2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科)1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈．已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．（Ⅰ）若90BFD ∠=︒，ABD ∆的面积为，求p 的值及圆F 的方程．（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值．2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 切，圆心P 的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB ．3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点．(Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线(0)y kx a a =+>交于,M N 两点．(Ⅰ) 当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．5．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(I)证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；(II)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值围．6. (2017年全国高考Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)已知椭圆C ：（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。

若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.7．(2018年全国高考Ⅰ卷理科第19题) (本小题满分12分)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．⑴当与轴垂直时，求直线的方程；⑵设为坐标原点，证明：．2222=1x y a b+2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(参考答案)1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈．已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．（Ⅰ）若90BFD ∠=︒，ABD ∆的面积为，求p 的值及圆F 的方程．（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值．【解析】(Ⅰ)由对称性知BFD ∆是等腰直角三角形，斜边||2BD p =， 点A 到准线l的距离||||d FA FB ===，由1||2ABD S BD d ∆=⨯⨯=2p =．∴圆F 的方程为22(1)8x y +-=．（Ⅱ）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p>，则(0,)2p F ．由点,A B 关于点F 对称得200(,)2x B x p p --，从而2022x p p p -=-，所以2203x p =．因此3,)2p A，直线3:2p p pm y x -=+，即0x +=． 又22122x py y x p =⇔=，求导得'x y p ==，即x =)6pP ．又直线:6p n y x -=-，即0x -=． 故坐标原点到直线,m n距离的比值为23p =．【考点分析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，涉及到简单的面积和点到直线的距离等基本计算问题，考查推理论证能力、运算求解能力．2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 切，圆心P 的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB ．【解析】由已知得圆M 的圆心为(1,0)M -，半径11r =，圆N 的圆心为(1,0)N ，半径23r =． 设动圆P 的圆心为(,)P x y ，半径为R ．(Ⅰ)因为圆P 与圆M 外切且与圆N 切，所以1212||||()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=，且4||MN >． 由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左，右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为221(2)43x y x +=≠-． (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点(,)P x y ，由于||||222PM PN R -=-≤，所以2R ≤． 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，2R =．∴当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4x y -+=． 当l 的倾斜角为90︒时，l 与y轴重合，可得||AB =当l 的倾斜角不为90︒时，由1r R ≠知l 不平行x 轴．设l 与x 轴的交点为Q ， 则1||||QP RQM r =，可求得(4,0)Q -， ∴设:(4)l y k x =+，由l 与圆M1=，解得k =当4k =时，将4y x =+221(2)43x y x +=≠- 整理得27880x x +-=． (*)设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是(*)方程的两根．所以1287x x +=-，1287x x =-．1218|||7AB x x ∴=-==．当4k =-时，由对称性知18||7AB =．综上，||AB =18||7AB =． 【考点分析】本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为F 是椭圆的焦点，直线AF，O 为坐标原点．(Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 【解析】(Ⅰ)设(),0F c，由条件知2c =，得c =又2c a =，所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程2214x y +=．（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，方程为2y kx =-，联立直线与椭圆方程：22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得：22(14k )16120x kx +-+=．∵216(43)0k ∆=->，∴234k >． 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1212221612,1414k x x x x k k +=⋅=++，∴1221+4PQ x k -，且坐标原点O 到直线l的距离为d =．因此221+41+4OPQS k k ∆==，令(0)t t =>，则244,044OPQ t S t t t t∆==>++． ∵44t t+≥，当且仅当4t t =，即2t =时，等号成立，∴1OPQ S ∆≤．故当2t =，2=，2k =±时OPQ ∆的面积最大． 此时，直线l的方程为2y x =-． 【考点分析】本小题主要考查直线、椭圆、函数和不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识和方程思想．4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线(0)y kx a a =+>交于,M N 两点．(Ⅰ) 当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 【解析】（Ⅰ）由题设可得),()M a N a -或(),)M a N a -．又=2x y '，故24x y =在x =在点)a处的切线方程为y a x -=-0y a --=．24x y x ==-在处的导数值为．在点()a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=．故所求切线方程为0y a --=0y a ++=． (Ⅱ)存在符合题意的点P ．证明如下：设(0,)P b 为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ． 将y kx a =+代入C 的方程，消去y 整理得2440x kx a --=， 则12,x x 是该方程的两根． 故12124,4.x x k x x a +==- 从而1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+==． 当b a =-时，有120k k +=，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠． 所以点(0,)P a -符合题意．【考点分析】本小题主要考查直线、抛物线和导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．5．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(0,1)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． (I)证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；(II)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值围．【解析】(I)因为AD AC =，EB AC ∥， 故EBD ACD ADC ∠=∠=∠．所以EB ED =， 故EA EB EA ED AD +=+=又圆A 标准方程为()22116x y ++=，从而4AD =，所以4EA EB +=． 由题设得()()1,0,1,0,2A B AB -=，由椭圆的定义可得点E 的轨迹方程为22143x y +=，(0y ≠)； (II)（法一）当l 与x 轴不垂直时，设()():10l y k x k =-≠，()()1122,,,M x y N x y由()221143y k x xy ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=． 则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+g所以()212212143k MN x k +=-=+．过点()1,0B 且与l 垂直的直线()1:1m y x k =--，A 到m，所以PQ ==． 故四边形MPNQ的面积为12S MN PQ == 当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ的面积的取值围为( 当l 与x 轴垂直时，其方程为1x =，3MN =，8PQ =四边形MPNQ 的面积12．综上，四边形MPNQ的面积的取值围为⎡⎣．（法二）221:143x y C +=；设:1l x my =+， 因为PQ l ⊥，设():1PQ y m x =--，联立1l C 与椭圆221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=；则()22121|||34M N m MN y y m +=-==+；圆心A 到PQ 距离|11|m d ---==所以||PQ ===()2212111||||2234MPNQ m S MN PQ m +∴=⋅=⋅+⎡==⎣．【考点分析】主要考查直线与圆的位置关系、椭圆的定义、韦达定理、弦长公式等解析几何常用知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．已知椭圆C ：（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。