2007年全国初中数学竞赛试题
班级 座号 姓名 成绩 一、选择题（共5题，每小题6分，共30分）
1、方程组12
6
x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的实数解的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。

现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
A ．14
B ．16
C ．18
D ．20
3、已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程
2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实数根，则
222
a b c bc ca ab
++的值为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4、已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且AB 、AC 分别相交于点D 、E ，若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心
5、方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．3
D ．无穷多
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6、如图，点A 、C
都在函数(0)y x x
=
>的图象上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 . 7、如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，CA= 4，点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）
分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是
.
8、如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G = n ·90°，则n = . 9、已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），若二次函数2(3)3y x a x =+-+的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 . 10、已知对于任意正整数n ，都有312,n a a a n ++
+=
则
2310011
111
1
a a a +++
=--- .
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
11、已知抛物线C 1：234y x x =--+和抛物线C 2：234y x x =--相交于A ，B
两点。

点P 在抛物线C 1上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线C 2上，也位于点A 和点B 之间。

（1）求线段AB 的长；
（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值。

12、已知a，b都是正整数，试问关于x的方程21
()0 2
x abx a b
-++=是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。

13、如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足
DE AD
CF BC
=. 若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD。

求证：
（1）AD PD
BC PC
=；（2）△PAB∽△PDC.
14、（1）是否存在正整数m ，n ，使得(2)(1)?m m n n +=+
（2）设k （k ≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得
()(1)?m m k n n +=+
11
12
13。