试卷类型：A肇庆市中小学教学质量评估 2018—2018学年第二学期统一检测题高二数学（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将考生号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.参考公式：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式： ∑∑∑∑====-⋅-=---=ni ini ii ni ini iix n xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-=，其中x ，y 表示样本均值. 22⨯列联表随机变量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=. )(2k K P ≥与k 对应值表：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）从装有3个红球2个白球的袋中任取3个球，则所取3个球中至少有1个白球的概率是（A ）110 （B ）310（C ）35 （D ）910（3）定积分()12xx e dx +⎰的值为（A ）2e + （B ）1e + （C ）e （D ）1e -（4）已知p 是q 的充分不必要条件，则q ⌝是p ⌝的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也必要条件（5）已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<=（A ）0.84 （B ）0.68 （C ）0.32 （D ）0.16（6）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且函数()()1'y x f x =-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值()2f 和极小值()1f （B ）函数()f x 有极大值()2f -和极小值()1f （C ）函数()f x 有极大值()2f 和极小值()2f - （D ）函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f（7）如果复数3()2biz b R i-=∈+的实部和虚部相等，则||z 等于（A ）（B ）（C ）3 （D ）2（8）将字母,,,,b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （9）通过随机询问110则下列结论正确的是（A ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” （B ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”（C ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” （D ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” （10）下列四个结论正确的是①若p q ∧是真命题，则p ⌝可能是真命题；②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“01,2≥--∈∀x x R x ”； ③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件；④当0α<时，幂函数y x α=在区间(0,)+∞上单调递减.（A ）①④ （B ）②③ （C ）①③ （D ）②④（11）在()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60（12）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()'f x 满足()'1f x k >>，则下列结论中一定错误的是（A ）11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ （B ）111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ （C ）1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ （D ）111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. （13）若()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a = ▲ .（14）6粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑2粒，每粒种子发芽的概率为5.0，如果一个坑内至少有1粒种子发芽，那么这个坑不需要补种，则3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率为 ▲ （用数字作答）.（15）已知函数()2ln f x x bx =+，直线22y x =-与曲线()y f x =相切，则b = ▲ . （16）某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）.根据上表提供的数据， 求出y 关于x 的线性回归方程为^6.517.5y x =+， 则表中t 的值为 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）. 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-.（Ⅰ）求1C 和2C 在直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）已知直线:l y x =和曲线1C 交于,M N 两点，求弦MN 中点的极坐标.（18）（本小题满分12分）某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）当价格40x =元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？A 11（19）（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）.（20）（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =．设1AB 的中点为D ，11B C BC E =I ．（Ⅰ）证明：DE ∥平面11AAC C ； （Ⅱ）证明：11BC AB ⊥.（21）（本小题满分12分）已知函数()2xf x e ax =+（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的极值；（Ⅱ）证明：当0x >时，21xx e +<.（22）（本小题满分12分）设函数()ln(1)f x x =+，()()g x xf x '=，0x ≥，其中()f x '是()f x 的导函数． （Ⅰ）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）设*n N ∈，证明：()111ln 1231n n +++<++．2018—2018学年第二学期统一检测题 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 （13）12 （14）964（15）0 （16）50 三、解答题（17）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由1c o s ,2s i n x y θθ=+⎧⎨=+⎩得1cos ,2sin x y θθ-=⎧⎨-=⎩ ，得 ()()222212=cos sin =1x y θθ-+-+，所以1C 的普通方程为()()2212=1x y -+-. （3分）因为cos x ρθ=，所以2C 的普通方程为2x =-. （5分）（Ⅱ）由()()2212=1x y y x⎧-+-⎪⎨=⎪⎩得2320x x -+= （7分）12322x x +=，弦MN 中点的横坐标为32，代入y x =得纵坐标为32， （9分） 弦MN 中点的极坐标为：4π⎫⎪⎭ （10分）（18）（本小题满分12分） 解: (Ⅰ)()11015202530205x =++++=, （1分） ()1111086585y =++++=, （2分） ()()()522222211050510250i i x x=-=-+-+++=∑, （3分）()()51iii x x y y =--=∑()()()10352005210380-⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-=-.（4分）()()()51521800.32250iii i i x x y y b x x==---===--∑∑. （6分） 80.322014.4a y bx =-=+⨯=. （8分）所求线性回归方程为0.3214.4y x =-+. （9分） (Ⅱ)由(Ⅰ)知当40x =时, 0.324014.4 1.6y =-⨯+=. （11分） 故当价格40x =元/ kg 时，日需求量y 的预测值为1.6kg. （12分）（19）（本小题满分12分）解：(Ⅰ)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则()112325310A A P A A ==. （4分）(Ⅱ)X 的可能取值为200,300,400. （5分）()2225120010A P X A ===， （6分）()3112323235330010A C C A P X A +===， （7分） ()()()1363400120030011010105P X P X P X ==-=-==--==， （8分） （()1131232332334534005C A A A C A P X A +===） 故X 的分布列为 （9分）200300400350101010EX =⨯+⨯+⨯=. （12分）（20）（本小题满分12分）A C 11证明：（Ⅰ）依题意知E 是1BC 的中点，又因为D 是1AB 的中点， 所以DE 是1ACB ∆的中位线，所以//DE AC . （2分） 又因为1111,DE ACC A AC ACC A ⊄⊂面面， （3分） 所以DE ∥平面11AAC C . （5分）（Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ABC ⊥面，AC ABC ⊂面，所以1AC CC ⊥. （6分） 又因为1,AC BC BCCC C ⊥=，所以11AC BCC B ⊥面. （7分）又因为111BC BCC B ⊂面，所以1BC AC ⊥. （8分） 因为1=BC CC ，所以矩形11BCC B 是正方形，所以11BC B C ⊥. （9分） 因为11,AC B C B AC ⊂面，1ACB C C =，所以11BC B AC ⊥面. （11分）又因为11AB B AC ⊂面，所以11BC AB ⊥. （12分）（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()2xf x e ax =+，得()'2xf x e a =+. （1分）又()'012=1f a =+-，得1a =-. （2分）∴()2x f x e x =-，()2xf x e '=-，令()0f x '=，得ln 2x =. （3分）当ln 2x <时，()0f x '<，所以()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减；当ln 2x >时，()0f x '>，所以()f x 在(ln 2,)+∞是单调递增； （4分） ∴当ln 2x =时，()f x 取得极小值，且极小值为ln2(ln2)2ln222ln2f e=-=-，无极大值. （6分） （Ⅱ）令()21xg x e x =--，则()'2xg x e x =-. （8分）由（Ⅰ）得()()(ln2)2ln40g x f x f '=≥=->， （10分） 故()g x 在R 上单调递增，又()00g =， （11分）∴当0x >时，()()00g x g >=，即21x x e +<. （12分）（22）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为()1'1f x x=+，所以()1xg x x =+（0x ≥）． （1分）已知()()f x ag x ≥恒成立，即()ln 11axx x+≥+恒成立． 设()()ln 11axx x x ϕ=+-+（0x ≥），则()()()2211111a x a x x x x ϕ+-'=-=+++. （2分） 当1a ≤时，()0x ϕ'≥（仅当0x =，1a =时等号成立），∴()x ϕ在[)0,+∞上单调递增，又()00ϕ=，∴()0x ϕ≥在[)0,+∞上恒成立. （3分）即1a ≤时，()ln 11axx x+≥+恒成立（仅当0x =时等号成立）. （4分） 当1a >时，对(]0,1x a ∈-恒有()0x ϕ'<，∴()x ϕ在(]0,1a -上单调递减，∴()()100a ϕϕ-<=． （5分） 即1a >时，存在0x >，使()0x ϕ<，故知()ln 11axx x+≥+不恒成立. （6分） 综上可知，a 的取值范围是(],1-∞． （7分） （Ⅱ）证法一：在（Ⅰ）中取1a =，可得()ln 11xx x+>+，0x >． （8分） 令1x n =，*n N ∈，则11ln 1n n n+<+． （9分） 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，1ln 22<，结论成立． （10分） ②假设当n k =时结论成立，即()111ln 1231k k +++<++． 那么当1n k =+时，()()()11111ln1ln 23122k kkk k k k k +++++<+++++，即结论成立． （11分） 由①②可知，结论对*n N ∈成立． （12分）证法二 ：在（Ⅰ）中取1a =，可得()ln 11xx x+>+，0x >． （8分） 令1x n =，*n N ∈，则11ln 1n n n +>+． （9分） 故有1ln 2ln12->，1ln3ln 23->，…，()1ln 1ln 1n n n +->+， （11分） 上述各式相加可得()111ln 1231n n +>++++，结论得证． （12分） 证法三： 如图，01nx dx x +⎰是由曲线1xy x =+，x n =及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12231nn ++++是图中所示各矩形的面积和， ∴()001211ln 123111n n n x dx dx n n n x x ⎛⎫+++>=-=-+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰，结论得证．。