可靠性理论基础知识
1.可靠性定义
我国军用标准GIB 451A-2005《可靠性维修性保障性术语》中，可靠性定义
为：产品在规定的条件下，规定的时间内，完成规定功能的能力。
“规定条件”包括使用时的环境条件和工作条件。
“规定时间”是指产品规定了的任务时间。
“规定功能”是指产品规定了的必须具备的功能及其技术指标。
可靠性的评价可以使用概率指标或时间指标，这些指标有：可靠度、失效率、平均无故障工作时间、平均失效前时间、有效度等。
典型的失效率曲线是浴盆曲线，其分为三个阶段：早期失效期、偶然失效期、耗损失效期。
早期失效期的失效率为递减形式，即新产品失效率很高，但经过磨合期，失效率会迅速下降。
偶然失效期的失效率为一个平稳值，意味着产品进入了一个稳定的使用期。
耗损失效期的失效率为递增形式，即产品进入老年期，失效率呈递增状态，产品需要更新。
1.1可靠性参数
1、失效概率密度和失效分布函数
失效分布函数就是寿命的分布函数，也称为不可靠度，记为)(t F 。
它 是产品或系统在规定的条件下和规定的时间内失效的概率，通常表示为
)()(t T P t F ≤=
失效概率密度是累积失效概率对时间t 的倒数，记为f(t)。
它是产品在
包含t 的单位时间内发生失效的概率，可表示为)()
()('t F dt
t dF t f ==。
2、可靠度
可靠度是指产品或系统在规定的条件下，规定的时间内，完成规定功能的概率。
可靠度是时间的函数，可靠度是可靠性的定量指标。
可靠度是时间的函数，记为
)(t R 。
通常表示为⎰∞
=-=>=t dt t f t F t T P t R )()(1)()(
式中t 为规定的时间，T 表示产品寿命。
3、失效率
已工作到时刻t 的产品，在时刻t 后单位时间内发生失效的概率成为该产品时刻
t 的失效率函数，简称失效率，记为)(t λ。
)
(1)
()()()()()(''t F t F t R t F t R t f t -===λ。
4、不可修复的产品的平均寿命是指产品失效前的平均工作时间，记为MTTF （Mean Time To Failure)。
⎰∞
=0)(dt t R MTTF 。
5、平均故障间隔时间（MTBF ）
平均故障间隔时间是一个标志产品平均能工作多长时间的特征量。
可修产品的平均寿命是指相邻两次故障间的平均工作时间，称为平均无故障工作时间，通常记为MTBF(Mean Time Between Failure)，平均无故障工作时间与可靠度之间的关系表达式为:⎰∞
=0)(dt t tf MFBF 。
2.可靠性模型中常用的失效分布
1.指数分布
指数分布的失效密度函数为 0)(≥=-t e t f t λλ。
式中，λ是常数。
2.正态分布
正态分布记为),(2
σμN ，其分布密度函数为]
)(2
1[221
)(σ
μ
σ
π--=t e t f ，所以
3.对数正态分布
若X 是一个随机变量，且随机变量Y =ln X 服从正态分布),(2σμN ，那么称随机变量X 服从对数正态分布。
X 的分布密度函数为
021
)(]
)ln (2
1[2>=
--t e t
t f t σ
μ
σπ
4.威布尔分布
在可靠性工作中威布尔分布非常有用，因为它是通用公式，通过调整参数可以构成不同的分布，为各种寿命分布特性建立模型。
威布尔分布失效密度函数为 ])(ex p[)()(1m
m t t m t f η
γηγη
---=
-
其中m>0为形状参数；
η>0为尺度参数，或特征寿命（达到该寿命时，失效的概率为63.2%）；
γ为未知参数，最低的寿命。
失效分布函数为F(t)=l —exp[-（t/η)m ]。
5.二项分布
二项分布一般用于描述一个事物只有两种可能状态或结果的情况，如成功和失败，好和坏，并且对所有试验来说，概率都相同，这种分布对可靠性和质量保证工作都很有用。
当产品中好产品（成功）的概率为p ，坏产品（失败）的概率为q 时，抽出n 个样本中有x 个好产品和n-x 个坏产品的概率为
dt e e t R t f t dt e t F t R dt
e
dt t f t F t
t t t
t t
t t
⎰⎰⎰
⎰∞----∞
----
===-==
=222
22
2
2
2
2)(2)(2)(0
2)(0
)()()(21)(1)(21
)()(σμσ
μσμσμλσπσ
π
x
n x x n
q
p C x X P -==)(。
累积分布函数为∑=-=≤r
x x n x x n q p C r X P 0
)(表示抽出n 个样本
中最多有r 个好产品的概率。
6.泊松分布
二项分布在抽样数n 很大而p 较小时，可趋近于泊松分布，即
0,!
lim >==
--∞
→np e k q
p C k
k
n k k n
n λλλ
即概率分布 2,1,0,0,!
)(=>=
=-k e k k x P k
λλλ为泊松分布。
在很短时间（0，t ）
内，出现两次或两次以上事件的概率很小，而出现的次数为一次的概率近似为
t λ。
在时间（0，t ）内事件出现k 次的概率可以表示为t
k e k t k x P λλ-==!
)()(，其中λ为失效率，t 为事件长度，k 为失效次数。