2015年重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
A B
B A
==2
3．（5分）（2015•重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）
则中位数为
4．（5分）（2015•重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）
（
“
“
5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
B
腰长为
=
6．（5分）（2015•重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）
B
解：∵（﹣+2）
﹣）3+2
22•=0
•=32=2
，＞==
，＞，
7．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）
时，退出循环，
S
S=
．
8．（5分）（2015•重庆）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对
AC=
=6
9．（5分）（2015•重庆）若tanα=2tan，则=（）
=2tan，则
：
=
=
==
10．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于
点D．若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
﹣，﹣
，
得
a+
，﹣）
，
x=
，
x=，
＜
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．（5分）（2015•重庆）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=3．
）的模为
==3
12．（5分）（2015•重庆）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．
解：由于••
﹣•，
故答案为：．
13．（5分）（2015•重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=
．
解：由题意以及正弦定理可知：
．
故答案为：
三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
14．（5分）（2015•重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=2．
15．（5分）（2015•重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
，则直线l与曲线C的交点的极坐标为（2，π）．
的参数方程为
的极坐标方程为
16．（2015•重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=﹣6或4．
=
=
四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
．
==，=，
0 1 2
×+1×+2×=个．
18．（13分）（2015•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．
∈在
﹣﹣﹣（
﹣﹣）﹣
=．
∈∈≤时，[，]≤≤π[，]
19．（13分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，
E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
为原点，分别以，，的方向为
易得，，的法向量，的法向量，由向量的夹角公式可得．
CD=DE=
DCE=
ACB=得，故AC=，
，，的方向为
（
=，=，﹣
的法向量，由
=
的法向量可取
，=
的余弦值为
20．（12分）（2015•重庆）设函数f（x）=（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．
=．对
≤
=
，
，，
）处的切线方程为
，．
≤﹣的取值范围为：
≥
=
．
的取值范围为：
21．（12分）（2015•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，
过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1
（Ⅰ）若|PF 1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．
|==2
|=﹣
|=2+﹣
|==2，从而b==1
故所求椭圆的标准方程为
|=
（
|=
===
22．（12分）（2015•重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）
（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．
（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得
．进一步得到
求和后放缩可得不等式左边，结合
，有
，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可
（Ⅱ）证明：由
，变形为：
，
另一方面，由上已证的不等式知，
＜2+。