第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)，
输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L u i R C
解：根据克希荷夫电压定律，得
di (t ) 1 u (t ) L Ri (t ) i(t )dt dt C dq(t ) ∵ i (t ) dt
2)进行受力分析，列写微分方程，
f (t ) m x (t) c· k x (t)
利用
F ma ，得
(t ) m (t ) f (t ) kx(t ) cx x
3)整微分方程，得
(t ) cx (t ) kx(t ) f (t ) m x
第二章 系统的数学模型
等于各个输入单独作用而产生的输出之和。 和的响应等于响应之和。
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
微分方程
2.2 系统的微分方程
在时域中描述系统（或元件）动态特性的 数学模型，或称为运动方程。利用微分方程可 得到描述系统（或元件）动态特性的其他形式 的数学模型。
(t ) cy (t ) ky(t ) x(t ) 如： m y
消去中间变量i(t)，并整理得，
(t ) RC q (t ) q(t ) Cu(t ) LCq
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-7 下图所示为一个两级串连的RC电路组成的滤波 网络，输入为电压ui，输出为电压uo。分析ui， uo与系 统之间的动态关系，列写该系统微分方程。
2.2 系统的微分方程
例2-2 下图所示为一简化了的机械系统，求其输入 x(t)与输出y(t)之间的微分方程。 解：在不同的元素之间，可能会有中 间变量。 设中间变量x1，且假设x＞x1＞y。 取分离体阻尼活塞和缸体部分，并 进行受力分析，
图2-2
第二章 系统的数学模型
根据受力分析，列写微分方程组， k1 x(t ) x1 (t ) cx1 (t ) y (t ) (1)
第二章 系统的数学模型
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
概述 系统的微分方程 拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换 系统的传递函数 系统的传递函数方框图及其简化 考虑扰动的反馈控制系统的传递函数
第二章 系统的数学模型
本章教学大纲
本章教学大纲
1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法；
第二章 系统的数学模型
2.3 拉氏变换与拉氏反变换
表1 拉氏变换对照表
第二章 系统的数学模型
2.3 拉氏变换与拉氏反变换
二、拉氏变换的定理 1. 线性定理 和的拉氏变换等于拉氏变换之和。 设L[f1(t)]＝F1(s)，L[f2(t)]＝F2(s)，则 L[af1(t)＋bf2(t)]＝aF1(s)＋bF2(s) 例 已知f(t)＝1－2cosωt，求F(s)。 2. 平移定理（复数域的位移定理） 若L[f(t)]＝F(s)，对任一常数a（实数或复数），则有
cx1 (t ) y (t ) k2 y (t )
(2)
2.2 系统的微分方程
消去中间变量x1(t)，得，
k2 k1 x(t ) x1 (t ) k 2 y (t ) x1 (t ) x(t ) y (t ) k1 将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，
第二章 系统的数学模型
(1)克希荷夫电流定律
2.2 系统的微分方程
若电路有分支路，它就有节点，则会聚到某节点的所
有电流之代数和应等于0（即所有流出节点的电流之
和等于所有流进节点的电流之和），
i(t ) 0
A
如右图所示，
i1 i2
A i3
i(t ) i i
1 A
2
i3 0
2.2 系统的微分方程
R1
R2
Ⅰ
C1
Ⅱ
C2
uo
消去中间变量i1、i2，整理得，
o (t ) ( R1C1 R1C2 R2C2 )u o (t ) uo (t ) ui (t ) R1R2C1C2u
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
负载效应: 是指对于由两个物理元件组成的系统而
第二章 系统的数学模型
三、线性系统与非线性系统
2.1 概 述
1. 定义 能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为 非线性系统。 2. 分类 线性定常系统：
线性时变系统：
非线性系统：
第二章 系统的数学模型
3. 特性
2.1 概 述
线性系统满足叠加原理；非线性系统不满足叠加原理。
叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出
第二章 系统的数学模型
二、建立数学模型（建模）的方法
2.1 概 述
一个“合理”的数学模型应该以最简化的形式、准 确地描述系统的动态特性。
1. 分析法（解析法） 建
根据系统或元件所遵循的有关定律来建立数学 模 模型的方法（列写数学表达式）。 方 2. 实验法 法 根据实验数据进行整理，并拟合出比较接近实 际的数学模型。
0 (t ) u0 (t ) ui (t ) RCu
第二章 系统的数学模型
一、列写微分方程的一般方法
2.2 系统的微分方程
给定输入量、扰动量
1. 确定系统的输入量和输出量； 2. 按信号传递的顺序，从系统输入端出发，根据各变量 所遵循的物理定律列写系统中各环节的动态微分方程； 3. 消除中间变量,得到只包含输入量和输出量的微分方程 牛顿第二定律、克希荷夫电流（电压）定律等 4. 整理所得到的微分方程，将与输出有关的项放在方程 的左侧，与输入有关的项放在方程的右侧，各阶导数项 按降幂方式排列。 (n) ( n 1) 0 (t ) a0 x0 (t ) a x ( t ) a x (t ) a1 x 如： n 0 n 1 0
k2 (t ) k2 y(t ) cx (t ) c k 1 y 1
第二章 系统的数学模型
2. 电网络系统
2.2 系统的微分方程
遵循的定律：克希荷夫电流定律、克希荷夫电压定律
元素：电阻R、电感L、电容C 电阻元件： 电感元件： 电容元件：
UR U R iR R, iR R diL 1 UL L , iL U L dt dt L dU C 1 U C iC dt , iC C C dt
2. 了解非线性方程的线性化；
3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法；
4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数；
5. 掌握系统传递函数方框图的化简。 教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典
型环节传递函数、方框图等效变换
第二章 系统的数学模型
2.1 概 述
2.1 概 述
一、数学模型 1. 定义 定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参 数与动态性能之间关系的数学表达式。 2. 种类 微分方程、差分方程、统计学方程、传递函数、频 率特性、各种响应式等。 离散系统 连续系统 3. 研究领域 • 时间域——微分方程、差分方程、状态方程； • 复数域——传递函数、脉冲传递函数； • 频率域——频率特性。 连续系统 离散系统
质量元件： 阻尼元件：
弹性元件：
c
F ma m x
c—粘性阻尼系数 Fc cv cx
Fk kx
k—弹性系数
第二章 系统的数学模型
例2-1 列写下图所示机械系统的微分方程
2.2 系统的微分方程
解： 1)明确系统的输入与输出，
f (t) m c x (t)
图2-1
k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
言，若其中一个元件的存在，使另一元件在相同输 入下的输出受到影响，则有如前者对后者施加了负 载，这一影响就称为负载效应。 上例中，两个RC电路串联，存在着负载效应。
第1个RC回路：
第2个RC回路：
非线性微分方程的线性化 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似 的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。
第二章 系统的数学模型
2.3 拉氏变换与拉氏反变换
2.3 拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换
一、 拉氏变换的定义 若f(t)为实变数t的单值函数，且t＜0时，f(t)＝0；当t≥0 时，则函数f(t)的拉氏变换记作L[f(t)]或F(s)，并定义为 st f ( t ) e dt L[f(t)]＝F(s)＝ 0 (2.3.1) 式中，L—拉氏变换的符号； s—复变数，s＝σ＋jω（σ、ω均为实数）； F(s)—是函数f(t)的拉氏变换，它是一个复变函数，通 常称F(s)为f(t)的象函数，而f(t)为F(s)的原函数；
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-4 下图所示为一电网络系统，其输入为电压ui， 输出为电压uo，列写该系统微分方程。
解：根据克希荷夫电流定律，有 iL＋ iR－iC = 0 u R ui u o iR ui R R 1 1 i u dt (ui uo )dt 又∵ L L L L duC duo iC C C dt dt 以上4个方程联立求解，并整理得，
L ui i R C uo
U 0
解：根据克希荷夫电压定律，有
di (t ) 1 （1） ui (t ) L Ri (t ) i (t )dt dt C duo (t ) （2） 1 uo (t ) i (t )dt i (t ) C C dt
将（2）代入（1）式，整理得， o (t ) RCu o (t ) uo (t ) RCu i (t ) LCu
( m 1) i (t ) b0 xi (t ) bm xi( m) (t ) bm1 x0 (t ) b1 x