哈三中2020-2021学年度上学期高三年级第四次验收考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}1,0,1,2,3,4,5A =-，集合()(){}240B x x x =+-<，则A B =（ ）A.{}1,0,1,2,3-B.{}0,1,2,3C.{}1,0,1,2-D.{}1,0,1,2,3,4-2.已知直线420mx y +-=与直线2510x y ++=垂直，则实数m =（ ）A.10B.10-C.5D.5-3.已知α，β是两个平面，m ，n ，l 是三条直线，下列四个命题中正确的是（ ）A.若//m n ，n α⊂，则m α⊂B.若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβC.若l α⊥，m β⊥，//m l ，则//αβD.若αβ⊥，αβm =，n β⊂，则n α⊥4.若实数x ，y 满足约束条件026020x y x y x y -≥+-≤+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A.12B.10C.8D.45.若圆C ：225x y m +=-与圆E ：()()223416x y -+-=有三条公切线，则m 的值为（） A.2C.4 66.若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为6π，则其表面积为（）A.32π+B.32πC.34π+D.34π7.已知直线l ：2y x a =+（0a >）与圆C ：22220x y ay +--=（0a >）相交于A ，B 两点，若AB =则a 的值为（ ）B. C.2 D.48.哈三中群力校区食堂二楼的好七牛肉面是学生喜欢的快餐之一，现将体积为31000cm 的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为2100cm ⨯的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（ ）（单位：cm .每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）A.B.C.D. 9.已知函数()()2sin 1ωx f φx =+-（0ω>，()0,φπ∈）的图象与x 轴的两个交点的最短距离为3π.若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到的新函数图象关于()0,1-中心对称，则φ=（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 10.已知定义在R 上的函数()f x 满足条件()()2f x f x -=，且函数()1y f x =+为偶函数.当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则方程()102f x -=在[]1,2-上的实根之和为（ ）A.4B.3C.22log 3+D.23log 3- 11.球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，1AB AC ==，BC =，平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的体积的最大值为（ ）12.对于实数x ，定义[]x 表示不超过x 的最大整数，已知正项数列{}n a 满足：11a =，112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中n S 为数列{}n a 前n 项和，则12100111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦（ ） A.20 B.19 C.18 D.17二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a ，b 是两个不共线的向量，若向量ka b +与a b -共线，则实数k =______.14.已知圆C 经过两点()5,1A ，()1,3B ，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为______.15.正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，将此正方形沿DE ，DF 折起，使点A ，C 重合于点P ，则点P 到平面DEF 的距离为______.16.将6个半径都为1的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层3个，下层的3个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为______.三、解答题：共70分。

第17~21题为必考题，每题12分。

第22、23题为选考题，共10分，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin c a B A =.（1）求角A 的大小；（2）若5a =，b =，求ABC △的面积.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，点E 是PC 的中点，2PD CD BC ==.（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）求二面角E BD C --的余弦值.19.（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足224n n n a a S +=，n *∈N .（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若2n a n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，平面11A ADD ⊥平面ABCD ，AC CD ⊥，O 为AD 中点，112A A A D AD ===，60ABC ∠=°.（1）求证：CD ⊥平面11AOC ；（2）求1C O 与平面1A CD 所成角的余弦值.21.（12分）已知函数()a x x x f e +=-（a ∈R ）.（1）若1a =，求函数()f x 在0x =处的切线；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：122x x +>.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑。

如果多做，则按所做的第一题记分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系内，直线l 过点()2,1M ，且倾斜角6πα=.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求MA MB +的值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数()21f x x =-.（1）求()3f x ≤的解集；（2）若存在0x ∈R ，使得()200225f x x m m ++≤-+成立的m 的最大值为M ，且实数p ，q 满足33p q M +=，证明：02p q <+≤.哈三中2020-2021学年度上学期高三年级第四次验收考试数学试卷（理）答案一、选择题ABCBCAADDD BC 二、填空题13.1-14.()22210x y -+= 15.2316.2+三、解答题17.解：（1）sin sin cos sin C A B B A =()sin sin cos sin cos 3sin sin A B A B B A B A +-==∵sin 0B ≠，∴tan A =∴30A =°（2）22222cos 2b c a A bc +-=== 22265012c c -=，21450c =，2257c =211125sin 2227S bc A ==⨯⨯==18.（1）连接AC 交BD 于O ，在PAC △中，O ，E 为中点，所以//OE PA因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE所以//PA 平面BDE向量方法略（2）方法一几何法略方法二向量法以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设2PD =，则()0,1,1E ，()1,2,0B ，且()0,1,1DE =，()1,2,0DB = 设平面BDE 的法向量为()1,,n x y z =满足020y z x y +=⎧⎨+=⎩取1y =，则()12,1,1n =-- 因为PD ⊥平面ABCD ，所以可以取平面BCD 的一个法向量为()20,0,1n =12cos ,n n ==所以二面角E BD C --的余弦值为619.（1）2n ≥，211124n n n a a S ---+=，作差得2211122444n n n n n n n a a a a S S a ----+-=-=（2n ≥），整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+，所以12n n a a --=（2n ≥）1n =时，211124a a a +=，∴10a =或2∵0n a >，∴12a =.∴{}n a 是以2为首项，2为等公差的等差数列.（2）2n a n =，∴244n n b n n =-≤，0n b ≤，4n >，0n b >12122222,422218,4n n n n n n n n S n ++-+++≤--+>⎧⎪=⎨⎪⎩ 20.（1）（1）由已知O 为中点，所以1A O AD ⊥，所以1AO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以1A O CD ⊥ 又因为AC CD ⊥，11//AC A C ，所以11AC CD ⊥，1111AO AC A = 所以CD ⊥平面11AOC（2）方法一以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。