5）虎克定律
1 ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y − µ (σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E τ xy γ xy = G τ yz γ yz = G τ zx γ zx = G
4）平面应变
对厚板，由于横截面的形状、大小和外力都与z 坐标无关，因此，应力分量和应变分量也与z无关， 只是x和y的函数。在距离端部较远的地方，每一薄片 单元在z方向的变形都要受到两侧材料的阻止，变形 只能发生在薄片平面内，即ε z = 0 。 应该指出，在平面应变问题中，虽然沿z方向的 应变等于零，但由于在z方向的伸缩受到阻止，因此 沿z方向的应力就不等于零，即 σ z ≠ 0[σ z = µ (σ x + σ y )] , 所以平面应变问题是一个三向应力问题。
（４）
由式（2）和（4）得：
σm =
Eγ a0
（５）
式中a０随材料而异，可见理论结合(断裂) 强度只与弹性模量、表面能和晶格间距等材 料常数有关。（5）式虽是粗略的估计，但对 所有固体均能应用而不涉及原子间的具体结 合力。
（3）将材料的典型数据E=2.1*1011Pa，γ=10-4J/cm2和 a0=3×10-8cm代入，计算得到材料的理论结合强度为 3×104MPa。(~E/7) 理论断裂强度一般为材料弹性模量的1/20~1/10。 一些典型材料的理论断裂强度 材料 α-铁
其中E为弹性模 量；G为剪切弹性模 量，又称刚度模量； μ为泊松比。
E G= 2(1 + µ )
第三节 材料的力学性能
1）材料的应力-应变曲线 分为弹性变形、屈服、应变（形变）强化、 颈缩和断裂等阶段。
2）弹性变形 物理机制：原子系统在外力作用下离开其平衡位置 达到新的平衡状态的过程，因此，对弹性变形的讨论， 必须从原子间的结合力模型开始。 假定有两个原子，原子之间存在长程的吸引力和 短程的排斥力，作用力P随原子间距的变化关系如下：
5）颈 缩
应力-应变曲线上的应力达到最大值时开始颈缩。 颈缩前，试样的变形在整个试样长度上是均匀分布 的，颈缩开始后，变形便集中于颈部地区。 颈缩条件的条件为：
εb=n
说明在颈缩开始时的真应变在数值上与应变强化 指数n相等。利用这一关系，可以大致估计材料的均 匀变形能力。
6）断 裂
* 断裂是工程材料的主要失效形式之一。 * 断裂的基本过程：裂纹形成和扩展。
σ0
（c）最大剪应力理论（第三强度理论）
当最大剪应力达到了单向拉伸临界状态的剪应力 时，发生屈服。 若单向拉伸时的临界应力为σ0 ，则最大剪应力发 生在与σ0作用方向成450的方向上，其大小为σ0 /2。 所以第三强度理论的条件为：
τmax=σ0 /2
用主应力表示，则为： （σ1 -σ3）/2=σ0 /2 即： σ1 -σ3 =σ0
第一章 材料强度的基本知识
第一节 概 念 第二节 弹性力学基础 第三节 材料的力学性能 第四节 材料的理论断裂强度 第五节 缺陷对材料强度的影响 第六节 材料强度的发展历史 第七节 课程主要内容与参考文献
第一节 概 念
1) 强 度 是材料力学性能的一种；而性能是一种参量，用 于表征材料在给定外界条件下的行为。 性能具备定量化、从行为过程去理解；并重视环 境对性能的影响。 * 强 度： 指材料对变形和断裂的抗力，如材料的屈服强 度 σ 、抗拉强度σ 、抗弯强度 σ 、抗压强度σ 、抗 扭强度和抗剪强度 τ b 、疲劳强度 σ 、持久强度σ tT 等。
σ
t
第四节 材料的理论断裂强度
材料的理论结合强度，应从原子间的结合力入手， 只有克服了原子间的结合力，材料才能断裂。 两原子间的结合力如下图所示，原子间距随应力 的增加而增大，在某点处，应力克服了原子之间的 作用力，达到一个最大值，这一最大值即为理论断 裂强度σm 。
不同的材料有不同的组成、结构及键合 方式，因此应力-应变曲线的精确形式的理论 计算非常复杂，而且对各种材料都不一样。 为了简单、粗略地估计各种情况都能适 用的理论强度，可假设用波长为的正弦波来 近似原子间约束力随原子间距离x的变化：
3）平面应力
对薄板，由于板很薄，可以认为在薄板内部所有 = σ z 0, = τ zx 0, = τ zy 0 。这样就只剩下平行于 各点处都有 σ 、σ 、σ xoy面的三个应力分量 ,而且这三个应力 分量都只是x和y的函数，不随z而变化。
x y xy
应该指出，在平面应力问题中，虽然沿z方向的应 力 σ z = 0,但由于板很薄，前后板面为自由表面，不受任 何约束，因而沿z方向的应变并不等于零，即ε z ≠ 0 ， 板将随着外力作用变厚或变薄，所以平面应力问题是 一个三向应变问题。
（4）主应力 只有正应力、无切应力分量的面和方向，称为主 应力面和主应力方向。
2）应变分量 （1）位移分量：u、v、w （2）正应变：
∂u εx = ∂x ∂υ εy = ∂y ∂w εz = ∂z
（3）切应变：
γ xy
∂υ ∂u ∂w ∂v ∂w ∂u = + ; γ yz = + ; γ xz = + ∂x ∂y ∂y ∂z ∂x ∂z
1）应力分量 （1）体 力：重力、电磁力等。 （2）面 力：风力、接触力、液体压力等。 （3）正应力和切应力： 物体内部单元体六个面上的应力，共有九个应力 σ x , σ y , σ z ）和六个切应力分 分量：三个正应力分量（ 量(τ xy ,τ yx ,τ yz ,τ zy ,τ zx ,τ xz )。这九个应力分量代表了一点 的应力状态。 = τ xy τ = τ= τ xz , 所 根据切应力互等定理，有 yx ,τ yz zy ,τ zx 以九个应力分量中，实际上只有六个是独立的， 即 σ x , σ y , σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx 。
（4）能量强度理论（第四强度理论，形状改变比能 理论）
2 [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] = 2σ 0
其中σ1 、 σ2、σ3为主应力。
4）形变强化
从屈服点到颈缩之间的形变强化规律，可以用Hollomon公式 描述：
S = Kε n
描述材料弹性行为的指标有比例极限、弹性极限、弹性 模量、弹性比功等。
3）屈服现象、本质及工程判据
（1）屈服现象 受力试样中，应力达到某一特定值后，开始大 规模塑性变形的现象称为屈服。它标志着材料的力 学响应由弹性变形阶段进入塑性变形阶段，称为物 理屈服现象。 （2）本 质： 位错的运动；滑移和孪生。
σ = σ m sin
2πx
λ
（1）
材料的断裂是在拉应力作用下，沿与 拉应力垂直的原子被拉开的过程。 （1） 在这一过程中，为使断裂发生，必 须提供足够的能量以形成两个新表面。如 材料的单位表面能为γ，即外力作功消耗在 断口的形成上的能量至少等于2γ。
（2）
（2）材料在低应力作用下应该是弹性的，在 这一条件下sinx ≈ x，同时，曲线开始部分近 似为直线，服从虎克定律，有 （３） σ = Ex / a0 式中a０为平衡状态时原子间距，E为弹性 模量，由式（1）和（3）得:
材 料 强 度 学
天津大学材料科学与工程学院 2009年11月
目
录
第一章 材料强度的基本知识 第二章 线弹性断裂力学 第三章 弹塑性断裂力学 第四章 防断裂设计与应用 第五章 损伤的概念与理论基础 第六章 连续损伤力学
第七章 细观损伤力学 第八章 损伤的测量 第九章 损伤与断裂力学的互补 第十章 材料的强化与韧化
低碳钢的物理屈服点及屈服传播
（3）工程判据 （a）最大正应力理论（第一强度理论） 最大的正应力σ1达到了材料单向拉伸时的屈服强 度σs或断裂应力σb 。 （b）最大线应变理论（第二强度理论） 材料的最大拉伸应变ε1达到材料单向拉伸时的屈 服应变ε0或断裂应变 。
1 ε1 = ε 0 = = [σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )] E E σ0 = σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )
（4）目前强度最高的钢材为4500MPa左右，即实际材 料的断裂强度比其理论值低1~3个数量级。 （5）为什么 ？实际的材料不是完整的晶体，即基本 假设不正确。在实际的材料总会存在各种缺陷和裂纹 等不连续的因素，缺陷引起的应力集中对断裂的影响 是不容忽视的。 晋代刘昼在《刘子·慎隟》中作了这样的归纳:“墙 之崩隤，必因其隟。剑之毁折，皆由于璺。尺蚓穿堤， 能漂一邑”。意思是说：墙的倒塌是因为有缝隙，剑 的折断是因为有裂纹，小小的蚯蚓洞穿大堤，会使它 崩溃、淹没城市。
s b
bb
bc
r
* 影响因素： （1）化学成分：不同的合金，强度也不同。 （2）微观结构（组织）： （3）应力状态：如在三向应力下，材料很难发生变 形，断裂韧性明显降低。 （4）环 境：应力腐蚀破裂、腐蚀疲劳、腐蚀磨损、 高温蠕变等。 * 用 途： 将强度或强度和韧性，作为进行材料或构件 （安全）设计的性能指标（依据）。
石英玻璃
E/GPa 200 70 43 240 380
γ/J*m-2 1.00 0.58 1.20 1.59 1.06
r0/μm 0.25 0.26 0.28 0.21 0.19
σm/GPa 28.3 15.9 13.6 42.6 46.0
E/σm 7.1 4.4 3.2 5.6 8.3
NaCl MgO Al2O3
* 分 类：断裂前塑性变形：韧性断裂和脆性断裂。 断裂机理：切离、微孔聚集型断裂、解理断 裂、准解理断裂和沿晶断裂。 断面与应力方向的关系：断面垂直于最大正 应力者叫正断，而沿着最大切应力方向断开的叫切断。