奥数专题——乘法中的巧算
同学们好！我们学习了加、减、连加、连减的混合运算律，可利用加法的运算定律或连减及加减的混合运算的性质进行简便运算。
而乘、除法更有着一些巧妙的简便算法，下面共同学习。
（一）学习指导
首先认识乘法交换律：a b b a ⨯=⨯
乘法结合律：()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯
()=⨯⨯a b c
如：5665⨯=⨯
()567567⨯⨯=⨯⨯
或 ()=⨯⨯567
利用这些定律，可以使式题简便，同时可以推广到多个数相乘，我们可以选择两个因数相乘，得出较简单的（整十、整百、整千……）积，再将这个积与其它因数相乘，有时也可以把某个因数再分解成两个因数，使其中一个因数与其它的乘数的积成为较简单的数，然后再与其它的因数相乘，这样就可以进行巧算。
例1. 用简便方法计算。
（1）16425⨯⨯ （3）12528⨯
（2）()125178⨯⨯
（4）2532125⨯⨯ 分析：（1）可以将4和25结合起来先乘。
这样：
原式()=⨯⨯16425
=⨯=16100
1600
（2）可以将125和8相结合起来乘，这样：
原式()=⨯⨯125817
=⨯=100017
17000
（3）可以把28变成4×7，再将125和4结合起来先乘：
原式()=⨯⨯12547
=⨯=5007
3500
（4）我们先把32变为4×8，再把25和4，125和8结合起来乘：
原式=⨯⨯⨯2548125
()()
=⨯⨯⨯=⨯=25481251001000100000
利用乘法分配律，可以使一些题简便：
()a b c a c b c +⨯=⨯+⨯，这个定律可以推广，一般的有()a b c a c b c -⨯=⨯-⨯，如()9539353-⨯=⨯-⨯，当两个数相乘时，有时可以把一个因数变为两个数的和与另一个因数相乘，也可以把一个因数变为两个数的差与另一个因数相乘，这样计算简便。
例2. 用简便方法计算下面各题。
（1）()125108⨯+
（3）400425⨯ （2）()20425-⨯ （4）125798⨯
分析：（1）、（2）题可以直接用乘法分配律去计算。
（1）()125108⨯+ （2）()20425-⨯
=⨯+⨯=+=125101258
125010002250
=⨯-⨯=-=2025425500100400
（3）题可以先把4004变为（40004+），然后再用分配律计算。
400425⨯
()=+⨯=⨯+⨯=+=4000425
400025425100000100
100100
（4）小题可以先把798变为（8002-），再运用分配律计算。
125798⨯
()
=⨯-=⨯-⨯=-=12580021258001252100000250
99750
例3. 巧算一个数乘以10，100，1000……
分析：一个数乘以10，就是在这个数后添0，如： 4301043=⨯
520105200⨯=
当一个数乘以100时，就是在这个数后添00，如： 431004300⨯=
52000100520=⨯ 当一个数乘以1000时，就是在这个数后添000，如：43100043000⨯=
5201000520000⨯= ……
例4. 巧算一个数与99相乘。
分析：先填空，再观察一个数与99相乘的规律。
()
()9919910019921982002⨯==-⨯==-
(
)995495500⨯==- (
)()9987928
9913130013
⨯==-⨯==- 观察发现：“一个数与99相乘，先在这个数后添00，再减去此数”即可。
如果是一个数与999相乘，是否也具有这样的规律呢？请你先填空，再总结规律。
()()()()()()()
999199910001
9992199820002
9993300099944
9995⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-
由此得到：几与999相乘，就用几千减去几？
例5. 巧算两位数与11相乘。
分析：1211132⨯=
3411374⨯=
5311583⨯=
4911539⨯=
观察上面一组数，发现两位数与11相乘，只要把这个两位数打开，个位数字做积的个位，十位数字做积的百位，个位数字与十位数字相加做积的十位，如果满十，就向百位进1。
如：1211132⨯=
12
132
/\/\
竖式： １２ ×１１ １２ １２ １３２
4911539
49539
⨯=\/
方法是：两边一拉，中间相加，满十进1。
例5. 巧算三位数与11相乘。
432114752⨯=
４ ３ ２
４ ７ ５ ２
867119537⨯=
８ ６ ７
９ ５ ３ ７
308113388⨯=
３ ０ ８
３ ３ ８ ８
分析：三位数与11相乘的速算方法同样可以概括为“两边拉，中间加”。
注意中间是相邻位相加。
练一练：
13411529112345116811⨯=
⨯=
⨯=
⨯=
例6. 巧算两位数与101相乘。
1014310189⨯⨯
竖式：
１０１ １０１
× ４３ × ８９
３０３ ９０９
４０４ ８０８ ４３４３ ８９８９
观察发现“4343、8989”，两位数与101相乘，积是把这个两位数连续写两遍。
练一练：
36101101581013942101⨯=⨯=⨯=
⨯=
例7. 巧算三位数与1001相乘。
1001132
1001436⨯⨯
竖式： １００１
１００１ × １３２
× ４３６ ２００２
６００６ ３００３
３００３ １００１
４００４ １３２１３２
４３６４３６ 发现：三位数与1001相乘，积是把这个三位数连续写两遍。
练一练：
45610011001782⨯=⨯=
例8. 根据111337=⨯，简算下面各题。
（1）37×6
（5）37×30 （2）37×9
（6）37×24 （3）37×12
（7）37×33 （4）37×15 （8）37×27
分析：我们根据373111⨯=，计算下面各题。
想37×6中的因数6可以分解为2×3。
所以（1）37×6＝37×3×2
＝111×2
＝222
以此类推：
（2）37×9＝37×3×3
＝111×3
＝333
（3）37×12＝37×3×4
＝111×4
＝444
（4）37×15＝37×3×5
＝111×5
＝555
根据37×3=111计算。