FIR 数字滤波器的有限字长系数优化的比较研究
拜彻尔，泰勒，罗兰
威尔士大学纽波特学院运算工程学校
摘要：实时数字滤波器频率响应的精度受实现时系数约束条件即有限字长(FWL)的影响。

该文仅考虑FIR 数字滤波器有关的FWL 问题。

准确和近似响应之间的最大误差限的约束条件所对应的理论问题和统计误差值都进行了详细的研究。

利用实数值遗传算法作为优化工具，并由若干设计案例的FWL 效应获得其最大误差限和误差值。

由此，完成了简单凑整逼近、遗传算法优化、整数规划法，以及简单希尔登山者方法之间的比较。

关键词：实时数字滤波器； 有限字长；遗传算法；整数规划
1. 前言
FIR 数字滤波器广泛用于图像处理、移动通信、医疗电子，以及很多其他的信号处理应用。

为降低能耗和提高运算量，截断系数到最短长度是有优势的。

然而，该截断会引起滤波嚣设计参数的变化，在某些情况下这是不可接收的。

此即优化问题，即尽可能地选择近似系数值的微小变化量，以便最好的服从设计规范标准。

针对有限脉冲响应(FIR)滤波器形式结构的线性相位已被证明是鲁棒的，因而FWL 系数的自我实现的研究是极具有吸引力的[1]。

FWL FIR 对称数字滤波器的研究涉及到一组系数的选择，从而这个新频率响应可以作为无限准确系数截断的一个结果，可以最大的接近所给定的规范频率响应。

已知的为解决该问题所使用的算法均基于两种方法：局部搜索法[2]和整数规划分支界限法[3,4]。

局部搜索法需要选择一组可行的FWL 系数(称为四舍五入值)，用以给出一个频率响应并用以检验H 的领域。

同时要选定滤波器的传递函数，以便得到更好的滤波器H'，即具有低误差函数的滤波器。

如果找到了这样的一个滤波器H'，那么便可用H'来代替H ，而算法即可进入下一步或者终止。

分支界限算法涉及对一组可能解所构成的树的系统性修正，这些解依赖于由枚举总数所确定的下界值。

这两种算法本质上计算密集，且不能保证全局优化。

其问题即是在于进一步复合，使其更加灵敏以便增加滤波器长度。

2. FWL 系数及误差目标函数
用以导出FWL 系数的最常用定点算法是直接量化法。

使用标准滤波器设计技术导出的高精度系数在该方法中首次被利用，以得出FWL 的量化系数。

如下量化系数的起始解给出。

h ri =round[h ei 2B-1] i=0,1,2,...,N-1 (1)
这里，h ri 为四舍五入系数，hei 为高精度系数，B 为用以描述系数的位数，N 为滤波器长度。

优化过程的主要目的在于极小化目标函数，其明确目标为获得一个与期望的响应尽可能接近的滤波器频率响应。

目标函数被用于500个等距频率的格点。

目标函数通过以下式来评价：
}H max ,H 110max{max }H H 1{ObjV s p s s p p i i L
s
i 2
i P
i 2
i -++-=∑∑== (2)
H ip =遗传算法优化滤波器在通带中对应频率的幅值响应
H is =遗传算法优化滤波器在阻带中对应频率的幅值响应 L=频率格点的数目（500）
P=通带的截止频率数 S=阻带的截止频率数
(2)式所表述的平方偏差和加权最大偏差和的综合即可获得优良的整体频率响应。

当优化目标函数仅使用最大化偏差时，这些响应不受初期试验中观察到的相位差的影响，。

3. FIR 滤波器的频带选择的遗传算法的优化
在这一部分我们认为波带选择的问题是为了使理想响应被指定在被选到的通带或阻带以上。

理想函数D(ω)包含大量的脱节带频，而K=1,……，对于于每一个K ，D(ω)是用于结晶所有的ωk Ω∈。

如果有着无限精度小数的滤波器是H(ω)同时使用FWL 系数近似滤波器是H'(ω)，那最大误差界是由
为了进行比较研究，托代克和史代比所使用的10个滤波器例子用于系数优化，基于整数规划的方法也用于此处。

这10个滤波器被分成四组，如表1所示：
滤波器规范组
表2表明对于所有 理想响应的最大化误差的结果，表2所使用的界值是通过使用等式3而得来的。

整数规划方法的比较清楚地表明了关于遗传算法优化滤波器的一个明显提高，它也表明等式3的界值是与使用遗传算法优化滤波器而得到的最大化误差相一致。

遗传算法优化滤波器已生成了略低的最大化误差值，同20%滤波器的界值比较，即A25/5和C15/5滤波器。

另一方面，相比较于20%的滤波器的界值整数规划滤波器有更好的表现。

B25/7滤波器的一个响应例子由图1表示。

它表明如期望所示尽管圆润的响应伴随着准确的响应，遗传算法优化响应伴随着理想响应的要求即是滤波器B25/7通带里的1,。

图1展示了一个有关滤波器B25的最大化误差大小与字节数的比较。

表1.(a)简单圆的响应大小，对于滤波器B25/7遗传算法优化和整数规化优化系数，(b)对于B25滤波器误差大小和字节数的比较。

4.简单的登山科技和详细搜索
为了检验遗传算法优化结果的强健性和准确度，简单攀山算法的计算方法，例如最陡爬坡和最近爬坡被用于选择如表1所示的滤波器，为了遗传算法优化所用的搜索空间进行了随机样本测试。

另外，对于以少部分低阶滤波器，进行了一个超越相匹配的搜索空间的详细的搜索。

这个搜索所用攀山算法是基于用于二进制字符串的并且根据FIR 滤波器的整值的号码进行了改编。

开头的一个整值的号码系数集是由随机扰动的四舍五入系数通过加1或减1， 如图2
简单的攀山算法的流程图
SAHC：最陡爬坡
NAHC：最近爬坡
表示四舍五入系数值的搜索空间加1或减1
最陡爬坡和最近爬坡，也为了选择滤波器而进行的随机样本和详细搜索的结果如表3所示。

结果表明有星号的代表那些比加1或减1偏离更厉害的四舍五入的系数值。

数据同时也表明了详细搜索仅限于对四舍五入系数进行加1或减1。

证据表明遗传算法优化可以连续产生好的结果（见表2）。

尽管最陡爬坡的攀山技术对于选定数量的滤波器也表现出非凡的好结果。

5.结论
在这篇文章中，我们探索了FIR数字滤波器有限字长的遗传算法优化的问题。

大量的频段选择滤波器的遗传算法优化是考虑在内的。

对于这样的滤波器，
基于整数规划方法的优化结果和简单攀山技术的结果进行了比较。

对大部分所选的滤波器，遗传算法优化在此表现出了连续的改善。

简单攀山技术（特别是最陡爬坡）所用的优化方法通过产生好的结果已经变现出很好的潜力，通常这在所考虑范围内的滤波器是不符合要求的，然而遗传算法技术已经显示了一个强健的，实用的，和高效率的优化工具。

另外，它就像是遗传算法代码以600兆赫兹的速度奔腾与电脑上伴随第二部分所给的参数，超过了完整的优化方法，每个滤波器接近以30秒的速度在优化。

参考文献
1. Chan, D.S.K., Rabiner L.R.: Analysis of Quantization Errors in the Direct
Form for Finite Impulse Response Digital Filters. IEEE Trans. Audio and Electroacoustics. 21(4) (1973) 354-366
2. Avenhaus, E.: On the Design of Digital Filters with Coefficients of Limited
Word Length. IEEE Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing. 20 (1972) 206-212
3. Kodek, D.M.: Design of Optimal Finite Wordlength FIR Digital Filters
using Integer Programming Techniques. IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Processing. 28(3) (1980) 304-308
4. Kodek, D.M., Steiglitz, K.: Comparison of Optimal and Local Search
Methods for Designing Finite Wordlength FIR digital filters. IEEE Trans. Circuits and Systems. 28(1) (1981) 28-32
5. Mitchell, M.: An Introduction to Genetic Algorithms. Bradford Books, MA Cambridge。