期末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．以下事件是随机事件的是( ) A ．下雨屋顶湿 B ．秋后柳叶黄 C ．有水就有鱼 D ．水结冰体积变大答案 C解析 A ，B ，D 是必然事件．2．在△ABC 中，若A ＝60°，C ＝45°，c ＝3，则a 等于( ) A ．1 B.322 C.233 D ．2答案 B解析 由正弦定理得，a ＝c sin A sin C ＝322.3．设复数z ＝2i1＋i (其中i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝1＋i ，对应的点为(1,1)，在第一象限．4．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320 C ．400 D ．1 000 答案 C解析 ∵青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为 1010＋8＋7×200＝80，∵每人被抽取的概率为0.2， ∴该单位青年职员共有800.2＝400(人)．5.3tan 11°＋3tan 19°＋tan 11°·tan 19°的值是( ) A. 3 B.33C ．0D ．1 答案 D解析 原式＝3(tan 11°＋tan 19°)＋tan 11°·tan 19° ＝3tan 30°(1－tan 11°·tan 19°)＋tan 11°·tan 19° ＝1－tan 11°·tan 19°＋tan 11°·tan 19°＝1.6．已知a ＝(2，－3)，b ＝(1，－2)，且c ⊥a ，b ·c ＝1，则c 的坐标为( ) A ．(3，－2) B ．(3,2) C ．(－3，－2) D ．(－3,2)答案 C解析 设c ＝(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x －2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.故c ＝(－3，－2)．7．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( ) A.13 B.23 C.14 D.29 答案 A解析 甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所以可能出现的样本点列表如下：因为由表格可知，共有9个样本点．其中平局的有3种(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)．设事件A 为“甲和乙平局”，则P (A )＝39＝13.8．《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136l 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V ≈25942l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取( ) A.227 B.258 C.15750 D.355113 答案 C解析 V ＝13πr 2h ＝13π×⎝⎛⎭⎫l 2π2h ＝112πl 2h ， 由112π≈25942，得π≈15750，故选C. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，下列各式正确的是( )A ．A ＋B ＝2C B ．tan(A ＋B )＝－ 3 C ．tan A ＝tan BD ．cos B ＝3sin A答案 CD解析 在△ABC 中，C ＝120°，所以A ＋B ＝60°， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝2331－tan A tan B ＝3，解得tan A tan B ＝13.由于tan A ＋tan B ＝233，tan A tan B ＝13.所以tan A 和tan B 为方程x 2－233x ＋13＝0的两个根， 所以tan A ＝tan B ＝33. 所以cos B ＝3sin A . 故AB 错误，CD 正确．10.在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，如图，则下列等式成立的是( )A ．|AC →|2＝AC →·AB → B ．|BC →|2＝BA →·BC → C ．|AB →|2＝AC →·CD →D ．|CD →|2＝(AC →·AB →)×(BA →·BC →)|AB →|2答案 ABD解析 AC →·AB →＝|AC →||AB →|cos A ，由|AB →|·cos A ＝|AC →|可得|AC →|2＝AC →·AB →，即选项A 正确； BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，由|BA →|·cos B ＝|BC →|可得|BC →|2＝BA →·BC →，即选项B 正确； 由AC →·CD →＝|AC →||CD →|cos(π－∠ACD )<0，又|AB →|2>0，知选项C 错误； 由题干图可知Rt △ACD ∽Rt △ABC ，所以AC ·BC ＝AB ·CD ， 由选项A ，B 可得|CD →|2＝(AC →·AB →)×(BA →·BC →)|AB →|2，即选项D 正确．11．“十一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率直方图．下列结论正确的是( )A ．这40辆小型汽车车速的众数的估计值为77.5B ．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80 km/h 的概率为0.35C ．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1415D ．若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为13答案 ABC解析 在A 中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值75＋802＝77.5，A正确；在B 中，车速超过80 km/h 的频率为0.05×5＋0.02×5＝0.35，用频率估计概率知B 正确；在C 中，由题意可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型概率公式求概率得，至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1415，即车速都在[60,65)内的概率为115，故C 正确，D 错误．故选A ，B ，C.12.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥AFB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 答案 AD解析 连接BD (图略)，A.因为AC ⊥BD ，而BD ∥B 1D 1，所以AC ⊥B 1D 1，即AC ⊥EF ，若AC ⊥AF ，则AC ⊥平面AEF ，即可得AC ⊥AE ，由图分析显然不成立，故A 不正确；B ．因为EF ∥BD ，EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD ，故B 正确；C ．V A －BEF ＝13×S △BEF ×12AC ＝13×12×EF ×BB 1×12AC ＝112×EF ×BB 1×AC ，所以体积是定值，故C 正确；D ．设B 1D 1的中点是O ，点A 到直线EF 的距离是AO ，而点B 到直线EF 的距离是BB 1，所以AO >BB 1，S △AEF ＝12×EF ×AO ，S △BEF ＝12×EF ×BB 1，所以△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等，D 不正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则两人都不感冒的概率是________，两人中有人患感冒的概率是________． 答案 0.2 0.8解析 “有人感冒”这一事件包括甲、乙中有一人感冒和全都感冒． 设事件A ：甲患感冒，事件B ：乙患感冒． 则两人都不感冒这一事件的概率为 P (A B )＝[1－P (A )]·[1－P (B )]＝0.2， 两人中有人感冒这一事件的概率为P (A B ＋A B ＋AB )＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝P (A )P (B )＋P (A ) ＝0.4×0.5＋0.6＝0.8. 14．求值：sin 65°＋sin 15°sin 10°sin 25°－cos 15°cos 80°＝__________.答案 2＋ 3解析 原式＝sin (80°－15°)＋sin 15°sin 10°sin (15°＋10°)－cos 15°cos 80°＝sin 80°cos 15°sin 15°cos 10°＝cos 15°sin 15°＝2＋ 3.15．甲五次考试成绩分别为86,94,88,92,90，乙五次考试成绩分别为88,93,93,88,93，两人中成绩较稳定的一人的方差为________． 答案 6解析 根据方差的意义可知，乙组数据的波动更小，因而成绩较为稳定． x乙＝88＋93＋93＋88＋935＝91，所以s 2乙＝(88－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2＋(93－91)25＝9＋4＋4＋9＋45＝6.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a ＝b ，c 2＝2b 2(1－sin C )，则C ＝________. 答案 π4解析 ∵c 2＝2b 2(1－sin C )，∴sin C ＝1－c 22b2，又∵a ＝b ，由余弦定理可得， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1－c 22b 2＝sin C ，∴tan C ＝1， ∵C ∈(0，π)， ∴C ＝π4.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)求a ·b 的值及|a ＋b |的值； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )? 解 (1)由向量的数量积的运算公式，可得a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16， |a ＋b |＝a 2＋b 2＋2a ·b＝42＋82＋2×(－16)＝4 3.(2)因为(a ＋2b )⊥(k a －b )， 所以(a ＋2b )·(k a －b ) ＝k a 2－2b 2＋(2k －1)a ·b ＝0，整理得16k －128＋(2k －1)×(－16)＝0， 解得k ＝－7.即当k ＝－7时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．18．(12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，点E ，F 分别是BD ，BC 的中点，AB ＝AD ，AE ⊥BC .求证：(1)EF ∥平面ACD ； (2)AE ⊥CD .证明 (1)因为在△BCD 中，点E ，F 分别是BD ，BC 的中点， 所以EF ∥CD ，又因为EF ⊄平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， 从而EF ∥平面ACD .(2)因为点E 是BD 的中点，且AB ＝AD ， 所以AE ⊥BD ，又因为AE ⊥BC ，BC ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， BC ∩BD ＝B ，故AE ⊥平面BCD ， 因为CD ⊂平面BCD ， 所以AE ⊥CD .19．(12分)在△ABC 中，cos(A ＋C )＝0，sin A ＝13.(1)求sin C 的值；(2)设∠ABC 的平分线与AC 交于点D ，若AC ＝3，求BD 的长． 解 (1)由cos(A ＋C )＝0，得A ＋C ＝π2，又由A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π2，因为sin A ＝13，所以cos A ＝223，所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A ＝223. (2)在Rt △ABC 中，sin A ＝13，AC ＝3，所以BC ＝AC ·sin A ＝3×13＝1，在△DBC 中，sin ∠BDC ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝22(sin A ＋cos A )＝4＋26， 由正弦定理得，BD sin C ＝BC sin ∠BDC，所以BD ＝BC sin Csin ∠BDC ＝2234＋26＝82－47.20．(12分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据：若用表中数据所得频率代替概率．(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A ，B 两类：A 类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B 类是其他员工．现对A 类与B 类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷调查，则前两位均为B 类员工的概率是多少？解 (1)设“当罚金定为100元时，某员工迟到”为事件A ，则P (A )＝40200＝15，不处罚时，某员工迟到的概率为80200＝25.∴当罚金定为100元时，比不进行处罚员工迟到的概率会降低15.(2)由题意知，A 类员工和B 类员工各有40人，分别从A 类员工和B 类员工各抽出两人， 设从A 类员工抽出的两人分别为A 1，A 2，从B 类员工抽出的两人分别为B 1，B 2， 设“从A 类与B 类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷调查”为事件M ， 则事件M 中首先抽出A 1的样本点有(A 1，A 2，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 2，B 1)，(A 1，B 1，A 2，B 2)，(A 1，B 1，B 2，A 2)，(A 1，B 2，A 2，B 1)，(A 1，B 2，B 1，A 2)，共6个，同理，首先抽出A 2，B 1，B 2的样本点也各有6个，故事件M 共有24个样本点，设“抽取4人中前两位均为B 类员工”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)，共4个样本点， ∴P (N )＝424＝16，∴抽取4人中前两位均为B 类员工的概率是16.21．(12分)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)若f ⎝⎛⎭⎫x 2＝1，x ∈(0，π)，求tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的值； (2)若f (α)＝－110，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，sin β＝7210，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求2α＋β的值． 解 (1)因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )， 所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos 2x ＋12，因为f ⎝⎛⎭⎫x 2＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12， 又x ∈(0，π)，所以x ＝π3，所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4 ＝－2－ 3.(2)因为f (α)＝－110，则cos 2α＋12＝－110，即cos 2α＝－35，因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， 则sin 2α＝－1－cos 22α＝－45，因为sin β＝7210，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos β＝1－sin 2β＝210， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×210－⎝⎛⎭⎫－45×7210＝22. 又因为2α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β＝7π4. 22．(12分)如图，在△AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是OA 上靠近O 的三等分点，AD 与BC 交于M 点，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示OM →；(2)过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于E ，F .设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求1p ＋2q的值． 解 (1)设OM →＝x a ＋y b ，则AM →＝OM →－OA →＝(x －1)a ＋y b ，AD →＝OD →－OA →＝－a ＋12b ， ∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →，AD →共线，从而12(x －1)＝－y ，① 又C ，M ，B 三点共线，∴BM →，BC →共线，又BM →＝OM →－OB →＝x a ＋(y －1)b ，BC →＝OC →－OB →＝13a －b ， 同理可得13(y －1)＝－x ，② 联立①②，解得⎩⎨⎧ x ＝15，y ＝25，故OM →＝15a ＋25b . (2)∵EM →＝OM →－OE →＝15a ＋25b －p a ＝⎝⎛⎭⎫15－p a ＋25b . EF →＝OF →－OE →＝q b －p a .∵EM →，EF →共线，∴⎝⎛⎭⎫15－p q ＝－25p ，整理得1p ＋2q ＝5.。