聚智堂学科教师辅导讲义
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辅导科目： 数学
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课题
勾股定理
教学目的
1、勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a2+b2=c2）
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c 有关系 a2+b2=c2，那么这个三角形是 直角三角形。
练习
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（? ）
??? A．2，3，4???? B．3，4，6???? C．5，12，13???? D．4，6，7
2. 三角形的三边为 a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17
B． a2-b2=c2
C．a2=(b+c)(b-c)
直角三角形的判定
例 1、 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A. b2=c2－a2 B. a∶b∶c=3∶4∶5
C. ∠C=∠A－∠B
D. ∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
例 2、三角形的三边长为 (a b)2 c2 2ab ，则这个三角形是（ ）
A. 等边三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 锐角三角形
例 3、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A 和∠BDC 都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注 在图中，由此可知（ ）
A. ∠A 符合要求 B. ∠BDC 符合要求 C. ∠A 和 ∠ BDC 都符合要求 D. ∠A 和∠BDC 都不符合要求
例 4、如图己知 AB BC, AB 3, BC 4,CD 12, AD 13求四边形 ABCD 的面积
简单应用
例 1、一根旗杆在离地面米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 6 米处，则旗杆折断前高（ ）
A. 米
B. 米
C. 12 米
D. 8 米
例 2、如图，一架 25 分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端 7 分米，如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分 米，那么梯子将平滑（ ）
A. 9 分米
A. 2
B. 4
C. 8
D. 4 2
4. 若直角三角形两条直角边长分别为 5 ㎝，12 ㎝，则斜边上的高为（ ）
A. 6 ㎝
B. 80 ㎝ 13
C. 8 ㎝
D. 60 ㎝ 13
5. 等腰三角形底边长 10，腰长为 13，则此三角形的面积为（ ）
A. 40
B. 50
C. 60
D. 70
6.直角三角形中两条直角边之比为 3：4，且斜边为 20cm，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长
练习
B
1. 若一直角三角形两边长分别为 12 和 5，则第三边长的平方为（ ）
A. 169
B. 169 或 119 C. 169 或 225
A D
C
2. 直角三角形的周长为 12，斜边长为 5，则面积为（ ）
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
3. 如果一个等腰直角三角形的面积是 2，则斜边长的平方为（ ）
3、满足 a2 b2 c2 的三个正整数，称为勾股数。
教学内容
一、日校回顾
二、知识回顾
1. 勾股定理
如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形 面积之间存在这样的关系：即 C 的面积＝B 的面积+A 的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直 角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。
B.、一根旗杆在离地 9 米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 米处，旗杆折断之前有多高为_________。
（一）类型题目
题型 1、求最短距离。（折叠与展开）
例 1、如图，一只蚂蚁从点 A 沿圆柱表面爬到点 B，如果圆
柱的高为 8cm，圆柱的底面半径为 6 cm，那么最短
说明：上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。
三、知识梳理
1、勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2、如何判定一个三角形是直角三角形 （1） （2） 先确定最大边（如 c） （3）
（4） 验证 c 2 与 a 2 b2 是否具有相等关系
（5）
（6） 若 c 2 = a 2 b2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若 c 2 ≠ a 2 b2
则△ABC 不是直角三角形。
3、勾股数 满足 a 2 b2 = c 2 的三个正整数，称为勾股数
的路线长是（
）
B
M
D C
A
B
第 19 题
A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10 cm
A
例 2、如图，已知长方体的三条棱 AB、BC、BD 分别为 4，5，2，蚂蚁从 A 点出发沿长方体的表面爬行到 M 的最短路程
的平．方．是
。
练习
1、一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 B’点沿纸箱爬到 D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 说明： （1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。 （2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。在没有特殊说明的情况下，
直角三角形中，a，b 是直角边，c 是斜边，但有时也要考虑特殊情况。 （3）除了利用 a，b，c 表示三边的关系外，还应会利用 AB，BC，CA 表示三边的关系，在△ABC 中，∠B＝90°，利
用勾股定理有 AB2 BC2 AC2 。
2. 利用勾股定理的变式进行计算
由 a2 b2 c2 ，可推出如下变形公式： （1） a2 c2 b2 ； （2） b2 c2 a2 （3） a c2 b2 （4） b c2 a2 （5） c a2 b2 （平方根将在下一章学到）
如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17
（5）7，24，25 （6）9, 40, 41
四、例题讲解
（一）基本知识
勾股定理求边长
例 1、如图所示，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， CD⊥AB，若 AC＝4，BC＝3，求 CD 的长。 例 2、 如图所示，一棵 36 米高的树被风刮断了，树顶落在离树根 24 米处，求折断处的高度 AB。 例 3 、如图所示，在高为 3 米，斜坡长为 5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽 2 米， 每平、方米地毯需 50 元，那么这块地毯需花多少元？ 例 4、如图，在△ABC 中，∠ACB=90o， CD⊥AB，D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm. 求① △ABC 的面积； ②斜边 AB 的长；③斜边 AB 上的高 CD 的长。
D． a:b:c =13∶5∶12
3. 三角形的三边长为 (a b)2 c2 2ab ,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形
D. 锐角三角形.
4、已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。
2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AD 折叠，使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长
B’ C A′
C’
D
AC 沿 直 线