汽车公司的最佳生产方案摘要本文针对汽车公司的最佳生产方案做了深入的研究，根据生产两种不同型号货车在生产条件与标准成本影响下的数量与其最终的毛利润的关系可知该问题是一类基于非线性优化的策略问题。

对此，本文建立了多种非线性优化模型进行讨论求解。

首先，我们分析了题目的涵与要求，对其中的表格与数据做了一些综合分析，明白A101型货车的生产数量与成本呈反比，即在生产到一定数量的A101型货车后，公司的毛利润会逐渐增加。

目标因素就是毛利润的最大化，所以本文的基本思路就是解决在满足约束条件下对生产A101型货车的增产的问题。

对于问题A（1），分析表格数据知道其生产能力应该与每个车间各自的产量成正比，而又与管理费用成反比，所以可以根据固定管理费用在每种货车上单位车辆的分摊确定目标函数。

而在不同车间的生产能力限制其生产数量，即为模型的约束条件。

通过LINGO 编程求得公司应该月生产A101型货车2048辆，生产A102型货车632辆，可以得到月毛利润为530125.4元。

对于问题A（2），在问题A（1）以及数据处理阶段的基础上，首先对模型进行了适当的简化处理，把非线性问题转换成线性问题。

若将题中的固定管理费用的分摊与可变管理费用的变化设置在一种满负载时的合理情况下，即可将这种情况下的常量代替目标函数中的变化管理费用，于是可以将问题转为单纯毛利润与各个车间生产能力，即生产数量的关系，使模型成为简单的线性规划问题，针对第一问再次应用简化的线性模型后发现两种货车的生产数量保持不变，只是月毛利润减小为450600元。

而后应用线性模型求解“外包加工”方案问题，保持A102型货车产量不减的前提下，增加发动机装配车间的生产能力，由总体分析知，A101型越多，毛利润越高，故只需达到冲床机床的最大限制即是获利最大的时候，建立线性约束模型后求解得通过“外加包工”使发动机的装配能力增加相当于1428辆A101型货车时的费用F应小于毛收益的值568400元，才可以接受。

也就是针对每辆A101型的“外包加工”费不得超过135.7元，而对于每辆A102型不得超过212.3元。

对于问题B，通过加班增加了A101型货车的生产量，相应的这部分的劳动费用也提高了，管理费用也增加，但考虑到对比与联系问题A中的结果，可以把管理费用当成固定的，另外，原来的生产成本不变，故只需考虑增加生产A101型货车的数量即可，从而简化问题，以增量为目标函数建立线性模型，求解得通过加班每月增加生产1095台A101型货车时（总生产量为1428辆），毛利润增加最大，其值为179000元，通过对比合理安排生产计划就可以淘汰加班的方案，其效果不如合理安排生产计划好。

最后，本文对三个不同方案效果做了纵向对比中，列出表格分析并结合实际做了模型可行性与优缺点的评价，提出了模型的改进方案，对模型进行了简单的推广。

关键词：非线性优化；线性规划；毛利润；汽车生产计划一、问题的提出和重述1.1问题的提出生产车间的装配任务问题是一个公司盈利过程中所不可缺少的安排。

南洋汽车公司生产2种型号货车：A101型和A102型，为完成这两种车型生产，公司设有4各车间。

在上表中，对冲压车间和发动机装配车间来讲，分别表示单位生产某一车型时的月生产能力。

如果同时生产两种车型，生产的数量应相应减少。

例如，对发动机装配车间而言，单生产A101型时，月生产能力为3300辆。

若同时要生产A102型时，A101的产量应相应减少，即每生产1辆A102型，相应地，在原来产量的基础上，A101型的产量减少2辆。

冲压车间的情况也类似。

当前的市场情况是：A101型售价为2100元，A102型为2000元，且在这样的价格下，不管生产多少辆货车，都能售出。

根据前6个月的销售情况，A101型的销售为每月333辆，A102型为每月1500辆。

此时，A102型装配车间和发动机车间已在满负荷情况下运行，而冲压车间和A101型装配车间能力还未充分发挥出来。

在每月举行的计划会议上，公司总裁对上半年的报表中所列出的经营情况甚为不满。

销售部门经理认为，销售A101型货车无利可图，一次建议A101型货车停产。

财务部门经理认为，A101型货车销售量太小，因此分摊给每辆车的固定成本大。

因此，应增加A101型货车的产量，与此同时，适当减少A102型货车的产量。

生产部门经理认为，在不减少A102型货车产量的情况下，以适当的价格，通过其他厂商的协作，即外包加工，增加发动机的装配能力，从而增加A101型的产量，这也许是最好的方案。

1.2问题的重述问题A：在公司现有条件下，公司老板考虑如何使盈利最大化，故需要知道：（1）在现有资源的条件下，怎样安排生产最为合理？（2）如果可以通过“外包加工”增加发动机的装配能力，怎样的“外包加工”费是可以接受的？问题B：老板考虑用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力。

假设加班后，发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，而直接劳动力费用提高50％，加班的固定管理费用为40000元，可变的管理费用仍保持原来数值。

则加班的方法是否值得采用？二、问题的分析经过分析，认为该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题。

汽车公司要制定一套合理的生产计划，需要考虑的约束条件主要来自三个方面：第一，公司各生产车间生产能力的限制；第二，市场对于产品的需求量的限制，但由题意知可以忽略该因素的影响；第三，A101和A102两种类型的汽车由于销售量的不同，导致了对固定成本的分摊不同，直接影响了各自标准成本的大小。

分析题意后可知约束条件是非线性的，所以该问题是一个非线性规划问题。

针对问题A（1）：因为毛利润=销售收入-成本（加工材料费+人工装配费+可变管理费+固定管理费），所以要想实现盈利，就要减少成本。

而每辆车成本和生产总量有反比关系，所以要降低每辆车成本，就需要提高生产总量。

我们对问题描述中的三表分析得出，前六个月A101型车的售价为2100元，而其成本却为2191元，这表示每卖出一辆A101型车，就要亏损91元。

从上面对公式的分析可以找出其原因是由于A101型生产量太小，导致每车成本高于其售价，如果增加A101的产量，使得成本降低，那么就会产生盈利。

因此可以否定销售部门经理停产A101型车的建议。

针对问题A（2）：根据题意我们认为在公司现有的生产基础上“外包加工”出A101型的发动机装配，也就是说公司本身保持333辆A101型和1500辆A102型的生产量，其中的加工费应该为对外公司的支付金额，而为了更好的收益，相当于公司部合理安排加工计划的方案时必须保证支付金额的数量应该远小于毛利润，才能考虑采用“外包加工”的方案，而不是部合理安排加工计划。

针对问题B：由于用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力，所以加班后，发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，而直接劳动力费用提高50％，加班的固定管理费用为40000元，可变的管理费用仍保持原来数值。

其中的加班费应该为发动机装配车间加班所产生的费用，因此可以在问题A（1）的模型的基础上得出该问题的约束方程，然后对比加班与其他方案的经济效益优劣性确定是否采用加班的方案。

三、模型假设1）.每个车间的生产能力之比即为该车间的产量之比；2）.每个车间的生产以及装配环节是相互独立，互不影响的；3）.两种类型货车标准费用里的直接材料费用和直接劳力费用都是不变的，仅仅是管理费用发生变化；4）.在当前市场的情况下，无论生产多少辆货车总能卖出；5）.在全部车间都满负荷工作时的标准成本情况同题中介绍的这种情况。

四、符号及变量说明Z：公司月毛利润；C ： 公司月销售额；(1,2)i s i =： 货车的售价，1i =时代表A101型货车，2i =时代表A102型货车； B ： 标准成本；(1,2)i M i =： 每辆货车的直接材料费用；(1,2)i L i =： 每辆货车的直接劳力费用； (1,2)i G i =： 每辆货车的管理费用；(1,2)i x i =： 货车的生产数量。

五、模型的建立和求解5.1对于问题A （1）的模型及其求解出于对题意的理解，该问题所要解决的就是在公司现有条件下对生产A101型与A102型货车的数量分配，即是非线性规划模型里的优化问题。

由题目表格数据分析得，发动机装配车间生产一辆A101、A102型货车的能力大小是不同的，为2：1，该比例恰好是3300：1667=1.98：1≈2：1。

同样，对于冲压车间而言生产甲乙型车的能力大小是2500：3500=1：1.4。

而两种类型货车的标准成本均有三种成本构成：直接材料费用，直接劳动费用，管理费用。

公司管理费用是由不变管理费用和随生产量不同而改变的可变管理费用组成。

其中直接材料费用和直接劳力费用两种费用已经由题中表格给出，我们主要来分析管理费用。

由表格分析得，冲压车间不变管理费用分摊在A101型货车和A102型货车的费用分别为96元和69元，其比例约等于1.4:1；发动机装配车间的不变管理费用的分摊分别为25元和51元，其比例约等于1:2，对比不变管理费用的分摊情况与车间生产能力的比例可以看出各车间生产车辆的能力与该车间固定管理费用在每一辆车上的分摊成反比，即对于A101型货车来说，生产的越多，总的费用越少。

综合以上分析得到如下公式：假设公司每月的毛利润为Z ，销售额为C ，货车的售价为s ，标准成本为B ，每辆货车的直接材料费用为M ，每辆货车的直接劳力费用为L ，每辆货车的管理费用为G ，生产A101型货车的数量为1x ，生产A102型货车的数量为2x 。

那么销售额为：21i i i C s x ==∑；标准成本为： 21()i i i i i i i B M x L x G x ==++∑；各车间总管理费用在每辆货车上的分摊为：1121213500085000900003100001201051754001.4 1.4G x x x x ++=+++=+++2121213500085000750002950001002001254251.4 1.4G x x x x ++=+++=+++ 则毛利润为：Z C B =-。

非线性规划模型的目标函数即是毛利润达到最大，综合所给的数据可以得出目标函数的表达式为：Max 21()i i i i i i i i i Z C B s x M x L x G x ==-=---∑其约束条件为：生产A101型货车的数量不大于2250辆；同时A102型货车的数量不大于1500辆；且有冲压车间应满足：12350035002500x x +≤，发动机装配车间应满足：12166716673300x x +≤。

即：1212121212,0225015003500..35002500166716673300,x x x x s t x x x x x x ≥⎧⎪≤⎪⎪≤⎪⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎪⎪⎪⎩取整用LINGO 编程求解上述得结果122048,632,530125.4x x Z ===。