圆的标准方程公开课
y
M
C
(x?a)2 ?(y?b)2 ? r2 圆心C(a,b),半径r
O
x
圆心O(0,0),半径r,则圆的标准方程: x2 ? y2 ? r 2
二、点与圆的位置关 系:
(1)点P在圆上 ? ?x0 ? a?2 ? ?y0 ? b?2 ? r 2 (2)点P在圆内 ? ?x0 ? a?2 ? ?y0 ? b?2 ? r 2 (3)点P在圆外 ? ?x0 ? a?2 ? ?y0 ? b?2 ? r2
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一、圆的标准方程
1、建立坐标系; 建
2、设点M(x, y)为圆上
的任意一点; 设
y M (x,y)
OC x
3、限定条件:|MC|= R 限 4、代点; (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R 代
5、化简; (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 化
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圆心C (a,b),半径r
探究二:点与圆的位置关系
怎样判断点 M0(x0在, y圆0) C 上?圆外呢?
(x? a)2 ? (y?内b)2?? r圆2
y
M3
M2
C
o
x
M1
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探究二:点与圆的位置关系
在平面几何中,如何确定点与圆的位置关系?
M M
M O
O
O
|OM| <r
点在圆内
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|OM|=r 点在圆上
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O(a, b)
O(a, b)
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练一练:
点P( m1, 5)与圆x2+y2=25的位置关
系 A 在圆外
C 在圆内
B在圆上 ( DA )
D 在圆上或圆外
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例题讲解 例1、写出圆的方程
过点(0,1)和点(2,1),半径为 5
解:设所求圆的方程为( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? 5. 因为已知圆过点( 0,1),(2,1),所以可得:
过点(0,1)和点(2,1),半径为 5
例2. ? AB的C三个顶点的坐标分别A(5,1),
B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.
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例2 ? ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.
解:设所求圆的方程是 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (1)
??a2 ? (1? b)2 ? 5
? ?(2
?
a)2
?
(1?
b)2
?
5
解得
? ?
a1
?b1
? ?
1 ?
或 1
? ?
a
2
?b2
? ?
1 3
因此,所求圆的方程为
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(x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 5或( x ? 1)2 ?(y-3)2 ? 5.
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例题讲解 例1.写出圆的方程
三、求圆的标准方程的方法:
1. 代数方法: 待定系数法求
2、圆心为 A(2,?3),半径长等于 5,求圆的方程
(x – 2 )2+(y + 3 ) 2=25
变式: 圆心C(2,-3),且过点M(5,1)的圆的方程
(x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25
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已知:圆的标准方程 (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25
请判断:点 M1(5,?7) , M2(? 5,?1) 是否在该圆上?
?? r ? 5
所求圆的方程为
(x?2)2 ?(y?3)2 ? 25 待定系数法
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y
L2
A (5,1)
R
x
D B (7,-3)
O
L1
E
C (2,-8)
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例2 ? ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.
(法二)解:AB中点为( 6,-1),k AB ? ? 2
y M(x,y)
M(x, y)
O C(a,b) x
(x? a)2 ? (y? b)2 ? r2
圆的标准方 程
2个条件( a,b)、r确定一个圆的方程 .
特别地,圆心为O (0,0)半径r,则圆的方程
为:
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x2 ? y2 ? r 2
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随堂练习
1、求:圆心及半径 (1). x2+y 2=4 (2). (x+1) 2+y 2=1
因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以它们
的坐标都满足方程( 1).于是
?(5 ? a)2 ? (1 ? b)2 ? r 2 ??(7 ? a)2 ? (?3 ? b)2 ? r 2 ??(2 ? a)2 ? (?8 ? b)2 ? r 2
?a?2 ? ??b ? ?3
|OM|>r
点在圆外
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点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y 0-b)2<r 2时,点M在圆C 内
(x0-a)2+(y 0-b)2=r 2时,点M在圆C 上
(x0-a)2+(y 0-b)2>r 2时,点M在圆C 外
M (x0 , y0 )
M(x0 , y0 )
M(x0 , y0 )
O(a, b)
把 M1 (5,?的7)坐标代入方程 (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 左右两边相等,点 M 1的坐标适合圆的方程,所以点
M
在这个圆上;
1
把点 M 2 (? 5,?的1) 坐标代入此方程,左右两边不
相等,点 M的2坐标不适合圆的方程,所以点 M不2在
这个圆上 . 2020/4/4
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创设情境
一石激起千层浪 摩天轮 2020/4/4
奥运五环
1
自然界中有着漂亮的圆,圆是最完美的曲线之一.
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2
形
y
.
.
o
数
l : Ax? By? C ? 0
x
那么,直线可以用一4
3
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4
马高丹
回顾旧知
1、什么是圆?
平面内到定定点点距离等于定定长长的点的集合(轨迹)是圆 .
2、确定圆有需要几个要素?
圆心--确定圆的位置 (定位) 半径--确定圆的大小 (定形)
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探究一
已知圆的圆心 C(a,b)及圆的半径 R, 如 何确定圆的方程?
y
M
C(a,b)
O
x
圆2020/4/4上的点的集合:P={M ||MC|=R}
则直线AB的中垂线为 y+1= 1 (x ? 6) 2
即为x ? 2 y ? 8 ? 0(1)
同理可得直线 BC的中垂线为x ? y ? 1 ? 0(2)
联立(1)和(2),得圆心为D(2,-3) 半径为AD=5,圆的方程(为x-22)? (y? 3)2 ? 25
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一、圆的标准方 程