2018年全国初中数学联合竞赛
笫一试
一、选择题(42分)
1.已知a=2-1,b=22-6,c=6-2,那么a 、b 、c 的大小关系是( )
(A)a<b<c. (B)b<a<c. (C)c<b<a. (D)c<a<b.
2.若m 2=n+2,n 2=m+2(m ≠n),则m 3-2mn+n 3的值为( )
(A)1. (B)0. (C)-1. (D)-2.
3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1所示,并设
M=丨a+b+c 丨-丨a-b+c 丨+丨2a+b 丨-丨2a-b 丨,则( )
(A)M>0.(B)M=0.(C)M<0.(D)不能确定M 为正、为负或为0.
4.Rt ΔABC 的面积为120,且∠BAC=900,AD 是斜边上的中线,
过点D 作DE ⊥AB 于点E,连CE,交AD 于点F,则ΔAFE 的面积等于( )
(A)18.(B)20.(C)22.(D)24.
5.如图2,⊙O 1与⊙O 2外切于点A,两圆的一条外公切线与
⊙O 1相切于点B.若AB 与两圆的另一条外公切线平行,
则⊙O 1与⊙O 2的半径之比为( )
(A)2∶5.(B)1∶2.(C)1∶3.(D)2∶3.
6.如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数时,n+1都能表示成k 个完全平方数的和,那么k 的最小值为( )
(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.
二.填空题(28分)
1.已知a<0,ab<0,化简:3231
+----a b b a =_________________.
2.如图3,7根圆形筷子的横截面圆半径为r,
则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为________.
3.甲,乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相同,
且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费
了172元,则其中单价为9元的商品有_______件.
4.设N=23x++92y 为完全平方数,且N 不超过2392,则满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有_____对.
笫二试(A)
一.(20分)已知a,b,c 三数满足方程组:
，试求方程bx 2+cx-a=0的根.
二.(25分)如图4,等腰ΔABC中,P为底边BC上任意一点,过P作
两腰的平行线分别与AB,AC相交于Q,R两点,又P‘是P关于
直线RQ的对称点。

求证：（1）ΔP /QB∽ΔP /RC.(2)点P /在ΔABC的外接圆上.
三.(25分)试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2+(r+2)x+3r-2=0有根且只有整数根.
参考答案
一.
1.分子有理化,得a= 282+,b=682
+ ,c=262
+,知b<a<c.
2.两式相减,并分解因式,得(m-n)(m+n+1)=0(m ≠n),所以m+n=-1.
两式相加,得(m+n)2-2mn=(m+n)+4,代入m+n=-1,可得mn=-1.
所以原式=(m+n)[(m+n)2-3mn]-2mn= -2.
3.由图知,x=1时,y<0,即a+b+c<0;x=-1时,y>0,即a-b+c>0.
又a>0,0<-a
b 2<1,所以b<0,2a-b>0,-b<2a,2a+b>0. 所以原式=-2(a-b+c)<0.
4.如图,易证DE 是ΔABC 的中位线.
所以S ΔBED =41S ΔABC =30,S 梯形EACD =90,且S ΔEFD =4
1S ΔAFC , S ΔAFE =S ΔCFD .设S ΔAFE =S ΔCFD =x,S ΔEFD =y,S ΔAFC =4y.由S ΔEDF ∶S ΔEAF =DF ∶FA=S ΔCDF ∶S ΔCAF ,得 ,得S ΔAFE =x=20.
5.连结CA,CB,CO 1,DO 2,O 1O 2,作O 1E ⊥DO 2.
由AB ∥CD,易证∠PCB=∠CAB,∠PCB=∠CAB,
AB=AC,ΔABC 是正Δ.
从而∠EO 1O 2=300, EO 2∶O 1O 2=1∶2,
即 (R-r)∶(R+r)=1∶2, r ∶R=1∶3.
6.设3n+1=a 2(a 是整数),则3不能整除a.
(假设3整除a,则a=3m,m 是整数,3n+1=9m 2,n=3m 2+
31,与n 是整数矛盾). 于是可设a=3t ±1(t 是整数),
所以3n+1=9t 2±6t+1,n=3t 2±2t,
所以 n+1=t 2+t 2+(t ±1)2.可见k 最小为3.
例如:n=8时,3n+1=25,n+1=9=12+22+22.
n=23 时,3n+1=64,n+1=24=22+22+42.
二.
1.由题设知,b>0,a-b-32<0,b-a+3>0.易得原式=
15323+. 2.如图,设A 、B 、C 为切点,则BC=2r,∠AOB=3600-1200-900-900=600。

所以 =π3
1
r 。

所以所求长度为 6(BC+)=12r+2πr.
3.设甲,乙都买了n件,其中8元的共x件,9元的共y件(n,x,y均为整数),则
,所以, 9≤n≤10 ,n=10.
所以y=172-16n=12.
4.已知N=23(x+4y)为完全平方数,23为质数.所以可设x+4y=23×m2(m为整数)。

所以N=232×m2≤2392,m≤5,从而m2=1或4.
若m2=1,则x+4y=23,x=23-4y>0,y<5 ,y=1、2、3、4、5.
若m2=4,则x+4y=92,x=92-4y>0,y<23,y=1、2、3、4、5、6、7、8……22.
其中y的前5个值与m=1时y的相同。

所以合条件的正整数对(x,y)共有22对.
笫二试(A)
一.由题设得錒，a+b=8,ab=48+c2-82c
所以a、b是方程y2-8y+c2-82c+48=0的两个实数根.
由Δ≥0可得(c-42)2≤0,可知c=42
所以a+b=8,ab=16,a=b=4.
于是原方程为4x2+42x-4=0,x=
26
2±
-。

二.
证明:(1) ΔABC是等腰三角形,QP∥AC,RP∥AB.
∴∠ABC=∠ACB,∠ABC=∠RPC,∠ACB=∠QPB.
∠ABC=∠QPB,∠ACB=∠RPC.
∴ QB=QP,RP=RC.
P与P /关于RQ对称.
∴ QP=QP /,RC=RP /.
∴ QB=QP=QP /,RC=RP=RP /.
∴点B、P、P /在以点Q为圆心的圆上,
点C、P、P /在以点R为圆心的圆上, ∴∠P /QB=2∠P /PB=∠P /RC.
∴等腰ΔP /QB∽等腰ΔP /RC.
(2)连P /A
由等腰ΔP /QB∽等腰ΔP /RC,得∠ABP /=∠ACP /. ∴点P /,B,C,A四点共圆.
∴点P /在ΔABC的外接圆上.
三、若r=0,则方程为2x-2=0,有正整数根x=1. 若r ≠0,设正整数根x 1≤x 2,则r r x x 221+-=+ ①，r r x x 2321-= ② ②- ①,得 x 1x 2-(x 1+x 2)=4,变为(x 1-1)(x 2-1)=5. 或 , 解得x 1=2,x 2=6 或x 1=-4,x 2=0.代入①,得r=- 或 r=。

综上:r=0,- , .。