第4讲函数的单调性与最值★知识梳理函数的单调性定义：设函数的定义域为，区间(1)如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间(2 )如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数； 如果在某区间上，那么为区间上的减函数；1． 函数的最大（小）值设函数的定义域为如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。
★重、难点突破重点：掌握求函数的单调性与最值的方法难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值重难点：1.对函数单调性的理解（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；)(x f y =A A I ⊆I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =I 0)(>'x f )(x f I I 0)(<'x f )(x f I )(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤)(0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥)(0x f )(x f y =1x 2x )(2121x x x x <<（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间上（）仅是为区间上的增函数（减函数）的充分不必要条件。
（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明在某区间上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。
但是要注意，不能用区间上的两个特殊值来代替。
而要证明在某区间上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间上两个特殊的，，若，有即可。
如果用导数证明在某区间上递增或递减，那么就证明在某区间上或。
（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和 （6）一些单调性的判断规则：①若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。
②复合函数的单调性规则是“异减同增”重难点：2．函数的最值的求法（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。
（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。
（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
I 0)(>'x f 0)(<'x f )(x f I )(x f y =I I )(x f y =I I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f ≥)(x f y =I I 0)(>'x f 0)(<'x f xy 1=)0,(-∞),0(+∞),0()0,(+∞-∞ xy 1=)0,(-∞),0(+∞)(x f )(x g )()(x g x f +★热点考点题型探析考点1 函数的单调性 题型1：讨论函数的单调性[例1] (2008广东)设,函数. 试讨论函数的单调性.题型2：研究抽象函数的单调性[例2] 定义在R 上的函数，，当x ＞0时，，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）. （1）求证：f （0）=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； （3）求证：f （x ）是R 上的增函数； （4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.[新题导练]1．（珠海北大希望之星实验学校09届高三）函数的单调递减区间是（）A ．;B ．;C ．;D ．R k ∈⎪⎩⎪⎨⎧≥--<-=1,1,1,11)(x x x xx f R x kx x f x F ∈-=,)()()(x F )(x f y =0)0(≠f 1)(>x f ()()22log 4f x x x =-(0,4)(0,2)(2,4)(2,)+∞2．（东皖高级中学09届高三月考）函数的单调增区间为（ ）A ．；B ．；C ．；D ．3. (2008全国Ⅰ卷)已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．考点2 函数的值域（最值）的求法 题型1：求分式函数的最值[例3] （2000年上海）已知函数 当时，求函数的最小值；212log (56)y x x =-+52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，(3)+∞，52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(2)-∞，32()1f x x ax x =+++a ∈R ()f x ()f x 2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，a xax x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 21=a )(x f题型2：利用函数的最值求参数的取值范围[例4] （2000年上海）已知函数 若对任意恒成立,试求实数的取值范围。
题型3：求三次多项式函数的最值[例5]（09年高州中学）已知为实数，函数，若，求函数在上的最大值和最小值。
[新题导练]4.（09年广东南海）若函数的最大值与最小值分别为M,m ，则M+m =xax x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x [1,),()0x f x ∈+∞>a a ))(1()(2a x x x f ++=0)1('=-f )(x f y =3[,1]2-213ln()1x y x x +=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x5.（高州中学09届模拟）已知函数。
（Ⅰ）若为奇函数，求的值；（Ⅱ）若在上恒大于0，求的取值范围。
备选例题：（06年重庆）已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；)0(4)(2≠++=x xax x x f )(x f a )(x f ),3[+∞a R 12()2x x bf x a+-+=+,a b t R ∈22(2)(2)0f t t f t k -+-<k★抢分频道基础巩固训练：1．（华师附中09高三数学训练题）若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是（）A.；B.；C.；D. 2．（普宁市城东中学09）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A ．；B ．；C ．；D ．3．（09汕头金中）下列四个函数中，在区间上为减函数的是（ ）A ．；B ．；C ．；D ．4．（09潮州金山中学）已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值是（）A ．1；B ．2；C ．3；D ．4 5．（06北京改编）已知 是上的减函数，那么的取值范围是6．（2008浙江理）已知t 为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则综合提高训练：7.（06陕西改编）已知函数若则与的大小关系为8．已知函数，求的值b a x x x f +-+=||)(2]0,(-∞a 0a ≤1a ≤0a ≥1a ≥32)(kx k x x h +-=),1(+∞k [2,)-+∞[2,)+∞(,2]-∞-(,2]-∞)41,0(xx y ⎪⎭⎫⎝⎛=21x y )21(-=x x y 2log =31x y =12)(2++=x x x f t []m x ,1∈x t x f ≤+)(m (31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩(,)-∞+∞a t x x y --=22=t 2()24(03),f x ax ax a =++<<01,2121=-++<a x x x x )(1x f )(2x f )21(1223)(≠--=x x x x f )20102009()20102()20101(f f f +++9．（09年汕头金中）对于函数成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值－1叫做， 的下确界为（）A ．；B ．2；C ．；D ．4 10．（08年湖南）设表示不超过的最大整数（如,）,对于给定的N *,定义,求当时，函数的值域M x f x x x f ≥+=)(,2)(2在使的下确界x x x f 2)(2+=且则对于R ∈b a ,,0,不全为b a 222)(b a b a ++2141][x x 2]2[=1]45[=n ∈[][](1)(1),(1)(1)xn n n n x C x x x x --+=--+ x ∈[)1,+∞x ∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭xC 8。