⨯=⨯⨯⨯===λ（2）对eV 025.0E K =的中子，271068.1m -Φ⨯=m 1081.1106.1025.01068.121063.6mE 2hP h 10192734K----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===λ13、能量为15eV 的光子，被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子所吸收而形成一光电子求：（1）当此光电子远离质子时的速度为多大？ （2）它的德布罗意波长是多少？ 解：（1）处于基态的电子电离所需的能量为13.6eV ，因此该电子远离质子时的动能eV 4.16.1315E E mV 21E 2K =-=+==基光 其速度为 s /m 100.71011.9106.14.12mE 2V 53119K⨯=⨯⨯⨯⨯==--（2）德波罗意波长nm 04.1m 1004.1100.71011.91063.6mv h 953134=⨯=⨯⨯⨯⨯==λ---14、一束带电粒子经206V 的电势差加速后，测得其德布罗意波长为0.002nm ，已知这带电粒子所带电量与电子电量相等，求这粒子的质量。

解：因为这粒子的电量与电子电量e 相同，从加速电场获得动能为eU meU2V eU mV 212==∴ 又德波罗意波长mvh =λ e m U 2h=λ∴ 得 ()kg 1067.1)1002.0(206106.121063.6eU 2h m 272101923422----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=λ=15、电子和光子各具有波长0.20 nm ，它们的动量和总能量各是多少？ 解：电子和光子的动量相等s /m kg 1032.3102.01063.6h P 24934⋅⨯=⨯⨯=λ=--- 光子的总能量eV 1019.6102.01031063.6hc h E 39834⨯=⨯⨯⨯⨯=λ=ν=-- 电子的总能量()eV 1012.5)c m (pc E 522e 2⨯=+=16、若电子运动速度与光速可比拟，则当电子动能等于它的静止能量的2倍时。

求其德布罗意波长为多少？解：由题意可得 2e K C m 2E = 又根据相对论的能量关系可得 22e K 2)c m E (E +=()22e 2222e )c m 3(c p c m =+=22e 2c m 8p =∴c m 22p e =m 1058.8103101.9221063.6c m 22h p h 1383234e ---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===λ17、用一台利用光子的显微镜来确定电子在原子中的位置达到0.050nm 以内，问用这种方法确定电子的位置时，电子的速度不确定量是多少？ 解：由测不准关系式h p x ≥∆⋅∆ h v m x ≥∆⋅∆∴s /m 105.11011.9105.01063.6m x h v 7311034⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅∆=∆---18、电视机显象管中电子的加速电压为9 kV ，电子枪枪口直径取0.5 mm ，枪口离荧光屏距离为0.30 m 。

求荧光屏上一个电子形成的亮斑直径。

这样大小的亮斑会影响电视图象的清晰度吗？ 解：根据公式U225.1emU2h ≈=λ得nm 0129.09000225.1U 225.1===λ由单缝衍射中央亮斑直径的公式m 1055.1105.030.0100129.02a f 28390---⨯≈⨯⨯⨯⨯=λ=∆x 不会影响电视机图象的清晰度（或者用相对论的公式计算波长）19、一束具有动量为p的电子，垂直地射入宽度为a 的狭缝，若在狭缝后面与狭缝相距为f 的地方放置一块荧光屏，求屏幕上衍射图样中央最大强度的宽度 0为多少？ 解：电子的波长为 ph=λ 由单缝衍射公式可得 pahf2a f 20=λ=l20、已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动。