2013年广东高考数学试题及答案(理科)一、选择题1． 设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈}，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈}，则M ∪N ＝( ) A ．{0} B ．{0，2}C ．{－2，0}D ．{－2，0，2}1．D [解析] ∵M ＝{－2，0}，N ＝{0，2}，∴M ∪N ＝{－2，0，2}，故选D.2． 定义域为的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2 sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．C [解析] 函数y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．3． 若复数i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2，4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4，2)3．C [解析] 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈，则i z ＝i(a ＋b i)＝－b ＋a i ＝2＋4i ，解得b ＝－2，a ＝4.故在复平面内，z 对应的点的坐标是(4，－2)，选C.4． 已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )＝( ) A.32 B ．2 C.52D ．3 4．A [解析]E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32，选A.5． 某四棱台的三视图如图1－1所示，则该四棱台的体积是( )图1－1A ．4 B.143C.163D ．6 5．B [解析] 棱台的上底、下底分别是边长为1和2的正方形，高为2，故V 台＝13(S 上＋S 上S 下＋S 下)h ＝143，故选B.6．、 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β6．D [解析] ∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又n ∥β，∴α⊥β，故选D.7． 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 7．B [解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由题知：c ＝3，e ＝c a ＝32，解得a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，故C 的方程是x 24－y 25＝1.8． 设整数n ≥4，集合X ＝{1，2，3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( )A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉SB ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈SC ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∈SD ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S8．B [解析] 方法一，特殊值法：不妨令x ＝2，y ＝3，z ＝4，w ＝1，则(y ，z ，w )＝(3，4，1)∈S ，(x ，y ，w )＝(2，3，1)∈S ，故选B.方法二，直接法：因为(x ，y ，z )∈S ，(z ，w ，x )∈S ，所以x <y <z …①，y <z <x …②，z <x <y …③三个式子中恰有一个成立，z <w <x …④，w <x <z …⑤，x <z <w …⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w <x <y <z ，于是(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S ；第二种：①⑥成立，此时x <y <z <w ，于是(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，z )∈S ；第三种：②④成立，此时y <z <w <x ，于是(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S ；第四种：③④成立，此时z <w <x <y ，于是(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S .综合上述四种情况，可得(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S .9． 不等式x 2＋x －2<0的解集为________．9．{x |－2<x <1} [解析] x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1.故不等式的解集是{x |－2<x <1}．10． 若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________．10．－1 [解析] ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，故k ＝－1.11． 执行如图1－2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．图1－211．7 [解析] 1≤4，s ＝1＋0＝1，i ＝2；2≤4，s ＝1＋1＝2，i ＝3；3≤4，s ＝2＋2＝4，i ＝4；4≤4，s ＝4＋3＝7，i ＝5；5>4，故输出s ＝7.12． 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________．12．20 [解析] 方法一：a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，而3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋a 1＋6d ＝2(2a 1＋9d )＝20.方法二：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20.13． 给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上取值最大值或最小值的点}．则T 中的点共确定________条不同的直线．13．6 [解析] 由题画出不等式组表示的区域如图阴影部分，易知线性目标函数z ＝x ＋y 在点(0，1)处取得最小值，在(0，4)或(1，3)或(2，2)或(3，1)或(4，0)处取得最大值，这些点一共可以确定6条直线．14． (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，则l 的极坐标方程为________．14．ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 [解析] 曲线C 的参数方程化为普通方程是x 2＋y 2＝2，点(1，1)在曲线上，易求得过(1，1)作圆C 切线的方程是：x ＋y ＝2，其极坐标方程是ρ(cos θ＋sin θ)＝2，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. 15． (几何证明选讲选做题)如图1－3所示，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________．图1－315．2 3 [解析] 由题知∠ACB ＝90°，又BC ＝CD ， ∴AD ＝AB ＝6，∠BAC ＝∠CAE ，∴AE ＝AD －ED ＝4. ∵CE 为切线，∴∠ACE ＝∠ABC .∴∠ACE ＋∠CAE ＝∠ABC ＋∠BAC ＝90°. 在△ACD 中，∠ACD ＝90°，CE ⊥AD ， ∴CD 2＝ED ·DA ＝12，解得CD ＝2 3，故BC ＝2 3. 16． 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈ (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3.16．解：17． 某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图1－4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值：(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．1 7 92 0 1 5 3图1－417．解：18． 如图1－5(1)，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点，将△ADE 沿DE 折起，得到如图1－5(2)所示的四棱锥A ′－BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值．图1－518．解：19． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈*.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.19．解：20． 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．20．解：21． 设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈)． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M . 21．解：。